1．（3分）“明天是晴天”這個(gè)事件是（ ）
A．確定事件B．不可能事件
C．必然事件D．不確定事件
2．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
3．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段AB的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．D．5
4．（3分）如果線段a＝2，c＝8，那么線段a和c的比例中項(xiàng)b是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
5．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝24°，則∠ABD＝（ ）
A．54°B．56°C．64°D．66°
6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C為圓心，BC為半徑作⊙C，則點(diǎn)A與⊙C的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙C內(nèi)B．點(diǎn)A在⊙C上C．點(diǎn)A在⊙C外D．無法確定
7．（3分）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上
B．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
C．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2
D．當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小
8．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦；②平分弦的直徑垂直于弦；③在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等；④同弧或等弧所對(duì)的弦相等，其中正確的有（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
9．（3分）如圖，已知AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓周上（不與A、C重合），點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，連接BD交⊙O于點(diǎn)E，若∠AOB＝3∠ADB，則（ ）
A．DE＝EBB．DE＝EBC．DE＝DOD．DE＝OB
10．（3分）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點(diǎn)，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
二、填空題：本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分.
11．（4分）如圖，轉(zhuǎn)盤被分成5個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率為 ．
12．（4分）如圖，四邊形ABCO的頂點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，則∠AOC＝ ．
13．（4分）已知點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且BE＞AE，若AB＝2，則BE＝ ．
14．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到△ADE．若AB＝4，則圖中陰影部分圖形的面積為 .（結(jié)果保留π）
15．（4分）若⊙O的直徑AB為2，弦，弦，則∠CAD的度數(shù)為 ．
16．（4分）有一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，下表是函數(shù)中四對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值．
若其中有一對(duì)對(duì)應(yīng)值有誤，則對(duì)于該二次函數(shù)，當(dāng)y＜﹣1時(shí)，x的取值范圍是 ．
三、解答題：本題有7個(gè)小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（6分）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．
（1）畫出△BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到的△B1OC1，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
18．（8分）在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小剛制作了一個(gè)正三棱錐（質(zhì)量均勻，四個(gè)面完全相同），并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：每人投擲三棱錐一次，并記錄底面的數(shù)字，如果底面數(shù)字的和為奇數(shù)，那么小明贏；如果底面數(shù)字的和為偶數(shù)，那么小剛贏．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中的所有可能結(jié)果．
（2）請(qǐng)分別求出小明和小剛能贏的概率，并判斷此游戲?qū)﹄p方是否公平．
19．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)把圖象向上平移幾個(gè)單位？
20．（10分）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？
21．（10分）已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為弧BC的中點(diǎn)．
（1）如圖①，連接AC，AD，OD．求證：OD∥AC；
（2）如圖②，過點(diǎn)D作DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，直徑EF交AC于點(diǎn)G，若G為AC中點(diǎn)，
①求證：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半徑為2，求AC的長(zhǎng)．
22．（12分）某商家代理經(jīng)銷某種商品，以每件進(jìn)價(jià)40元，批發(fā)購進(jìn)該商品915件，經(jīng)走訪市場(chǎng)發(fā)現(xiàn)：每天的銷售量y（件）和銷售單價(jià)x之間的一次函數(shù)關(guān)系如下表（x≥50的整數(shù)）．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 ．
（2）問定價(jià)x為多少時(shí)，每天獲得利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．
（3）商家在實(shí)際銷售過程中，以每天最大利潤(rùn)銷售了10天后，他發(fā)現(xiàn)銷售時(shí)間只剩下最后兩天，所以在最后不超過2天時(shí)間內(nèi)銷售完余下的商品，這915件商品的總利潤(rùn)為w元，則總利潤(rùn)w的最大值為 （直接寫出答案）．
23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半徑；
（3）DF⊥AC于點(diǎn)F，試探究線段AF、DF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2023-2024學(xué)年浙江省寧波市北侖區(qū)精準(zhǔn)聯(lián)盟九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題目要求.
