1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分
【備考策略】1.理解、掌握導(dǎo)數(shù)的定義，能夠運用導(dǎo)數(shù)求解基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.能掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線的性質(zhì)
3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會求在一點與過一點的切線方程
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的切線方程。
知識講解
知識點一.導(dǎo)數(shù)的定義
1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：
稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率lim?x→∞fx0+?x?f(x0)?x=lim?x→∞?y?x為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x0)或y，|x=x0，即f x0=lim?x→∞?y?x=lim?x→∞fx0+?x?f(x0)?x
2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)：
f (x)=y，=lim?x→∞fx+?x?f(x)?x,
3.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：
= 1 \* GB3 ①求函數(shù)的增量：?y=fx0+?x?fx0；
= 2 \* GB3 ②求平均變化率：?y?x=fx0+?x?f(x0)?x
= 3 \* GB3 ③取極限得導(dǎo)數(shù)：f x0=lim?x→∞?y?x
知識點二.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．即k=lim?x→mfx0+?x?f(x0)?x=f'(x0)相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多．
與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線．
知識點三.導(dǎo)數(shù)的運算
1.導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)
2.導(dǎo)數(shù)的運算法則
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u），u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，
即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法鏈接
考點一、導(dǎo)數(shù)的定義
1.（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，f'(1)=1則lim△x→0f(1+△x)?f(1)3△x= ．
【答案】13
【分析】運用導(dǎo)數(shù)的極限定義計算即得.
【詳解】lim△x→0f(1+△x)?f(1)3△x=13lim△x→0f(1+△x)?f(1)△x=13f'(1)=13
故答案為：13．
2.（2024·湖北黃石·三模）已知函數(shù)fx=lg2x，則limx→2fx?f2x?2= .
【答案】12ln2
【分析】借助導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)定義計算即可得.
【詳解】f'x=1xln2，則limx→2fx?f2x?2=f'2=12ln2.
故答案為：12ln2.
1.（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?12x2+lnx，則limΔx→0f(1+Δx)?f(1)Δx的值為（ ）
A．eB．?2C．?12D．0
【答案】D
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義知求f'(1)即可得解.
【詳解】因為f'x=?x+1x，
所以f'(1)=?1+1=0，
所以limΔx→0f(1+Δx)?f(1)Δx=0.
故選：D
2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲線y=fx經(jīng)過點1,2且在該點處的切線方程為ax+y?5=0，則 lim?→0f1+??2?= .
【答案】?3
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義計算即得.
【詳解】由點1,2在直線ax+y?5=0上，得a=3，又曲線y=fx在點1,2處的切線方程為ax+y?5=0，
則f'(1)=?a=?3，而f(1)=2，所以lim?→0f1+??2?=lim?→0f1+??f(1)?=f'(1)=?3.
故答案為：?3
3.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知符號“l(fā)im”代表極限的意思，現(xiàn)給出兩個重要極限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，則依據(jù)兩個公式，類比求limx→0sinxcsxx= ；limx→0(1+sin2x)1sinxcsx= .
【答案】 1 e2
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合極限的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】由極限的定義知：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，
因為sinxcsxx=sin2x2x，t=sin2x，可得sin2x2x=sintt，
則limx→0sinxcsxx=limt→0sintt=1；
又因為(1+sin2x)1sinxcsx=(1+sin2x)2sin2x，令t=sin2x，可得(1+sin2x)2sin2x=(1+t)2t，
所以limx→0(1+sin2x)1sinxcsx=limt→0(1+t)2t=limt→0[(1+t)1t]2=e2.
故答案為：1；e2.
4.（20-21高三上·北京·期中）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關(guān)系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關(guān)系如下圖所示．
給出下列四個結(jié)論：
① 在t1時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；
② 在t2時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；
③ 在[t2,t3]這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；
④ 在[t1,t2],[t2,t3]兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【解析】理解平均變化率和瞬時變換率的意義，結(jié)合圖象，判斷選項.
