【清單01】解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程.
【清單02】直角三角形的邊角關系
中，

【清單03】解直角三角形的應用
（1）仰角與俯角
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；
（2）坡度：坡面的鉛垂高度h和水平寬度的比叫做坡面的坡度，記作，即；坡度表示形式：.
坡面與水平面的夾角叫坡角，記為；坡度與坡角的關系：.
【考點題型一】解直角三角形（共7小題）
【例5】（2023秋?寶山區(qū)期中）已知平面直角坐標系中，第一象限內射線與軸正半軸的夾角為，點在射線上，如果，且，那么點的坐標是
A．B．C．D．
【分析】過點作軸于點，構建直角，利用余弦函數(shù)的定義可得點的坐標．
【解答】解：過點作軸于點，
，
可假設，則，
，
點的坐標可能是，
故選：．
【點評】本題考查坐標與圖形性質、銳角三角函數(shù)的概念．在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．
【變式1-1】（2023秋?松江區(qū)期中）在中，，，，則的長為
A．B．C．D．
【分析】由題意可知，將代入即可求得．
【解答】解：如圖所示：在中，，，，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，明確銳角三角函數(shù)的定義求得是解題的關鍵．
【變式1-2】（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖，在邊長為1個單位的方格紙中，的頂點在小正方形頂點位置，那么的正切值為 ．
【分析】根據題意和圖形，可以求得、和的長，然后根據勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，然后即可求得的正弦值．
【解答】解：由圖可得，
，，，
，
是直角三角形，
，
故答案為：．
【點評】本題考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
【變式1-3】（2022秋?虹口區(qū)期中）已知中，，，，那么的長是 10 ．
【分析】利用直角三角形的邊角間關系得結論．
【解答】解：在中，
，，
．
故答案為：10．
【點評】本題考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦”是解決本題的關鍵．
【變式1-4】（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在中，，，，，則線段的長 ．
【分析】過作，垂足為交于，證明，推出，可得，由推出，設長為，由此構建方程求解，進一步求得結果；
【解答】解：過作，垂足為交于，如圖，
過作，垂足為交于，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
設長為，則：
，
解得：或（舍去），
．
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形．
【變式1-5】（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，、分別是邊上的高和中線，已知，．
（1）求的長；
（2）求的值．
【分析】（1）根據三角形中線的定義得出．根據正切函數(shù)的定義設，則，．由，列出方程，求出即可得到的長；
（2）如圖，作于．利用勾股定理求出．在中，利用正切函數(shù)定義以及勾股定理求出，然后根據正弦函數(shù)定義即可求出．
【解答】解：（1）是邊上中線，，
．
是邊上的高，，
是等腰直角三角形，，
，
設，則，．
，
，
解得，
的長為2；
（2）如圖，作于．
由（1）知，，
，
．
在中，，
可設，則．
，
，
解得，
，
．
【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形的中線和高，掌握相關定義及定理是解題的關鍵．
【變式1-6】（2023秋?寶山區(qū)期中）如圖，中，，，是邊的中點，聯(lián)結．
（1）已知，求的長；
（2）求的值．
【分析】（1）在中，先利用直角三角形的邊角間關系用表示出，再利用勾股定理求出；
（2）過點作，利用“等底同高的三角形的面積相等”先求出，再利用勾股定理求出，線段的和差關系求出，最后在中利用直角三角形的邊角間關系得結論．
【解答】解：（1）中，
，
．
，
．
或不合題意舍去）．
．
（2）過點作，垂足為．
由（1）知，
．
是邊的中點，
，
．
．
在中，
，
．
在中，
．
【點評】本題主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的邊角間關系等知識點是解決本題的關鍵．
【考點題型二】解直角三角形的應用（共6小題）
【例2】（2024?浦東新區(qū)三模）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若，，則的值為
A．B．C．D．
【分析】在中，，可得的長度，在中，根據勾股定理，代入即可得出答案．
【解答】解：，
在中，，
，
在中，
，
，
故選：．
【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題的關鍵．
【變式2-1】（2024?浦東新區(qū)三模）某停車場入口“曲臂直桿道閘”在工作時，一曲臂桿繞點勻速旋轉，另一曲臂桿始終保持與地面平行．如圖1，是曲臂直桿道閘關閉時的示意圖，此時、、在一條直線上．已知閘機高度為，，，入口寬度為．