1．（3分）“明天是晴天”這個(gè)事件是（ ）
A．確定事件B．不可能事件
C．必然事件D．不確定事件
【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．
【解答】解：“明天是晴天”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，屬于不確定事件，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
2．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣2，5）B．（2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，由頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：因?yàn)閽佄锞€y＝﹣2（x﹣2）2﹣5，
所以拋物線y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣5）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)，由頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段AB的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．D．5
【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，計(jì)算即可得解．
【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在平行橫線于E，
∴，
∵五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，
∴，
∴，
解得AB＝5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用該定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解答此題的關(guān)鍵．
4．（3分）如果線段a＝2，c＝8，那么線段a和c的比例中項(xiàng)b是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得b2＝ac，從而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中項(xiàng)，
∴b2＝ac，
即b2＝2×8＝16，
b＝4（負(fù)數(shù)舍去）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是理解比例中項(xiàng)的含義．
5．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝24°，則∠ABD＝（ ）
A．54°B．56°C．64°D．66°
【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，然后利用互余計(jì)算∠ABD的度數(shù)．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C為圓心，BC為半徑作⊙C，則點(diǎn)A與⊙C的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在⊙C內(nèi)B．點(diǎn)A在⊙C上C．點(diǎn)A在⊙C外D．無法確定
【分析】利用勾股定理求得BC邊的長(zhǎng)，然后通過比較AC與半徑BC的長(zhǎng)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝8，
∵AC＝6＜BC，
∴點(diǎn)A在⊙C內(nèi)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定圓的半徑和點(diǎn)與圓心之間的距離之間的大小關(guān)系．
7．（3分）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上
B．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
C．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2
D．當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別對(duì)拋物線開口方向、與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1中，a＝1，則a＞0，
∴拋物線開口向上，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、當(dāng)y＝0時(shí)，0＝x2﹣4x﹣1，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴方程x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，故選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，
∵a＝1＞0，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦；②平分弦的直徑垂直于弦；③在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角相等；④同弧或等弧所對(duì)的弦相等，其中正確的有（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、垂徑定理及其推理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解答】解：①平分弧的直徑垂直于弧所對(duì)的弦，故正確；
②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯(cuò)誤；
③在同圓或等圓中，相等的弦對(duì)應(yīng)的圓周角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤；
④同弧或等弧所對(duì)的弦相等；故正確；
正確的有2個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解垂徑定理、等弧的定義，圓周角定理等知識(shí)，難度不大．
9．（3分）如圖，已知AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在圓周上（不與A、C重合），點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，連接BD交⊙O于點(diǎn)E，若∠AOB＝3∠ADB，則（ ）
A．DE＝EBB．DE＝EBC．DE＝DOD．DE＝OB
【分析】連接EO，只要證明∠D＝∠EOD即可解決問題．
【解答】解：連接EO．
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠D+∠DOE，∠AOB＝3∠D，
∴∠B+∠D＝3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴ED＝EO＝OB，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、三角形的外角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加除以輔助線，利用等腰三角形的判定方法解決問題，屬于中考?？碱}型．
10．（3分）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點(diǎn)，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（ ）
A．﹣5B．3C．D．4
【分析】根據(jù)y1＝y(tǒng)3，可得A，C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得到拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，，然后分兩種情況討論，即可求解．
【解答】解：∵y1＝y(tǒng)3，
∴A，C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱．
∴，
即拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c．
∵1﹣n≤x≤n，
∴點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，且有1﹣n≤n，
∴．
情況1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B均在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，此時(shí)n＜2；
當(dāng)x＝1﹣n時(shí)，二次函數(shù)取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
當(dāng)x＝n時(shí)，二次函數(shù)取到最小值為y＝（n﹣2）2+c，
∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．
情況2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B在對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，此時(shí)n≥2；A到對(duì)稱軸的水平距離為2﹣（1﹣n）＝1+n．B到對(duì)稱軸的距離為n﹣2，當(dāng)x＝1﹣n時(shí)，二次函數(shù)取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
當(dāng)x＝2時(shí)，二次函數(shù)取到最小值為y＝c，
∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．
綜上，n＝3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分.