【詳解】①在t1時刻，為兩圖象的交點，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，故①正確；②甲、乙兩人在t2時刻的切線的斜率不相等，即兩人的f't2不相同，所以甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，故②不正確；③根據(jù)平均變換率公式可知，甲、乙兩人的平均變化率都是ft3?ft2t3?t2，故③正確；④在t1,t2時間段，甲的平均變化率是ft2?ft1t2?t1，在t2,t3時間段，甲的平均變化率是ft3?ft2t3?t2，顯然不相等，故④正確.
故答案為：①③④
【點睛】思路點睛：本題是一道識圖的實際應(yīng)用問題，判斷的關(guān)鍵是理解兩個概念，瞬時變化率和平均變化率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知瞬時變化率就是在此點處切線的斜率，平均變化率是ft+△t?ft△t.
考點二、導(dǎo)數(shù)的運算與求值
1.（2022·全國·高考真題）當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則f'(2)=（ ）
A．?1B．?12C．12D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知f1=?2，f'1=0即可解得a,b，再根據(jù)f'x即可解出．
【詳解】因為函數(shù)fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=?2，f'1=0，而f'x=ax?bx2，所以b=?2,a?b=0，即a=?2,b=?2，所以f'x=?2x+2x2，因此函數(shù)fx在0,1上遞增，在1,+∞上遞減，x=1時取最大值，滿足題意，即有f'2=?1+12=?12．
故選：B.
2.（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a．若f'(1)=e4，則a= ．
【答案】1
【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值
【詳解】由函數(shù)的解析式可得：f'x=exx+a?exx+a2=exx+a?1x+a2，
則：f'1=e1×1+a?11+a2=aea+12，據(jù)此可得：aea+12=e4，
整理可得：a2?2a+1=0，解得：a=1.
故答案為：1.
【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，導(dǎo)數(shù)的計算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.
1.（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=2f'3x?29x2+lnx（f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)），則f1=
【答案】169/179
【分析】對fx求導(dǎo)，代入x=3，解得f'(3)=1，回代入函數(shù)解析式，即可求得f1.
【詳解】由fx=2f'3x?29x2+lnx求導(dǎo)，f'(x)=2f'(3)?49x+1x，
代入x=3，可得f'(3)=2f'(3)?43+13，解得，f'(3)=1，
則有，f(x)=2x?29x2+lnx，故f(1)=2?29=169.
故答案為：169.
2.（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+ax，若f'1=2，則a= .
【答案】?1
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用f'1=2列式求解即可.
【詳解】由fx=lnx+ax得f'x=1?lnx+ax2，因為f'1=1?a=2，所以a=?1.
故答案為：?1
3.（2025高三·全國·專題練習(xí)）在等比數(shù)列an中，a1013=2，若函數(shù)fx=12xx?a1x?a2?x?a2025，則f'0=（ ）
A．?22024B．22024C．?22025D．22025
【答案】A
【分析】設(shè)gx=x?a1x?a2?x?a2025,則fx=12xgx，可得f'0=12g0，而g0=0?a10?a2?0?a2025 =?12025?a1a2?a2025，利用等比數(shù)列的項的性質(zhì)即可求得.
【詳解】設(shè)gx=x?a1x?a2?x?a2025，
則fx=12xgx，f'x=12gx+12xg'x，
所以，f'0=12g0.
因為an是等比數(shù)列，且a1013=2，a1a2025=a2a2024=?=a1012a1014=a10132=22，
于是，a1a2?a2025=(a1a2025)?(a2a2024)?(a1012a1014)?a2013=(22)1012×2=22025
故g0=0?a10?a2?0?a2025 =?12025?a1a2?a2025=?22025，
所以，f'0=12g0=?22024.
故選：A.
4.（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知三次函數(shù)fx=x3+2x?1，若x1+x2=0，則fx1+fx2= .
