1.等比數(shù)列{an}中，a2=4，a3?a4=128，則a5的值為( )
A. 8B. 16C. 32D. 64
2.如圖，吊車梁的魚(yú)腹部分AOB是拋物線的一部分，寬6m，高1m，根據(jù)圖中的坐標(biāo)系.可得這條拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A. y=?92B. y=?94
C. y=?9D. y=?3
3.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為( )
A. 98B. 50C. 49D. 7
4.九連環(huán)是我國(guó)民間的一種益智玩具，它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)奧秘.假設(shè)從套環(huán)與套框完全分離的狀態(tài)出發(fā)，需經(jīng)過(guò)an步演變，出現(xiàn)只穿有第n環(huán)的狀態(tài)，則an+1=2an+1，且a1=1.則從套環(huán)與套框完全分離的狀態(tài)到套環(huán)均在套框上的狀態(tài)，總共需要的演變步數(shù)為a8+1+a6+1+a4+1+a2+1+1=( )
A. 345B. 344C. 341D. 340
5.已知點(diǎn)P在拋物線M：y2=4x上，過(guò)點(diǎn)P作圓C：(x?2)2+y2=1的切線，切點(diǎn)為A，若點(diǎn)P到M的準(zhǔn)線的距離為5，則切線長(zhǎng)PA為( )
A. 4B. 17C. 6D. 19
6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S15?S10=1，則S25的值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.已知直線y= 3x與橢圓C：x2a2+y2b2=1交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，AF⊥BF，則橢圓的離心率e的值為( )
A. 2 33B. 3?12C. 12D. 3?1
8.已知過(guò)拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M(?2,2)，則k=( )
A. 12B. 22C. 2D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知圓Q1：(x?1)2+y2=1和圓Q2：(x+1)2+(y?2)2=5的交點(diǎn)為A，B，則( )
A. 公共弦AB所在直線的方程為x?y=0
B. 線段AB的中垂線方程為x+y?1=0
C. 公共弦AB的長(zhǎng)為 2
D. P為圓Q1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為 22
10.雙曲線C：x25?y24=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P，Q兩點(diǎn)在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A. 以C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的橢圓方程為x29+y24=1
B. 雙曲線C的離心率為3 54
C. 直線AP與BQ的斜率之積為?45
D. 雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2
11.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，若S8an+1?an，則稱{an}為“速增數(shù)列”．
(Ⅰ)判斷數(shù)列{3n}是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；
(Ⅱ)若數(shù)列{an}為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)an∈Z，a1=1，a2=2，ak=2023.求正整數(shù)k的最大值．
19.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短軸長(zhǎng)為2 3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,32)，過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求△AGM面積的最小值．
參考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9.ABC
10.CD
11.ACD
12.?1
13.3
14.12
15.解：(1)因?yàn)閨AF|=9+p2=15，
所以p=12，
故拋物線C的方程為x2=?24y；
(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
則x12=?24y1x22=?24y2，
兩式作差變形得：y1?y2x1?x2=?x1+x224，
又因?yàn)镸N的中點(diǎn)為(?2,?11)，則x1+x2=?4，
所以k=y1?y2x1?x2=??424=16，
所以直線l的方程為y+11=16(x+2)，即x?6y?64=0．
16.解：(1)證明：∵△PAD是正三角形，O為AD的中點(diǎn)，
∴PO⊥AD，
∵四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PO，
