?圓的認(rèn)識(shí) ?切線的判定
?垂徑定理 ?切線的判定與性質(zhì)
?圓周角定理 ?切線長(zhǎng)定理
?圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ?三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心
?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ?正多邊形和圓
?三角形的外接圓與外心 ?扇形面積的計(jì)算
?切線的性質(zhì)
一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）
1．如圖，一個(gè)人握著板子的一端，另一端放在圓柱上，某人沿水平方向推動(dòng)板子帶動(dòng)圓柱向前滾動(dòng)，假設(shè)滾動(dòng)時(shí)圓柱與地面無滑動(dòng)，板子與圓柱也沒有滑動(dòng)．已知板子上的點(diǎn)B（直線與圓柱的橫截面的切點(diǎn)）與手握板子處的點(diǎn)C間的距離BC的長(zhǎng)為L(zhǎng)m，當(dāng)手握板子處的點(diǎn)C隨著圓柱的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)到板子與圓柱橫截面的切點(diǎn)時(shí)，人前進(jìn)了 2L m．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：因?yàn)閳A向前滾動(dòng)的距離是Lm，所以人前進(jìn)了2Lm．
二．垂徑定理（共4小題）
2．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．3D．4
【答案】C
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD，
由垂徑定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四邊形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四邊形MONP是正方形，
∴OP＝3
故選：C．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD＝AP＝8，則⊙O的直徑為（ ）
A．10B．8C．5D．3
【答案】A
【解答】解：連接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，設(shè)OC＝x，則OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直徑為10．
故選：A．
4．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
設(shè)OD＝x，則BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故選：C．
5．在半徑為10cm圓中，兩條平行弦分別長(zhǎng)為12cm，16cm，則這兩條平行弦之間的距離為（ ）
A．28cm或4cmB．14cm或2cmC．13cm或4cmD．5cm或13cm
【答案】B
【解答】解：有兩種情況：①如圖，當(dāng)AB和CD在O的兩旁時(shí)，
過O作MN⊥AB于M，交CD于N，連接OB，OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
由垂徑定理得：BM＝AB＝8cm，DN＝CD＝6cm，
∵OB＝OD＝10cm，
由勾股定理得：OM＝＝6cm，
同理ON＝8cm，
∴MN＝8cm+6cm＝14cm，
②當(dāng)AB和CD在O的同旁時(shí)，MN＝8cm﹣6cm＝2cm，
故選：B．
三．圓周角定理（共5小題）
6．如圖，半圓O的直徑AB＝7，兩弦AC、BD相交于點(diǎn)E，弦CD＝，且BD＝5，則DE等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解法一：
∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴＝；
設(shè)BE＝2x，則DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；
連接BC，則∠ACB＝90°；
Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，則BC＝x；
在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；
由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，
即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；
由于x＜，故x＝﹣；
則DE＝5﹣2x＝2．
解法二：連接OD，OC，AD，
∵OD＝CD＝OC
則∠DOC＝60°，∠DAC＝30°
又AB＝7，BD＝5，
∴AD＝2，
在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，
所以DE＝2．
故選：A．
7．如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB＝，則弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【答案】D
【解答】解：如圖，連接OA、OB，過O作AB的垂線；
在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝；
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°；
∴∠D＝∠AOB＝60°；
∵四邊形ADBE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°；
因此弦AB所對(duì)的圓周角有兩個(gè)：60°或120°；
故選：D．
8．如圖，半圓的半徑OC＝2，線段BC與CD是半圓的兩條弦，BC＝CD，延長(zhǎng)CD交直徑BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AE＝2，則弦BD的長(zhǎng)為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】 解：如圖，連接OD，AD，
∵BC＝DC，BO＝DO，
∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，
∴∠CDO＝∠CBO，
又∵OC＝OB＝OD，
∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC＝DC，
∴BD⊥CO，
又∵AB是直徑，
∴AD⊥BD，
∴AD∥CO，
又∵AE＝AO＝2，
∴AD＝CO＝1，
∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．
故答案為：．
9．如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．
（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長(zhǎng)．
【答案】（1）△BDE為等腰直角三角形．證明過程見解答部分；
（2）BC＝8．
【解答】（1）解：△BDE為等腰直角三角形．
證明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：計(jì)算∠AEB＝135°也可以得證．