（1）如圖2，因機器故障，曲臂桿最多可逆時針旋轉，求此時點到地面的距離；
（2）在（1）的條件下，一輛寬為、高為的貨車可否順利通過入口？請說明理由．（參考數(shù)據：，
【分析】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據題意可得：，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再根據已知易得，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答；
（2）當，且時，設交于點，根據題意可得：，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，比較即可解答．
【解答】解：（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，
由題意得：，，
在中，，
，
，，
，
，
此時點到地面的距離約為；
（2）一輛寬為、高為的貨車可順利通過入口，
理由：如圖：當，且時，設交于點，
由題意得：，，
，
在中，，
，
，
入口寬度為，
，
，
一輛寬為、高為的貨車可順利通過入口．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
【變式2-2】（2024?上海模擬）如圖，某校有一塊三角形空地，，為了更好的落實“雙減”政策，豐富孩子們的課業(yè)生活，學校計劃將該三角形空地改造成多功能區(qū)域，現(xiàn)要求將三角形區(qū)域設計成手工制作區(qū)，其余部分設計成健身區(qū)，經測量：米，米，米，米．
（1）求的度數(shù)；
（2）求圖中健身區(qū)（陰影部分）的面積．
【分析】（1）先利用勾股定理求出的長，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可；
（2）利用三角形的面積解題即可．
【解答】解：（1）因為，米，米，
所以（米，
因為米，米，
所以，
所以是直角三角形，．
（2）圖中陰影部分的面積（平方米）．
【點評】本題考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面積，掌握勾股定理和逆定理是解題的關鍵．
【變式2-3】（2023秋?虹口區(qū)期末）如圖①是某款智能磁吸鍵盤，如圖②是平板吸附在該款設備上的照片，圖③是圖②的示意圖．已知，，．當與形成的為時，求的長．（參考數(shù)據：，，；，，
【分析】過作于，解直角三角形即可得到結論．
【解答】解：過作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
，
答：的長為．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式2-4】（2024?楊浦區(qū)三模）如圖1是光的反射規(guī)律示意圖，是入射光線，是反射光線，法線平面鏡，入射角等于反射角．
如圖2，水平桌面上從左至右分別豎直放置了擋板、擋板、平面鏡，在擋板的正上方有一可上下移動的擋板（擋板的厚度都忽略不計）．已知厘米，當從點發(fā)出的光線經平面鏡反射后恰好經過點時，測得入射角為．（參考數(shù)據：，
（1）點到平面鏡的距離是 40 厘米．
（2）移動擋板，使空隙的長度是20厘米，當從點發(fā)出的光線經平面鏡反射后恰好經過點時，求入射角的度數(shù)．
（3）在（2）的條件下，如果從點發(fā)出的光線經平面鏡反射后通過空隙落到擋板上的最高點為，最低點為，那么的長度是 厘米．
【分析】（1）作于點，且，得出，則，根據等腰三角形三線合一可得，進而解直角三角形，即可求解；
（2）作于，使得，得出 是等腰直角三角形，進而即可求解；
（3）作關于的對稱點，連接，并延長交，分別為，，得出△△，△△，根據相似三角形的性質，即可求解．
【解答】解：（1）如圖1所示，作于點，且，
，
，
，
，
故答案為：40；
（2）如圖2所示，作于，使得，
同理可得，
，，
是等腰直角三角形，
，
則入射角為；
（3）如圖所示，作關于的對稱點，連接，并延長交分別為，，
，，
，
△△，△△，
，．
，，
，
故答案為：35．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，軸對稱的性質，相似三角形的性質與判定，熟練掌握軸對稱的 性質是解題的關鍵．
【變式2-5】（2023?奉賢區(qū)三模）如圖1，是一種購物小拉車，底部兩側裝有軸承三角輪，可以在平路及樓梯上推拉物品．拉桿固定在軸上，可以繞連接點旋轉，拉桿，置物板，腳架形狀保持不變．圖2，圖3為購物車側面示意圖，拉桿，，，，，的半徑均為，為三角輪的中心，，．如圖2，當輪子，及點都放置在水平地面時，恰好與的最高點重合．此時，的高度為，則 ；如圖3，拉動，使輪子，在樓梯表面滾動，當，且，，三點共線時，點與的垂直高度差為 ．
【分析】如圖2，連接，延長交于，作于，由圓的半徑為，得，設，利用勾股定理即可求出長；作，求出、的水平距離，如圖3，連接，過作水平線，與過的鉛垂線交于，利用三角函數(shù)，即可求出．
【解答】解：如圖2，連接，延長交于，作于，
由圓的半徑為，得，
的高度為，
，
設，
，
，，
，，，
，即，
，即．
故答案為：8；
如圖2，作，
，
，
如圖3，連接，過作水平線，與過的鉛垂線交于，
由圖2得，且，
