?生活中的平移現(xiàn)象
?坐標與圖形變化-平移
?中心對稱
?關(guān)于原點對稱的點的坐標
?利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案
?平移的性質(zhì)
?旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
?中心對稱圖形
?作圖-旋轉(zhuǎn)變換
?
一．生活中的平移現(xiàn)象（共4小題）
1．右圖要被移動到其它位置，下面哪個圖形是移動后的該圖（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根據(jù)移動的特點，B、C、D中圖形的形狀發(fā)生了改變，不是平移；
A、是圖形旋轉(zhuǎn)180°得到的，是移動．
故選：A．
2．如圖是某公園里一處矩形風景欣賞區(qū)ABCD，長AB＝50米，寬BC＝25米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那小明沿著小路的中間，從出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長為（ ）
A．74米B．98米C．99米D．100米
【答案】B
【解答】解：由題意得：
50+（25﹣2×0.5）×2
＝50+24×2
＝50+48
＝98（米），
∴從出口A到出口B所走的路線圖中虛線長為98米，
故選：B．
3．如圖是一個會場臺階的截面圖，要在上面鋪上地毯，則所需地毯的長度是 3.2 m．
【答案】3.2．
【解答】解：樓梯的長為2m，高為1.2m，則所需地毯的長度是2+1.2＝3.2（m）．
故答案為：3.2．
4．夏季荷花盛開，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點擬在如圖所示的長方形荷塘上架設(shè)小橋（圖中虛線），若荷塘周長為900m，且橋?qū)捄雎圆挥嫞瑒t小橋的總長為 450 m．
【答案】450．
【解答】解：∵荷塘周長為900m，
∴小橋總長為：900÷2＝450（m）．
故答案為：450．
二．平移的性質(zhì)（共2小題）
5．如圖：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則內(nèi)部五個小直角三角形的周長為 30 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，
故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為AC+BC+AB＝30．
故答案為：30．
6．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，將△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，若四邊形ADFC的面積為24，則平移的距離為 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由平移得：AD∥CF，AD＝CF，
∴四邊形ADFC是平行四邊形，
∵四邊形ADFC的面積為24，∠B＝90°，
∴CF?AB＝24，
∵AB＝6，
∴CF＝4，
∴平移的距離為4，
故答案為：4．
三．坐標與圖形變化-平移（共1小題）
7．如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標系的原點，A點的坐標為（4，0），C點的坐標為（0，6），點B在第一象限內(nèi)，點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O﹣A﹣B﹣C﹣O的路線移動（即：沿著長方形移動一周）．
（1）寫出點B的坐標（ 4，6 ）．
（2）當點P移動了4秒時，描出此時P點的位置，并求出點P的坐標．
（3）在移動過程中，當點P到x軸距離為5個單位長度時，求點P移動的時間．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)，可得AB與y軸平行，BC與x軸平行；
故B的坐標為（4，6）；
故答案為：（4，6）；
（2）根據(jù)題意，P的運動速度為每秒2個單位長度，
當點P移動了4秒時，則其運動了8個長度單位，
此時P的坐標為（4，4），位于AB上；
（3）根據(jù)題意，點P到x軸距離為5個單位長度時，有兩種情況：
P在AB上時，P運動了4+5＝9個長度單位，此時P運動了4.5秒；
P在OC上時，P運動了4+6+4+1＝15個長度單位，此時P運動了＝7.5秒．
四．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共16小題）
8．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長為（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．
故選：B．
9．如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′（點B的對應(yīng)點是點B'，點C的對應(yīng)點是點C'），連接BB′，若AC′∥BB′，則∠C'AB′的度數(shù)為（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
故選：B．
10．如圖，直線c與直線a相交于點A，與直線b相交于點B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直線a∥b，則將直線a繞點A按如圖所示的方向至少旋轉(zhuǎn)（ ）
A．10°B．20°C．60°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵∠2＝60°，
∴若要使直線a∥b，則∠3應(yīng)該為60°，
又∵∠1＝130°，
∴∠3＝50°，
∴直線a繞點A按順時針方向至少旋轉(zhuǎn)：60°﹣50°＝10°，
故選：A．
11．如圖，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且點C在邊OA上，連接CB，將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段OE，使得DE＝CB，則∠BOE的度數(shù)為（ ）
A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°
【答案】B
【解答】解：如圖，當OE在∠BOD內(nèi)部時，若∠DOE＝∠COB＝15°，則
由OD＝OC，∠DOE＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE≌△OCB，
故DE＝CB，
此時∠BOE＝45°﹣15°﹣15°＝15°；
當OE'在∠BOD外部時，則
由OD＝OC，∠DOE'＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE'≌△OCB，
故DE'＝CB，
此時∠BOE'＝45°﹣15°+15°＝45°；
故選：B．
12．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞A′逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，點B′恰好與點C重合，則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（ ）
A．4，30°B．2，60°C．1，60°D．3，30°
【答案】B
【解答】解：由平移得：AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C′＝60°，
由旋轉(zhuǎn)得：A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等邊三角形，
∴∠B′A′C＝60°，B′C＝A′B′＝4，
∵BC＝6，
∴BB′＝BC﹣B′C＝6﹣4＝2，
∴平移的距離為2，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°，
故選：B．
13．已知等邊△ABC的邊長為4，點P是邊BC上的動點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點D是AC邊的中點，連接DQ，則DQ的最小值是（ ）
A．B．C．2D．不能確定
【答案】B
【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵點D是AC邊的中點，
∴CD＝2，
當DQ⊥CQ時，DQ的長最小，
此時，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故選：B．