（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分別延長(zhǎng)AC，BD相交于點(diǎn)G．則△ABG為等腰三角形，先計(jì)算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根據(jù)面積相等求得BC．
10．已知：如圖，在半徑為2的半圓O中，半徑OA垂直于直徑BC，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在弦AB、AC上滑動(dòng)并保持AE＝CF，但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與A、B重合．
（1）求四邊形AEOF的面積．
（2）設(shè)AE＝x，S△OEF＝y(tǒng)，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求x的取值范圍．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵BC為半圓O的直徑，OA為半徑，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四邊形AEOF＝S△AOB＝OB?OA＝2．
（2）∵BC為半圓O的直徑，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四邊形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE?AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
四．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）
11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，＝，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC為直徑，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．
五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共4小題）
12．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（ ）
A．+1B．+C．2+1D．2﹣
【答案】B
【解答】解：如圖，
∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半徑為1，
取OD＝OA＝2，連接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝CD，
當(dāng)OM最大時(shí)，即CD最大，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值為+；
故選：B．
13．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的取值范圍是（ ）
A．﹣2＜BE≤B．﹣2≤BE＜3
C．≤BE＜3D．﹣≤BE＜3
【答案】B
【解答】解：如圖，
由題意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），
∴BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中E′點(diǎn)），
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，CM＝2，
則BM＝＝＝，
∴BE長(zhǎng)度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，
當(dāng)BE最長(zhǎng)時(shí)，即E與C重合，
∵BC＝3，且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，
∴BE＜3，
綜上，﹣2≤BE＜3，
故選：B．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），⊙A的半徑為2，點(diǎn)C為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，連接OD，則OD的最大值為 3.5 ．
【答案】3.5．
【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
如圖1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'C，
∴OB＝OB'＝3，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴OD是△BB'C的中位線，
∴OD＝B'C，
∴當(dāng)B'C最大時(shí)，OD有最大值，
如圖2，當(dāng)B'，C，A共線時(shí)，B'C有最大值，
由勾股定理得：AB'＝＝5，
∴B'C＝B'A+AC＝5+2＝7，
此時(shí)OD有最大值是B'C＝3.5，
故答案為：3.5．
15．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，D為BC邊上的中點(diǎn)，P為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAD＝∠PDC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為 ﹣ ．
【答案】﹣．
【解答】解：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，D為BC邊上的中點(diǎn)，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PAD＝∠PDC，
∴∠PAD+∠ADP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴點(diǎn)P在以AD為直徑的⊙O上，連接OC，當(dāng)O，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，PC的長(zhǎng)最小，
在Rt△ADC中，AC＝4，CD＝2，
∴AD＝＝2，
∵O是AD的中點(diǎn)，
∴OD＝＝OP，
由勾股定理得：OC＝＝＝，
∴CP＝﹣，
即線段CP長(zhǎng)的最小值為﹣．
故答案為：﹣．
六．三角形的外接圓與外心（共3小題）
16．下列四個(gè)命題：
①等邊三角形是中心對(duì)稱圖形；
②在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等；
③三角形有且只有一個(gè)外接圓；
④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條?。?br>其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解答】解：∵等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，
∴①是假命題；
如圖，∠C和∠D都對(duì)弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命題；
三角形有且只有一個(gè)外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即③是真命題；
垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧，即④是真命題．
故選：B．