【答案】?2
【分析】利用三次函數(shù)的對稱中心公式求解.
【詳解】解：由題意得，f'x=3x2+2，
令gx=3x2+2，則g'x=6x，
令g'x=6x=0，解得x=0，又f0=?1，
故fx=x3+2x?1的對稱中心為0,?1.
故當(dāng)x1+x2=0時，fx1+fx2=2×?1=?2.
故答案為：?2
考點三、在一點處的切線方程
1.（2023·全國·高考真題）曲線y=exx+1在點1,e2處的切線方程為（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【答案】C
【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.
【詳解】設(shè)曲線y=exx+1在點1,e2處的切線方程為y?e2=kx?1，
因為y=exx+1，
所以y'=exx+1?exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y?e2=e4x?1
所以曲線y=exx+1在點1,e2處的切線方程為y=e4x+e4.
故選：C
2.（2020·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=x4?2x3的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為（ ）
A．y=?2x?1B．y=?2x+1
C．y=2x?3D．y=2x+1
【答案】B
【分析】求得函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)f'x，計算出f1和f'1的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.
【詳解】∵fx=x4?2x3，∴f'x=4x3?6x2，∴f1=?1，f'1=?2，
因此，所求切線的方程為y+1=?2x?1，即y=?2x+1.
故選：B.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題
1．（22-23高三上·天津紅橋·期中）已知fx=x3+x2?x+2，則曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為（ ）
A．y=x+2B．y=?4x+1C．y=?x+4D．y=4x?1
【答案】D
【分析】先求導(dǎo)，可得k=f'(1)=4，再求解f1=3，結(jié)合直線方程的點斜式即得解.
【詳解】由題意f'x=3x2+2x?1，
故k=f'(1)=3+2?1=4，且f1=1+1?1+2=3，
故切線方程為：y?3=4(x?1)，即y=4x?1.
故選：D
2．（21-22高三上·天津·期中）曲線y=xex在點1,1e處的切線方程為（ ）
A．y=x?1B．y=xC．y=0D．y=1e
【答案】D
【分析】設(shè)fx=xex，求出f1、f'1的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.
【詳解】設(shè)fx=xex，則f'x=1?xex，則f1=1e，f'1=0，
因此，曲線y=xex在點1,1e處的切線方程為y=1e.
故選：D.
3．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知f(x)=x2?lnx在x=1處的切線與圓C:(x?a)2+y2=4相切，則a= ．
【答案】22或?22
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程x?y=0，再由直線與圓相切，列出方程，即可求解.
【詳解】由函數(shù)f(x)=x2?lnx，可得f'(x)=2x?1x，則f'(1)=1且f(1)=1，
所以函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y?1=x?1，即x?y=0，
又由圓C:(x?a)2+y2=4，可得圓心C(a,0)，半徑為r=2，
因為x?y=0與圓C相切，可得a2=2，解得a=±22.
故答案為：±22.
4．（23-24高三上·天津濱海新·期中）函數(shù)y=lnx?2x的導(dǎo)數(shù)為 ，曲線y=lnx?2x在x=1處的切線方程為 ．
【答案】 1x+2x2 3x?y?5=0
【分析】由導(dǎo)數(shù)運算法則可求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，由點斜式可得切線方程.
【詳解】設(shè)f(x)=lnx?2x，x>0，
則f'(x)=1x?2?1x2=1x+2x2；
所以f'(1)=3，且f(1)=?2，
即直線斜率k=3，過點(1,?2)，
故曲線y=lnx?2x在x=1處的切線方程為y+2=3(x?1)，
即3x?y?5=0，
故答案為：1x+2x2；3x?y?5=0.