14．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為 9 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
如圖，過A1作A1D⊥AB于D，則A1D＝A1B＝3，
∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S陰影＝S△A1BA＝9．
故答案為：9．
15．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直線BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當點D運動時，則線段AF的最小值是 1+ ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，過A作AP⊥EG于P，過F作FH⊥EG于H，則∠DGE＝∠EHF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG＝∠FEH，
又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF＝EG，
∵△ABC是等邊三角形，AB＝3，AE＝AC，
∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，
∴EG＝CG＝，
∴HF＝，
∴當點D運動時，點F與直線GH的距離始終為個單位，
∴當AF⊥EG時，AF的最小值為AP+HF＝1+，
故答案為：1+．
16．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有 ①②③ （填序號）
①△BPQ是等邊三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB＝150° ④∠APC＝135°
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠QPC＞30°，
即∠APC＜135°，
故答案為：①②③．
17．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點，OA＝6，OB＝8，OC＝10，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論：①△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O'的距離為8；③四邊形AOBO'的面積為24+15； ④∠AOB＝150°；⑤S△AOC+S△AOB＝9+24，其中正確的結(jié)論是 ①②④⑤ ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：在△BO′A和△BOC中，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，①正確；
如圖1，連接OO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△BOO′是等邊三角形，
∴點O與O'的距離為8，②正確；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面積為×6×8＝24，
又等邊△BOO′面積為×8×4＝16，
∴四邊形AOBO'的面積為24+16，③錯誤；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正確；
如圖2，將線段，AO以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AO'，連接OO′，
則△AO′B≌△AOC（SAS），
△BOO′是直角三角形，∠BOO′＝90°，
△AOO′是等邊三角形，
所以△AOC面積+△AOB面積＝四邊形AO′BO面積＝△AOO′面積+△BOO′＝9+24，⑤正確．
故答案為①②④⑤．
18．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，點D是直線AB上一動點，線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，則線段BE長度的最小值為 ．
【答案】．
【解答】解：如圖1，過點C作CT⊥CB于C，取CT＝CB，連接BT，DT，過點T作TH⊥AB于H，過點C作CK⊥AB于K，CT與直線AB交于O，
∵∠ECD＝∠BCT＝90°，
∴∠ECB＝∠DCT，
∵CE＝CD，CB＝CT，
∴△ECB≌△DCT（SAS），
∴BE＝DT，
∴當點D與H重合時，DT的值最小，此時BE的值最小，最小值＝TH的長，
∵CK⊥AB，
∴CK2＝AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴52﹣AK2＝72﹣（8﹣AK）2，
∴AK＝，
∴AC＝2AK，
∴∠ACK＝30°，CK＝，
設(shè)AO＝x，則OK＝+x，
則OC2＝CK2+OK2＝BO2﹣BC2，
∴（+x）2+（）2＝（8+x）2﹣72，
∴x＝，
∵S△BOT＝S△BCT﹣S△BCO，
∴?TH?（8+）＝×7×7﹣××（8+），
∴TH＝，
∴BE的最小值為．
解法二：如圖2，過點C作CH⊥AB于H，過C作CG⊥CH于C，取CG＝CH，連接EG，延長EG交AB于F．
∵∠ECD＝∠HCG＝90°，
∴∠ECG＝∠DCH，
∵CE＝CD，CG＝CH，
∴△CGE≌△CHD（SAS），
∴∠CGE＝∠CHD＝∠HCG＝90°，
∵CH＝CG，
∴四邊形CHFG是正方形，
∴點E在直線EF上運動，當BE⊥EF時，BE的值最小，最小值是BF，
設(shè)AH＝x，則有52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，
∴x＝，
∴AH＝，CH＝HF＝，
∴BF＝AB﹣AH﹣HF＝8﹣﹣＝﹣，
∴BE的最小值為．
故答案為：．
19．如圖，已知∠AOB＝90°，點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上，點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上，點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上，…，連接AA1，AA2，AA3…，依此作法，則∠AA2A3＝ 157.5° ，∠AAnAn+1等于 （180﹣） 度．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上，
∴OA＝OA1，
∴∠AA1O＝∠AOB＝，
∵點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上，
∴A1A＝A1A2，
∴∠AA2A1＝∠AA1O＝，∠AA2A3＝180°﹣＝157.5°，
∵點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上，
∴A2A＝A2A3，
∴∠AA3A2＝∠AA2A1＝，
以此類推，∠AAnAn﹣1＝，
∴∠AAnAn+1＝180°﹣．
故答案為：157.5°，180﹣．
20．閱讀下面材料，并解決問題：
（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．
為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本運用
請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題
已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′為等邊三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易證△P P′C為直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案為：150°；
（2）如圖2，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，
∴△A′O′B如圖所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
21．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，將△APB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△CQB．
（1）旋轉(zhuǎn)角為 60 度；
（2）求點P與點Q之間的距離；
（3）求∠BPC的度數(shù)．
【答案】（1）60；
（2）4；
（3）150°．
【解答】解：（1）∵將△APB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋轉(zhuǎn)角度為60°，