11．（4分）如圖，轉(zhuǎn)盤被分成5個(gè)面積相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在陰影區(qū)域的概率為 ．
【分析】首先確定在圖中陰影區(qū)域的面積在整個(gè)面積中占的比例，根據(jù)這個(gè)比例即可求出指針指向陰影區(qū)域的概率．
【解答】解：∵轉(zhuǎn)盤被分成5個(gè)面積相等的扇形，其中陰影部分占2份，
∴指針落在陰影區(qū)域的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A），然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．
12．（4分）如圖，四邊形ABCO的頂點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠ABC＝130°，則∠AOC＝ 100° ．
【分析】首先在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)D，連接AD，CD，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ADC的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得∠AOC的度數(shù)．
【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)D，連接AD，CD，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故答案為：100°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．（4分）已知點(diǎn)E是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且BE＞AE，若AB＝2，則BE＝ ﹣1 ．
【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求解．
【解答】解：∵E是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且BE＞AE，
∴，
BE＝＝＝﹣1，
故答案為﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，要熟記黃金比的值．
14．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到△ADE．若AB＝4，則圖中陰影部分圖形的面積為 2π .（結(jié)果保留π）
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AED≌△ACB，再由S陰影＝S△AED+S扇形DAB﹣S△ACB＝S扇形DAB，利用扇形的面積公式求解即可．
【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△AED≌△ACB，
∵∠DAB＝45°，AB＝4，
∴S扇形DAB＝＝2π，
∴S陰影＝S△AED+S扇形DAB﹣S△ACB＝S扇形DAB＝2π．
故答案為：2π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不規(guī)則陰影部分面積的求法及扇形的面積公式，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）若⊙O的直徑AB為2，弦，弦，則∠CAD的度數(shù)為 15°或75° ．
【分析】本題大致的思路是連接BC、BD，分別在Rt△CAB和Rt△BAD中，求出∠CAD和∠CAB的度數(shù)，然后根據(jù)C點(diǎn)，D點(diǎn)的不同位置分類討論．
【解答】解：本題分兩種情況：（如圖）
①當(dāng)AC，AD在AB同側(cè)時(shí)，連接BD、BC；
則∠ADB＝∠ACB＝90°．
Rt△ADB中，AD＝，AB＝2；
∴∠DAB＝30°；
Rt△ACB中，AC＝，AB＝2；
∴∠CAB＝45°；
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝15°．
②當(dāng)AC，AD在AB異側(cè)時(shí)，同①可求得∠CAD＝75°．
故∠CAD的度數(shù)為15°或75°．
故答案為：15°或75°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，但在解答時(shí)要注意分兩種情況討論，不要漏解．
16．（4分）有一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，下表是函數(shù)中四對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值．
若其中有一對(duì)對(duì)應(yīng)值有誤，則對(duì)于該二次函數(shù)，當(dāng)y＜﹣1時(shí)，x的取值范圍是 x＜0或x＞3 ．
【分析】根據(jù)拋物線開口向下及拋物線的增減性即可求解．
【解答】解：∵x＝0時(shí)y的值小于x＝﹣1、1、2時(shí)y的值，
∵拋物線開口向下，
∴拋物線必為先遞增再遞減，
∴x＝﹣1時(shí)y的值錯(cuò)誤數(shù)據(jù)；
又∵x＝1和2時(shí)y的值相等，
∴拋物線對(duì)稱軸為，
∴x＝0和3時(shí)y的值相等，為﹣1，
∴當(dāng)y＜﹣1時(shí)，x＜0或x＞3．
故答案為：x＜0或x＞3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
三、解答題：本題有7個(gè)小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（6分）如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，﹣1），（2，1）．
（1）畫出△BOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到的△B1OC1，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，△B1OC1即為所求．
點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（1，3）．
（2）由勾股定理得，，
∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、弧長(zhǎng)公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式是解答本題的關(guān)鍵．
18．（8分）在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小剛制作了一個(gè)正三棱錐（質(zhì)量均勻，四個(gè)面完全相同），并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：每人投擲三棱錐一次，并記錄底面的數(shù)字，如果底面數(shù)字的和為奇數(shù)，那么小明贏；如果底面數(shù)字的和為偶數(shù)，那么小剛贏．
（1）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中的所有可能結(jié)果．
（2）請(qǐng)分別求出小明和小剛能贏的概率，并判斷此游戲?qū)﹄p方是否公平．
【分析】（1）根據(jù)題意在表格內(nèi)列舉出所有情形；