，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角的綜合應用，準確找到三角形的邊角關系是解題關鍵．
【考點題型三】解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共7小題）
【例3】（2024?徐匯區(qū)二模）小杰沿著坡比的斜坡，從坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是 米．
【分析】設上升的高度為米，根據坡比和勾股定理列方程即可求解．
【解答】解：設上升的高度為米，坡比，
根據題意得，
解得，
故答案為：50．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解坡比的定義．
【變式3-1】（2023秋?楊浦區(qū)期末）小華沿著坡度的斜坡向上行走了米，那么他距離地面的垂直高度上升了 米．
【分析】設他距離地面的垂直高度上升了米，根據坡度的概念用表示出他行走的水平距離，根據勾股定理列方程，解方程得到答案．
【解答】解：設他距離地面的垂直高度上升了米，
斜坡的坡度，
他行走的水平距離為米，
由勾股定理得：，
解得：（負值舍去），
則他距離地面的垂直高度上升了5米，
故答案為：5．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比．
【變式3-2】（2024?徐匯區(qū)三模）一斜坡的坡角為，坡長比坡高多100米，那么斜坡的高為 （用的銳角三角比表示）．
【分析】設斜坡的高為米，根據正弦的定義用表示出，根據題意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設斜坡的高為米，
在中，，
，
米，
由題意得：，
解得：，
故答案為：米．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式3-3】（2022秋?崇明區(qū)期末）如圖，有一斜坡長，坡頂離地面的高度為，求的長度及此斜坡的傾斜角的度數(shù)．
【分析】根據勾股定理得到，根據三角函數(shù)的定義即可得到結論．
【解答】解：在中，，
，
，
答：長，此斜坡的傾斜角為．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式3-4】（2024?寶山區(qū)二模）小明家院內靠墻安裝了一個遮陽篷（如圖，圖2是它的側面示意圖，遮陽篷長米，與水平面的夾角為，靠墻端離地高度米，已知該地區(qū)冬至正午太陽光照入射角，夏至正午太陽光照入射角，因此，點、之間的區(qū)域是一年四季中陽光不一定照射到的區(qū)域，求該區(qū)域深度的長．（結果精確到0.1米）
參考數(shù)據：，，；，，；，，．
【分析】過點作于點，于點，根據正切的定義求出，進而求出，根據正切的定義分別求出、，計算即可．
【解答】解：如圖，過點作于點，于點，
則四邊形為矩形，
，
在中，米，，
，
（米，
（米，
在中，米，，
，
（米，
在中，米，，
，
（米，
則（米，
答：的長約為3.8米．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式3-5】（2023?奉賢區(qū)二模）圖是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，它的示意圖．經過測量，支架的立柱與地面垂直，米，點、、在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測得米．
（1）求該支架的邊的長；
（2）求支架的邊的頂端到地面的距離．（結果精確到0.1米）
（參考數(shù)據：，，，，，
【分析】（1）由題意得，， 米，，， 米，，在中先求出，進而求出，在中求出即可；
（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，在中先確定，再根據求出即可．
【解答】解：（1）由題意得，， 米，，， 米，，
在中，，，
即 （米，
（米，
在中，，，
即 （米，
答：該支架的邊的長7米；
（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
即 （米，
（米，
（米，
答：支架的邊的頂端到地面的距離為6.5米．
【點評】本題考查解直角三角形坡度坡角問題、仰角俯角問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
【變式3-6】（2022秋?靜安區(qū)期末）有一把長為6米的梯子，將它的上端靠著墻面，下端放在地面上，梯子與地面所成的角記為，地面與墻面互相垂直（如圖1所示）．一般滿足時，人才能安全地使用這架梯子．
（1）當梯子底端距離墻面2.5米時，求的度數(shù)（結果取整數(shù)），此時人是否能安全地使用這架梯子？
（2）當人能安全地使用這架梯子，且梯子頂端離開地面最高時，梯子開始下滑，如果梯子頂端沿著墻面下滑1.5米到墻面上的點處停止，梯子底端也隨之向后平移到地面上的點處（如圖2所示），此時人是否能安全使用這架梯子？請說明理由．
【分析】（1）由的余弦求出的度數(shù)，即可解決問題；
（2）由的正弦求出，即可解決問題．
【解答】解：（1），
，
，
此時人能安全地使用這架梯子；
（2）此時人不能安全使用這架梯子，理由如下：
梯子頂端離開地面最高時，，
，
（米，
梯子頂端沿著墻面下滑1.5米到墻面上的點，
（米，
，
，
，