考點四、過一點的切線方程
1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2．
(1)求fx在區(qū)間2023,2024上的平均變化率；
(2)求曲線y=fx在點2,f2處的切線方程；
(3)求曲線y=fx過點2,0的切線方程．
【答案】(1)4047；
(2)y=4x?4；
(3)y=0或y=8x?16
【分析】（1）由平均變化率的公式即可求解；
（2）依次求出f2,f'2的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程；
（3）首先設(shè)出切點坐標，利用f'x0=x02?0x0?2可求出切點坐標，可得切線方程．
【詳解】（1）fx在區(qū)間2023,2024上的平均變化率為
f2024?f20232024?2023=20242?20232=2024?2023×2024+2023=4047．
（2）由fx=x2，有f'x=2x，從而f2=22=4，f'2=2×2=4，
則切點坐標為2,4，切線斜率為4，
所以曲線y=fx在點2,f2處的切線方程為y?4=4x?2，即y=4x?4．
（3）易知直線x=2與曲線y=fx不相切，
故設(shè)切點為x0,x02,x0≠2，
則由f'x0=x02?0x0?2，可得2x0=x02x0?2，即x0x0?4=0，解得x0=0或x0=4，
當(dāng)x0=0時，切點為(0,0)，f'x0=2x0=0，
此時滿足題意的切線方程為y=0，顯然它過點(2,0)，
當(dāng)x0=4時，切點為4,16，f'x0=2x0=8，
此時滿足題意的切線方程為y?16=8x?4，即y=8x?16，顯然它過點(2,0)，
綜上所述，滿足題意的切線方程為y=0或y=8x?16．
2.（2021·全國·高考真題）若過點a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（ ）
A．eb0，則?x在?∞,1單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈1,+∞，?'x0，解得?130且a≠1）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為 .
【答案】(e,e)
【詳解】設(shè)公共點為x0,y0 (x0>0)，即可得到ax0=x012，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到ax0lna=12x0?12，從而求出x0，即可求出切點坐標，從而求出a，再求出切線方程.
【分析】設(shè)公共點為x0,y0 (x0>0)，則y0=x012y0=ax0，即ax0=x012，
所以x0lna=12lnx0，所以lna=12x0lnx0，
由y1'=12x?12，y2'=axlna，所以y1'|x=x0=12x0?12，y2'|x=x0=ax0lna，
又在公共點處有相同的切線，所以ax0lna=12x0?12，即x012·12x0·lnx0=12x0?12，
所以lnx0=1，則x0=e，所以y0=e，
所以公共點坐標為(e,e).
故答案為：(e,e).
2.（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+y2=12都相切，則實數(shù)a的值為（ ）
A．0或2B．?2或0C．－1或0D．0或1
【答案】A
【分析】設(shè)直線l的方程為y=x+b，先根據(jù)直線和圓相切算出b，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算a.
【詳解】依題意得，設(shè)直線l的方程為y=x+b，
由直線和圓x2+y2=12相切可得，b12+(?1)2=22，解得b=±1，
當(dāng)b=1時，y=x+1和y=ln(x+a)相切，
設(shè)切點為(m,n)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，1m+a=1，
又切點同時在直線和曲線上，即n=m+1n=ln(m+a)，解得n=0m=?1a=2，
即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，
y=x?1和y=lnx仍會保持相切狀態(tài)，即b=?1時，a=0，
綜上所述，a=2或a=0.
故選：A
3.（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=4ex?2x?2x(x>0)，函數(shù)gx=?x2+3ax?a2?3a(a∈R)．若過點O0,0的直線l與曲線y=fx相切于點P，與曲線y=gx相切于點Q，當(dāng)P、Q兩點不重合時，線段PQ的長為 ．
【答案】652/625
【分析】設(shè)點Px0,4ex0?2x0?2x0 x0>0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出x0，即可得到切點坐標，從而得到切線方程，再由切線與g(x)也相切，利用判別式即可求出a，根據(jù)a確定點Q，即可求PQ.