17．在△ABC中，I是外心，且∠BIC＝130°，則∠A的度數(shù)是（ ）
A．65°B．115°C．65°或115°D．65°或130°
【答案】C
【解答】解：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠A＝∠BIC＝65°；
當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，則∠A＝180°﹣∠BIC＝115°．
故選：C．
18．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（ ）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【答案】D
【解答】解：如圖：作AB的垂直平分線MN，作BC的垂直平分線PQ，設(shè)MN與PQ相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，則點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，
由題意得：OA2＝12+22＝5，
OC2＝12+22＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵AO＝OC＝，
∴圖中陰影部分的面積＝扇形AOC的面積﹣△AOC的面積﹣△ABC的面積
＝﹣OA?OC﹣AB?1
＝﹣××﹣×2×1
＝﹣﹣1
＝﹣，
故選：D．
七．切線的性質(zhì)（共5小題）
19．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圓的圓心O在BC上，半圓與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，則半圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：連接OE，OD，
∵圓O切AC于E，圓O切AB于D，
∴∠OEA＝∠ODA＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠ODA＝∠OEA＝90°，
∵OE＝OD，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴AD＝AE＝OD＝OE，
設(shè)OE＝AD＝AE＝OD＝R，
∵∠A＝90°，∠OEC＝90°，
∴OE∥AB，
∴△CEO∽△CAB，
同理△BDO∽△BAC，
∴△CEO∽△ODB，
∴＝，
即＝，
解得：R＝，
故選：A．
20．如圖，P是拋物線y＝x2﹣4x+3上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線y＝0相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：當(dāng)y＝1時(shí)，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±，
∴P（2+，1）或（2﹣，1），
當(dāng)y＝﹣1時(shí)，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，﹣1），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．
21．已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是84、210，一個(gè)單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來的位置（如圖），則這個(gè)三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓滾過的部分的面積是 84﹣π （結(jié)果保留準(zhǔn)確值）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖；
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R，△DEF的內(nèi)切圓半徑為r；
依題意有：×84×R＝210，即R＝5；
易知：△DEF∽△ABC，且r：R＝4：5，
∴C△DEF＝C△ABC＝67.2；
易知：被圓滾過的三角形內(nèi)部的三角形也和△ABC相似；
且其內(nèi)切圓半徑為：R﹣2＝3，即其面積＝S△ABC＝75.6；
由圖知：S四邊形AHDG＝2S△AGD＝AG?1＝AG，同理S四邊形PEQB＝BQ，S四邊形CNFM＝CM；
∴S四邊形AHDG+S四邊形PEQB+S四邊形CNFM＝AG+CM+BQ＝（C△ABC﹣C△DEF）＝8.4；
而S扇形DHG+S扇形PEQ+S扇形FMN＝S單位圓＝π，
∴所求的面積＝75.6+8.4﹣π＝84﹣π．
22．已知點(diǎn)M（2.0），⊙M的半徑為1，OA切⊙M于點(diǎn)A，點(diǎn)P為⊙M上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P的坐標(biāo)為 （1，0），（3，0）（，） 時(shí)，△POA是等腰三角形．
【答案】（1，0），（3，0），（，）．
【解答】解：如圖，當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．理由如下：
連接AM，
∵M(jìn)（2.0），⊙M的半徑為1，
∴OM＝2，AM＝PM＝1，
∴OP＝1，
∵OA切⊙M于點(diǎn)A，
∴∠MAO＝90°，
∴∠AOM＝30°，
∴∠AMO＝60°，
∴PA＝AM＝PM＝1，
∴OP＝PA＝1，
∴P（1，0）；
當(dāng)OA＝OP′時(shí)，連接AP′交x軸于點(diǎn)H，
∵OA切⊙M于點(diǎn)A，
∴OP′切⊙M于點(diǎn)P′，
∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，
∴∠AOP′＝60°，
∴△AOP′是等邊三角形，
∴AP′＝OA＝＝＝，
∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，
∴P′（，）；
∵M(jìn)A＝MP″，∠AMO＝60°，
∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，
∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，
∴OA＝OP″，
∴P″（3，0）．
綜上所述：當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，）時(shí)，△POA是等腰三角形．
故答案為：（1，0），（3，0），（，）．
23．△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AB的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：DF∥BC；
（2）連接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DF是⊙O的切線，
∴OD⊥DF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∴DF∥BC；
（2）解：連接OB，
∵，
∴∠BOD＝∠BAC，
由（1）知OD⊥BC，
∴tan∠BOD＝，
∵tan∠BAC＝2，
∴，
設(shè)ON＝x，BN＝2x，
由勾股定理得：OB＝3x，
∴OD＝3x，
∴DN＝3x﹣x＝2x，
Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，
∴，
x＝2或﹣2（舍），
∴OB＝OD＝3x＝6，
Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．
八．切線的判定（共2小題）
24．如圖，半圓O的直徑DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)D、E始終在直線BC上．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC＝8cm．當(dāng)t＝ 1s，4s，7s 時(shí)，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．
【答案】1s，4s，7s．
【解答】解：①當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合是時(shí)，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此時(shí)AC與半圓O所在的圓相切，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了2cm，
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝2÷2＝1（s）；
②當(dāng)圓心O運(yùn)動(dòng)到AC右側(cè)與AC相切時(shí)，
此時(shí)OC＝6cm，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的距離為8+6＝14（cm），
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝14÷2＝7（s）；
③如圖1，過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB于F點(diǎn)；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
當(dāng)半圓O與△ABC的邊AB相切時(shí)，
∵圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了8cm，所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝8÷2＝4（s），
當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的右側(cè)，且OB＝12cm時(shí)，
如圖2，過點(diǎn)O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，則OQ＝6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．
此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了32cm．
所求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t＝32÷2＝16s，
綜上可知當(dāng)t的值為1s或4s或7秒或16s時(shí)，
Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．
因?yàn)閳A心O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，
所以此種情況不符合題意舍去，
故答案為：1s，4s，7s．
25．已知，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A交x軸于點(diǎn)B和C，交y軸于點(diǎn)D（0，4），過點(diǎn)D的直線與x軸交于點(diǎn)P，且tan∠APD＝．
（1）求證：PD是⊙A的切線；
（2）判斷在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使得S△MOD＝2S△AOD？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO＝2，OD＝4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝，
∵tan∠APD＝，
∴∠ADO＝∠APD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO+∠APD＝90°，
∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半徑，
∴PD是⊙A的切線．
（2）解：在△ADO中，OA＝2，OD＝4，由勾股定理得：AD＝2，
在Rt△PDA中，tan∠APD＝＝，
即PD＝4，
由勾股定理得：AP＝＝10，
∵OA＝2，
∴OP＝8，
即P（﹣8，0），
∵D（0，4），
∴設(shè)直線PD的解析式是：y＝kx+4，
把P的坐標(biāo)代入得：0＝﹣8k+4，
解得：k＝，
∴直線PD的解析式是y＝x+4，
假如存在M點(diǎn)，使得S△MOD＝2S△AOD，
設(shè)M的坐標(biāo)是（x，x+4），
如圖：
當(dāng)M在y軸的左邊時(shí)，過M作MN⊥OD于N，
∵S△MOD＝2S△AOD，
∴×4×（﹣x）＝2××2×4，
解得：x＝﹣4，
y＝x+4＝2，
即此時(shí)M坐標(biāo)是（﹣4，2），
當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右邊時(shí)，同法可求M的橫坐標(biāo)是4，代入y＝x+4得y＝6，
此時(shí)M的坐標(biāo)是（4，6），
即在直線PD上存在點(diǎn)M，使得S△MOD＝2S△AOD，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，2）或（4，6）．
九．切線的判定與性質(zhì)（共6小題）
26．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接DE交線段OA于點(diǎn)F．
（1）求證：DH是圓O的切線；
（2）若＝，求證：A為EH的中點(diǎn)．
（3）若EA＝EF＝1，求圓O的半徑．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明：（1）連接OD，如圖1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圓O的切線；
（2）如圖1，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵＝，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝＝，
設(shè)OD＝3x，AE＝2x，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴BD＝CD，
∴AC＝2OD＝6x，
∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，
∵ED＝DC，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝4x，
∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，
∴AE＝AH，
∴A是EH的中點(diǎn)；
（3）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
則∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+1，
∴BD＝CD＝DE＝r+1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，
∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴，
解得：r1＝，r2＝（舍），
綜上所述，⊙O的半徑為．
27．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)M，與AB的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過M作MN⊥AB，垂足為N．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為5，sinB＝，求ED的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OM，如圖1，
∵OC＝OM，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵M(jìn)N⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM過O，
∴MN是⊙O的切線；
（2）解：連接DM，CE，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M為BC的中點(diǎn)，
∵sinB＝，
∴csB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD?csB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC?csB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
28．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，連接BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，cs∠BAC＝，求BD的長(zhǎng)及⊙O的半徑．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：如圖1，作直徑BE，交⊙O于E，連接EC、OC，
則∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠A＝∠D，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠A＝∠E，
∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD＝90°，
即∠EBD＝90°，
∴BD是⊙O的切線；
（2）如圖2，∵cs∠BAC＝cs∠E＝，
設(shè)EC＝3x，EB＝5x，則BC＝4x，
∵AB＝BC＝10＝4x，
x＝，
∴EB＝5x＝，
∴⊙O的半徑為，
過C作CG⊥BD于G，
∵BC＝CD＝10，
∴BG＝DG，
Rt△CGD中，cs∠D＝cs∠BAC＝，
∴，
∴DG＝6，
∴BD＝12．
29．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF．
（1）求證：BF與⊙O相切；
（2）若AP＝OP，csA＝，AP＝4，求BF的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接OB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，
∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，
∴BF＝EF＝DE，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵∠AEP＝∠FEB，
∴∠FBE＝∠AEP，
∵PD⊥AC，
∴∠EPA＝90°，
∴∠A+∠AEP＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠OBA+∠FBE＝90°，
∴∠OBF＝90°，
∵OB是⊙O的半徑，
∴BF與⊙O相切；
（2）解：在Rt△AEP中，csA＝，AP＝4，
∴AE＝＝＝5，
∴PE＝＝＝3，
∵AP＝OP＝4，
∴OA＝OC＝2AP＝8，
∴PC＝OP+OC＝12，
∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，
∴∠AEP＝∠C，
∵∠APE＝∠DPC＝90°，
∴△APE∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
∴DP＝16，
∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，
∴BF＝DE＝，
∴BF的長(zhǎng)為．
30．如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ACB＝2∠BAE．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）證明：連接AD．
∵E是弧BD的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠BAD＝2∠BAE．
∵∠ACB＝2∠BAE，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°．
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝90°．
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．
∵∠BAE＝∠DAE，∠ADB＝90°，
∴GF＝DF，
在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，sinB＝＝，
即＝，
解得，BF＝3．
31．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，且D為弧BC中點(diǎn)，過點(diǎn)D的直線DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；
（3）若sin∠EAF＝，DF＝4，求AE的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明過程解解答；
（2）陰影部分的面積為2﹣π；
（3）AE的長(zhǎng)為．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∵D為弧BC中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∴∠E＝∠ODF＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵∠DAB＝30°，
∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，
在Rt△ODF中，DO＝2，
∴DF＝OD?tan60°＝2，
∴陰影部分的面積＝△ODF的面積﹣扇形BOD的面積
＝OD?DF﹣
＝×2×2﹣π
＝2﹣π，
∴陰影部分的面積為2﹣π；
（3）∵AC∥OD，
∴∠EAF＝∠DOF，
∴sin∠EAF＝sin∠DOF＝，
在Rt△ODF中，sin∠DOF＝＝，
∴OF＝5，
∴OD＝＝＝3，
∴OA＝OD＝3，
∴AF＝OA+OF＝3+5＝8，
∵∠F＝∠F，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴AE的長(zhǎng)為．
十．切線長(zhǎng)定理（共1小題）
32．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為 44 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝44，