此時人不能安全使用這架梯子．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，關鍵是由銳角的三角函數(shù)定義求出梯子與地面的夾角．
【考點題型四】解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共6小題）
【例4】（2023秋?徐匯區(qū)期末）世博會期間，從一架離地200米的無人機上，測得地面監(jiān)測點的俯角是，那么此時無人機與地面監(jiān)測點的距離是
A．米B．米C．200米D．米
【分析】根據正切的定義求出，得到答案．
【解答】解：在中，米，，
，
（米，
故選：．
【點評】本題考查的是解直角三角形仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式4-1】（2024?浦東新區(qū)校級開學）某人在高為15米的建筑物頂部測得地面一觀察點的俯角為，那么這個觀察點到建筑物的距離為 ．
【分析】根據題意畫出示意圖，然后根據俯角的定義可得，然后可得出的度數(shù)，進而根據的正切值可得出的長度，即得出了這個觀察點到建筑物的距離．
【解答】解：如圖，
由題意得：，米，
，
，
（米，
故答案為：米．
【點評】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，解答本題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的知識及俯角的定義．
【變式4-2】（2024?青浦區(qū)二模）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，熱氣球處與樓的水平距離為米，那么這棟樓的高度為
米．（用含、、的式子表示）
【分析】過點作，垂足為，根據題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．
【解答】解：過點作，垂足為，
由題意得：米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
這棟樓的高度為米
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
【變式4-3】（2024?徐匯區(qū)校級三模）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在處測得旗桿頂部的仰角為，，則旗桿的高度為 ．
【分析】依據題意，直接利用銳角三角函數(shù)關系即可計算得解．
【解答】解：由題意可得：，
又，
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用仰角俯角，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．
【變式4-4】（2023秋?徐匯區(qū)期末）小杰在學習了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小區(qū)設計了如下測量方案：小杰利用小區(qū)中的一個斜坡，首先在斜坡的底端測得高樓頂端的仰角是，然后沿斜坡向上走到處，再測得高樓頂端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高樓底端的距離是米，且、、三點在一直線上（如圖所示）．假設測角儀器的高度忽略不計，請根據小杰的方案，完成下列問題：
（1）求高樓的高度；
（2）求點離地面的距離（結果精確到0.1米）．
（參考數(shù)據：，，，
【分析】（1）根據正切的定義求出；
（2）過點作于點，于點，設米，根據坡度的概念用表示出，根據正切的定義列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）在中，米，，
，
（米，
答：高樓的高度為60米；
（2）過點作于點，于點，
則四邊形為矩形，
，，
設米，
米，
斜坡的坡比是，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
答：點離地面的距離約為6.2米．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式4-5】（2023秋?普陀區(qū)期末）如圖，小河的對岸有一座小山，小明和同學們想知道山坡的坡度，但由于山坡前有小河阻礙，無法直接從山腳處測得山頂?shù)难鼋牵谑切∶骱屯瑢W們展開了如下的測量：
第一步：從小河邊的處測得山頂?shù)难鼋菫椋?br>第二步：從處后退30米，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋?br>第三步：測得小河寬為33米．
已知點、、在同一水平線上，請根據小明測量的數(shù)據求山坡的坡度．
（參考數(shù)據：，，，，，
【分析】過點作，交的延長線于點，根據正切的定義用表示出、，進而出去，再求出，根據坡度的概念計算，得到答案．
【解答】解：如圖，過點作，交的延長線于點，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
（米，
，
山坡的坡度為：．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【考點題型五】解直角三角形的應用-方向角問題（共6小題）
【例5】（2023秋?金山區(qū)期末）如圖，為了繞開島礁區(qū)，一艘船從處向北偏東的方向行駛8海里到處，再從處向南偏東方向行駛到發(fā)點正東方向上的處，此時這艘船距離出發(fā)點處 海里．