【詳解】因為f'x=4ex?2x?1x2?2，
設(shè)點Px0,4ex0?2x0?2x0 x0>0，則f'x0=4ex0?2x0?1x02?2
可知kOP=4ex0?2x0?2x0x0=4ex0?2x0?1x02?2，解得x0=2，
可得切點P2,?2，切線斜率k=f'2=?1，
所以l方程y+2=?x?2，即y=?x，
聯(lián)立y=?xy=?x2+3ax?a2?3a?x2?1+3ax+a2+3a=0，
由Δ=(1+3a)2?4a2+3a=0?5a?1a?1=0，可得a=15或1；
當(dāng)a=1時，xQ=2，此時Q2,?2，P,Q重合，舍去；
當(dāng)a=15時，xQ=45，此時Q45,?45；
此時PQ=2?452+?2+452=652.
故答案為：652.
4.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex?1,gx=14ex2，若直線l是曲線y=fx與曲線y=gx的公切線，則l的方程為（ ）
A．ex?y=0B．ex?y?e=0
C．x?y=0D．x?y?1=0
【答案】B
【分析】設(shè)y=kx+m與y=fx相切于點Ax0,y0，與y=gx相切于點Bx1,y1，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到ex0?1x0+m=ex0?1和m=?e4x12，再由ex0?1=12ex1，求得x0?1=12x1，得到12x1?1?ln12x1=0，令?x=x?1?lnx，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得m=?e,k=e，即可求解.
【詳解】設(shè)l:y=kx+m與曲線y=fx相切于點Ax0,y0，與y=gx相切于點Bx1,y1，
由f'x=ex?1，可得l的斜率k=ex0?1，所以ex0?1x0+m=ex0?1①，
又由g'x=12ex，可得k=12ex1，所以12ex1x1+m=e4x12，即m=?e4x12②，
又因為ex0?1=12ex1③，
將②③代入①中，可得12ex1x0?e4x12=e2x1，由③易知，x1>0,則x0?1=12x1④，
將④代入③，可得ex12=e2x1，則12x1?1?ln12x1=0，
令?x=x?1?lnx，則?'x=x?1x，當(dāng)00,?x單調(diào)遞增．所以?x≥?1=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
故12x1=1，可得x1=2，所以m=?e4×22=?e,k=e2×2=e，
所以l的方程為y=ex?1，即ex?y?e=0．
故選：B．
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
1．（22-23高三上·天津·期中）若fx=x2?2x?4lnx，則f'x>0的解集為（ ）
A．0,+∞B．?∞,?1∪2,+∞C．2,+∞D(zhuǎn)．?∞,?1
【答案】C
【分析】先求導(dǎo)，再解不等式即可.
【詳解】由fx=x2?2x?4lnx得，f'x=2x?2?4x，x>0
令2x?2?4x>0且x>0，
解得x>2
即f'x>0的解集為2,+∞
故選：C.
2．（21-22高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x2?8x+10,x>2e2?x+x?1, x≤2，若fx≥x?m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．18,5?2ln2B．(?∞,4?2ln2]
C．14,4?2ln2D．12,5?2ln2
【答案】A
【分析】由fx在?∞,2和2,+∞上的單調(diào)性，畫出y=fx的圖象，分別求得當(dāng)fx=2x2?8x+10與y=x?m相切時，當(dāng)y=e2?x+x?1和y=m?x相切時，切點的坐標，求得對應(yīng)的m值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得范圍.
【詳解】fx≥|x?m|恒成立可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=fx的圖象不在y=x?m圖象的下方，
∵當(dāng)x≤2時，fx=e2?x+x?1，∴f'x=?e2?x+1≤0，
∴fx在?∞,2上單調(diào)遞減，且f2=2，
又∵當(dāng)x>2時，fx=2x2?8x+10=2x?22+2，
∴fx在2,+∞上單調(diào)遞增，且f2=2，
畫出函數(shù)圖象如下圖所示，gx=x?m=x?m,x≥mm?x,x2e，再利用基本不等式求解.