故答案為：60；
（2）連接PQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等邊三角形，
∴PQ＝PB＝4；
即點P與點Q之間的距離是4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等邊三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．
22．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC＝112°，∠MON＝α．
（1）如圖1，當α＝70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數(shù)；
（2）如圖2，當OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α＝80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；
（3）當∠MON在直線AB上方時，若α＝90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA＝2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH＝124°，請直接寫出此時n的值．
【答案】（1）14°；
（2）旋轉(zhuǎn)一共用了26.5s或41.5s；
（3）54.4°或144°．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝112°，OM平分∠BOC，
∴∠MOB＝∠BOC＝56°，
∵∠MON＝70°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝14°；
（2）由（1）知∠HOB＝∠COB＝56°，
設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t s，
①當點N′在OH的右側(cè)時，∠HON′＝30°，
∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，
∴∠NON′＝∠N′OB+∠BON＝26°+80°＝106°；
∴t＝106°÷4°＝26.5；
②當點N′在OH的左側(cè)時，∠HON′′＝30°，
∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，
∴∠NON′′＝∠N′′OH+∠HOB+∠BON＝30°+56°+80°＝166°；
∴t＝166°÷4°＝41.5；
綜上，旋轉(zhuǎn)一共用了26.5s或41.5s；
（3）當0°＜n＜90°時，如圖，
∵∠BOF＝n，
∴∠AOF＝180°﹣n，
∵∠FOA＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝n，
∴∠HON＝∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝124°﹣n，
∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON＝2∠HON，
∴112°﹣n＝2（124°﹣n），解得n＝54.4°；
當90°＜n＜180°時，如圖，
∵∠BOF＝n，
∴∠AOF＝180°﹣n，
∵∠FOA＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝n，
∴∠HON＝360°﹣∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝360°﹣124°﹣n﹣n＝236°﹣n，
∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON＝2∠HON，
∴112°﹣n＝2（236°﹣n），解得n＝144°；
綜上，n為54.4°或144°．
23．把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，以D為頂點作∠MDN，交邊AC，BC于點M，N．
（1）如圖1，若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，AM，MN，BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，當∠ACD+∠MDN＝90°時，AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．
【答案】（1）AM+BN＝MN．證明見解答；
（2）AM+BN＝MN．證明見解答．
【解答】解：（1）AM+BN＝MN．證明如下：
如圖1，延長CB到E，使BE＝AM，連接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵△ADC≌△BDC，
∴AD＝BD，
在△DAM和△DBE中，
，
∴△DAM≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠A＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝∠BDC＝60°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDN＝∠ADC＝∠BDC，
∴∠ADM+∠BDN＝∠BDE+∠BDN＝∠EDN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN；
（2）AM+BN＝MN．證明如下：
如圖2，延長CB到E，使BE＝AM，連接DE．
由（1）同理得△DAM≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠CDB，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∠CDM＝∠NDB，
∴∠MDN＝∠NDE．
在△MDN和△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
五．中心對稱（共1小題）
24．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第一象限，點B，C的坐標分別為（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直線AB交y軸于點P，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于點P成中心對稱，則點A′的坐標為（ ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
【答案】A
【解答】解：∵點B，C的坐標分別為（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則
，
解得，
∴直線AB解析式為y＝x﹣1，
令x＝0，則y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵點A與點A'關(guān)于點P成中心對稱，
∴點P為AA'的中點，
設(shè)A'（m，n），則＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故選：A．
六．中心對稱圖形（共2小題）
25．如所示圖形中，既是軸對稱圖形但又是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：C．
26．數(shù)學興趣小組活動時，提出了如下問題：如圖1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決方法：延長AD到E．使得DE＝AD．再連接BE（或?qū)CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
遷移應(yīng)用：請參考上述解題方法，證明下列命題：
如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
（1）求證：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索線段BE，CF，EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．
【答案】見試題解答內(nèi)容．
【解答】（1）證明：如圖，延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．
（或把△CFD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．

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