∵AD∩CD=D，∴PO⊥平面ABCD．
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(?2,4,0)，D(?2,0,0)，P(0,0,2 3)，
E(?1,2, 3)，F(xiàn)(?1,0, 3)，G(0,4,0)，
EF=(0,?2,0)，EG=(1,2,? 3)，F(xiàn)G=(1,4,? 3)，
設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z)，
則n?EF=?2y=0n?EG=x+2y? 3z=0，取z=1，得n=( 3,0,1)，
AE=(?3,2, 3)，
∴點(diǎn)A到平面EFG的距離為d=|AE?n||n|= 3．
17.解：(1)因?yàn)閍n+1=an2+12n?1，所以2nan+1=2n?1an+2，
故2nan+1?2n?1an=2，
即數(shù)列{2m?1?an}是以?1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故2n?1an=?1+2(n?1)=2n?3，
所以an=2n?32n?1；
(2)依題意可得Sn=?1+12+322+523+?+2n?52n?2+2n?32n?1，
12Sn=?12+122+323+524+?+2n?52n?1+2n?32n，
兩式相減可得12Sn=?1+1+12+122+?+12n?2?2n?32n=12(1?12n?2)1?12?2n?32n=1?2n+12n，
所以Sn=2?2n+12n?1．
18.解：(Ⅰ)數(shù)列{3n}是“速增數(shù)列”，理由如下：
因?yàn)閍n=3n，
所以an+2?an+1=3n+2?3n+1=2×3n+1，an+1?an=3n+1?3n=2×3n，
因?yàn)?×3n+1>2×3n，
所以an+2?an+1>an+1?an，
故數(shù)列{3n}是“速增數(shù)列”；
(Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列{an}為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)an∈Z，a1=1，a2=2，
所以對(duì)任意的n∈N?，an+2?an+1>an+1?an，a2?a1=1，
所以a3?a2≥2，a4?a3≥3，…，ak?ak?1≥k?1，
相加的，(a2?a1)+(a3?a2)+(a4?a3)+…+(ak?ak?1)≥1+2+3+…+(k?1)，
即ak?a1≥k(k?1)2，
所以k(k?1)≤4044，k∈Z，
當(dāng)k=64時(shí)，k(k?1)=4032，
當(dāng)k=65時(shí)，k(k?1)=4160，
故正整數(shù)k的最大值為64．
19.解：(1)因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為2 3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,32)，
所以2b=2 31a2+94b2=1，解得b= 3a=2，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1；
(2)證明：易知直線l斜率存在且不為0，
設(shè)直線AB的方程為x=my?1，
聯(lián)立x=my?1x24+y23=1，消去x并整理得(3m2+4)y2?6my?9=0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=6m3m2+4y1y2=?93m2+4，
此時(shí)12(x1+x2)=12[m(y1+y2)?2]=?43m2+4，
因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以M(?43m2+4,3m3m2+4)，
因?yàn)閘DE⊥lAB，同理得N(?4m24m2+3,?3m4m2+3)，
所以kMN=21m12(m2?1)(m≠±1)，
所以lMN：y=21m12(m2?1)(x+43m2+4)+3m3m2+4，
整理得y=m12(m2?1)(21x+12)，此時(shí)直線MN過(guò)定點(diǎn)(?47,0)，
當(dāng)m=1時(shí)，取M(?47,37)，N(?47,?37)，
則直線MN過(guò)定點(diǎn)(?47,0)；
當(dāng)m=?1時(shí)，取M(?47,?37)，N(?47,37)，
則直線MN過(guò)定點(diǎn)(?47,0)；
綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)(?47,0)；
(3)因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為AB，DE的中點(diǎn)，
此時(shí)S△GMN=S△GBN?S△BMN?S△GBM=12S△GBE?12S△ABN?12S△GAB
=12S△ABE?12S△NAB=12?12?|AB|?|NE|=18|AB|?|DE|，
由(2)知|AB|= 1+m2|y1?y2|= 1+m2? (y1+y2)2?4y1y2=12(m2+1)3m2+4，
同理得|DE|=12(1+m2)4m2+3，
所以S△GMN=18?144(m2+1)2(3m2+4)(4m2+3)≥18(m2+1)2(3m2+4+3+4m22)2=7249，
當(dāng)且僅當(dāng)3m2+4=4m2+3，即m=±1時(shí)，等號(hào)成立，
則△GMN面積的最小值為7249．

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