【詳解】設(shè)切點為x0,y0，由y=lnx+a
所以y'=1x+a，且過切點的直線為y=ex+b，
所以有：1x0+a=elnx0+a=ex0+b?b=ae?2，
因為b>0，所以a>2e，
所以a+eb+2=a+eae?2+2=a+1a≥2a?1a=2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1a?a=1時取等號，
故答案為：[2,+∞).
1.（2019·全國·高考真題）曲線y=2sinx+csx在點(π，–1)處的切線方程為
A．x?y?π?1=0B．2x?y?2π?1=0
C．2x+y?2π+1=0D．x+y?π+1=0
【答案】C
【分析】先判定點(π,?1)是否為切點，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】當(dāng)x=π時，y=2sinπ+csπ=?1，即點(π,?1)在曲線y=2sinx+csx上．∵y'=2csx?sinx, ∴y'x=π=2csπ?sinπ=?2,則y=2sinx+csx在點(π,?1)處的切線方程為y?(?1)=?2(x?π)，即2x+y?2π+1=0．故選C．
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學(xué)生易在非切點處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導(dǎo)，然后列出切線方程．
2.（2021·全國·高考真題）曲線y=2x?1x+2在點?1,?3處的切線方程為 ．
【答案】5x?y+2=0
【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．
【詳解】由題，當(dāng)x=?1時，y=?3，故點在曲線上．
求導(dǎo)得：y'=2x+2?2x?1x+22=5x+22，所以y'|x=?1=5．
故切線方程為5x?y+2=0．
故答案為：5x?y+2=0．
3.（2019·天津·高考真題） 曲線y=csx?x2在點0,1處的切線方程為 .
【答案】x+2y?2=0
【分析】利用導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．
【詳解】y'=?sinx?12，
當(dāng)x=0時其值為?12，
故所求的切線方程為y?1=?12x，即x+2y?2=0．
【點睛】曲線切線方程的求法：
(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：
①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；
②求切線的斜率f′(x0)；
③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．
(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組y0=f(x0)y1?y0x1?x0=f'(x0)得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．
4.（2019·全國·高考真題）曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為 ．
【答案】3x?y=0.
【分析】本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程
【詳解】詳解：y/=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以，k=y/|x=0=3
所以，曲線y=3(x2+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x，即3x?y=0．
【點睛】準確求導(dǎo)數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計算錯誤．求導(dǎo)要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．
5.（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)fx=ex+2sinx1+x2，則曲線y=fx在點0,1處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】A
【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點0,1處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.
【詳解】f'x=ex+2csx1+x2?ex+2sinx?2x1+x22，
則f'0=e0+2cs01+0?e0+2sin0×01+02=3，
即該切線方程為y?1=3x，即y=3x+1，
令x=0，則y=1，令y=0，則x=?13，
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=12×1×?13=16.
故選：A.
6.（2022·全國·高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
【答案】 y=1ex y=?1ex
【分析】分x>0和x0時設(shè)切點為x0,lnx0，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出x0，即可求出切線方程，當(dāng)x0和x0時設(shè)切點為x0,lnx0，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出x0，即可求出切線方程，當(dāng)x0時y=lnx，設(shè)切點為x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切線方程為y?lnx0=1x0x?x0，
又切線過坐標原點，所以?lnx0=1x0?x0，解得x0=e，所以切線方程為y?1=1ex?e，即y=1ex；
當(dāng)x0時y=lnx，設(shè)切點為x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切線方程為y?lnx0=1x0x?x0，
又切線過坐標原點，所以?lnx0=1x0?x0，解得x0=e，所以切線方程為y?1=1ex?e，即y=1ex；
因為y=lnx是偶函數(shù)，圖象為：
所以當(dāng)x0時y=lnx，設(shè)切點為x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切線方程為y?lnx0=1x0x?x0，
又切線過坐標原點，所以?lnx0=1x0?x0，解得x0=e，所以切線方程為y?1=1ex?e，即y=1ex；
當(dāng)x

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