【分析】根據含角的直角三角形的性質求出，根據余弦的定義求出，根據等腰直角三角形的性質求出，進而求出．
【解答】解：由題意可知：在中，，海里，
則海里，海里，
在中，，
則海里，
海里，
故答案為：．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式5-1】（2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在港口的南偏西方向有一座小島，一艘船以每小時12海里的速度從港口出發(fā)，沿正西方向行駛，行了30分鐘時這艘船在處測得小島在船的正南方向，那么小島與處的距離 海里（結果保留根號）．
【分析】過點作東西方向于點，根據正切的定義求出．
【解答】解：過點作東西方向于點，
由題意得：海里，，
，
（海里），
故答案為：．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用方向角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式5-2】（2023秋?徐匯區(qū)期末）如圖，一段東西向的限速公路長500米，在此公路的南面有一監(jiān)測點，從監(jiān)測點觀察，限速公路的端點在監(jiān)測點的北偏西方向，端點在監(jiān)測點的東北方向，那么監(jiān)測點到限速公路的距離是 米（結果保留根號）．
【分析】過點作于點，則，設米，證是等腰直角三角形，得米，再由銳角三角函數(shù)定義得米，然后由，求出，即可得出結論．
【解答】解：如圖，過點作于點，
則，
設米，
由題意可知，，，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米，
，
，
解得：，
即監(jiān)測點到限速公路的距離是米，
故答案為：．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
【變式5-3】（2024?普陀區(qū)校級三模）在城市地氣象臺測得臺風中心在該地正西方向300千米的處正以每小時26千米的速度沿射線（北偏東方向）移動，如果距臺風中心200千米范圍內是受臺風影響的區(qū)域．假如這次臺風從點位置沿北偏東方向移動3小時后，方向轉為北偏東方向繼續(xù)行進．
請問：城市是否受到臺風的影響？如果受到影響，請計算影響的時間；如果不影響，請說明理由？（結果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據：
【分析】過點作于點，過點作于點，風從點位置沿北偏東方向移動3小時到達點，求出，在中，，，，在中，，求，在射線上時最短的距離，，，，在中，，在中，，在中，，求出，在中，，求出，比較即可．
【解答】解：如圖，過點作于點，過點作于點，
風從點位置沿北偏東方向移動3小時到達點，
則（千米），
，
在中，
，，
（千米），
在中，
，
，
臺風中心在射線上運動時，不是臺風影響區(qū)域，
在射線上時最短的距離，
，
，
，
，
千米，（千米），
，
在中，
（千米），
在中，
，
在中，
（千米），
（千米），
在中，，
（千米），
，
城市不受臺風的影響．
【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是畫圖，作輔助線．
【變式5-4】（2022秋?崇明區(qū)期末）如圖，航母由西向東航行，到達處時，測得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達處，測得小島位于它的北偏東方向，如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長．參考數(shù)據：，，
【分析】根據含角的直角三角形的性質求出，再根據正切的定義求出．
【解答】解：在中，，海里，
則（海里），
在中，，
，
（海里），
答：還需航行的距離的長約為30海里．
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
【變式5-5】（2024?嘉定區(qū)二模）某東西方向的海岸線上有、兩個碼頭，這兩個碼頭相距60千米，有一艘船在這兩個碼頭附近航行．
（1）當船航行了某一刻時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，如圖1，求碼頭與船的距離的長），其結果保留3位有效數(shù)字；
（參考數(shù)據：，，，
（2）當船繼續(xù)航行了一段時間時，由碼頭測得船在北偏東，由碼頭測得船在北偏西，船到海岸線的距離是（即，如圖2，求的長，其結果保留根號．
【分析】（1）根據題意得：千米，由，得到，由，得到，求得；根據三角函數(shù)的定義即可得到結論．
（2）根據題意得到千米，由，得到由，得到，求得，過點作，垂足為，解直角三角形即可得到結論．
【解答】（1）根據題意得：千米，
，
，
，
，
，
；
在中，，
，
（千米），
千米；
答：碼頭與船的距離為49.2千米．
（2）根據題意得：千米，
，
，
，
，
，
過點作，垂足為，
在中，（千米），（千米），
在中，
（千米），
千米，
答：船到海岸線的距離為千米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題，熟練掌握方向角的定義是解題的關鍵．

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