故答案為：44．
十一．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）
33．在銳角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝，
（1）如圖1，求三角形ABC外接圓的直徑；
（2）如圖2，點(diǎn)I為三角形ABC的內(nèi)心，BA＝BC，求AI的長(zhǎng)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】（1）解：作DB垂直于BC，連DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC為直徑．
∵∠A＝∠D，BC＝5，sinA＝，
∴sinD＝＝，
∴CD＝，
答：三角形ABC外接圓的直徑是．
（2）解：連接IC、BI，且延長(zhǎng)BI交AC于F，過點(diǎn)I作IG⊥BC于點(diǎn)G，過I作IE⊥AB于E，
∵AB＝BC＝5，I為△ABC內(nèi)心，
∴BF⊥AC，AF＝CF，
∵sinA＝＝，
∴BF＝4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝3，
∵BA＝BC，I是內(nèi)心，
即BF是∠ABC的角平分線，
∴AC＝2AF＝6，
∵I是△ABC內(nèi)心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE＝IF＝IG，
設(shè)IE＝IF＝IG＝R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面積之和等于△ABC的面積，
∴AB×R+BC×R+AC×R＝AC×BF，
即5×R+5×R+6×R＝6×4，
∴R＝，
在△AIF中，AF＝3，IF＝，由勾股定理得：AI＝．
答：AI的長(zhǎng)是．
十二．正多邊形和圓（共4小題）
34．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，AB＝2，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．πB．2πC．D．4π
【答案】B
【解答】解：如圖，連接BO，F(xiàn)O，OA．
由題意得，△OAF，△AOB都是等邊三角形，
∴∠AOF＝∠OAB＝60°，
∴AB∥OF，
∴△OAB的面積＝△ABF的面積，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AF＝AB，
∴圖中陰影部分的面積等于扇形OAB的面積×3＝×3＝2π，
故選：B．
35．如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM＝ 48° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接OA，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，
故答案為：48°．
36．如圖，點(diǎn)M、N分別是正五邊形ABCDE的兩邊AB、BC上的點(diǎn)．且AM＝BN，點(diǎn)O是正五邊形的中心，則∠MON的度數(shù)是 72 度．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接OA、OB、OC，
∠AOB＝＝72°，
∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBC，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON＝∠AOM，
∴∠MON＝∠AOB＝72°，
故答案為：72．
37．以正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn) 60 °．
【答案】60°．
【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點(diǎn)D′落在直線BC上，
則∠DCD'至少為60°，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn)60°．
故答案為：60°．
十三．扇形面積的計(jì)算（共3小題）
38．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，則線段AB掃過的圖形面積為（ ）
A．B．
C．6πD．以上答案都不對(duì)
【答案】D
【解答】解：陰影面積＝＝π．
故選：D．
39．如圖，點(diǎn)O是半徑為3的圓形紙片的圓心，將這個(gè)圓形紙片按下列順序折疊，使弧AB和弧BC都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積為（ ）
A．2πB．3πC．D．
【答案】B
【解答】解：作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，CO，如圖所示：
∵OD＝AO
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
同理∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴陰影部分的面積＝S扇形BOC＝×⊙O面積＝×π×32＝3π，
故選：B．
40．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，則線段AB掃過圖形（陰影部分）的面積為 ．（結(jié)果保留π）
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖：S扇形ACA′＝＝＝6π；
S扇形BCB′＝＝＝π；
則S陰影＝6π﹣＝．

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猜題07 二次函數(shù)（易錯(cuò)必刷40題11種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）-九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

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猜題05 反比例函數(shù)（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）-九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

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猜題04 圖形的相似（易錯(cuò)必刷30題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）-九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

猜題04 圖形的相似（易錯(cuò)必刷30題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）-九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）
猜題03 概率、投影和視圖（易錯(cuò)必刷30題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）-九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

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