（2）根據(jù)題意列出表格，找出所有等可能的情況數(shù)，得出兩球數(shù)字和為奇數(shù)與偶數(shù)的情況，分別求出兩人獲勝得概率，比較即可得到游戲公平與否．
【解答】解：（1）列表如下：
（2）從圖表可知，共有16種等可能的情況，其中兩次所擲數(shù)字的和為奇數(shù)的情況有8種，和為偶數(shù)的有8種，
所以小明獲勝的概率為、小剛獲勝的概率為，
故此游戲?qū)扇耸枪降模?br>【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了列表法與樹狀圖法．
19．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)把圖象向上平移幾個(gè)單位？
【分析】（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx﹣3得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可．
（2）求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得，，
解得，
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∵二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴應(yīng)把圖象向上平移4個(gè)單位．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，能夠正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？
【分析】（1）連接OA，利用r表示出OD的長(zhǎng)，在Rt△AOD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；
（2）連接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出A′B′的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）連接OA，
由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）連接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取緊急措施．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
21．（10分）已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為弧BC的中點(diǎn)．
（1）如圖①，連接AC，AD，OD．求證：OD∥AC；
（2）如圖②，過點(diǎn)D作DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，直徑EF交AC于點(diǎn)G，若G為AC中點(diǎn)，
①求證：∠BOD＝45°；
②若⊙O的半徑為2，求AC的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，由＝得到∠BAD＝∠CAD，加上∠BAD＝∠ODA，所以∠CAD＝∠ODA，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；
（2）①先根據(jù)垂徑定理得到EF⊥AC，再利用OD∥AC得到DO⊥EF，所以∠DOE＝90°，接著利用垂徑定理得到＝，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BOD＝∠DOE＝45°；
②由OD∥AC得到∠CAB＝∠BOD＝45°，再根據(jù)垂徑定理得到AG＝CG，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AG＝，從而得到AC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵D為弧BC的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC；
（2）解：①∵G為AC中點(diǎn)，EF為直徑，
∴EF⊥AC，
∵OD∥AC，
∴DO⊥EF，
∴∠DOE＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠DOE＝45°；
②∵OD∥AC，
∴∠CAB＝∠BOD＝45°，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG，△AOG是等腰直角三角形，
∴AG＝×2＝，
∴AC＝2AG＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．
22．（12分）某商家代理經(jīng)銷某種商品，以每件進(jìn)價(jià)40元，批發(fā)購進(jìn)該商品915件，經(jīng)走訪市場(chǎng)發(fā)現(xiàn)：每天的銷售量y（件）和銷售單價(jià)x之間的一次函數(shù)關(guān)系如下表（x≥50的整數(shù)）．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式 y＝﹣5x+350 ．
（2）問定價(jià)x為多少時(shí)，每天獲得利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．
（3）商家在實(shí)際銷售過程中，以每天最大利潤(rùn)銷售了10天后，他發(fā)現(xiàn)銷售時(shí)間只剩下最后兩天，所以在最后不超過2天時(shí)間內(nèi)銷售完余下的商品，這915件商品的總利潤(rùn)為w元，則總利潤(rùn)w的最大值為 13475元 （直接寫出答案）．
【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)，待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）設(shè)每天的利潤(rùn)為z元，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，求出函數(shù)解析式，求最值即可；
（3）先求出前10天的利潤(rùn)以及賣出的數(shù)量，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到后兩天的定價(jià)分別為54元和53元時(shí)，剛好賣完，利潤(rùn)最大，即可得解．
【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，
則：由表格可知：，解得：，
∴y＝﹣5x+350；
故答案為：y＝﹣5x+350．
（2）設(shè)每天的利潤(rùn)為z元，
則：z＝（x﹣40）（﹣5x+350）＝﹣5（x﹣55）2+1125；
∵a＝﹣5＜0，
∴當(dāng)x＝55時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1125元，
即：定價(jià)為55元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1125元；
（3）以每天最大銷售利用銷售10天，獲利為：10×1125＝11250（元）；
賣出商品的數(shù)量為：（﹣5×55+350）×10＝750件，還剩下：915﹣750＝165（件），
∵z＝﹣5（x﹣55）2+1125，
∴當(dāng)定價(jià)離55元越近時(shí)，每天的利潤(rùn)就越大，
∵在最后不超過2天時(shí)間內(nèi)銷售完余下的商品，x是大于等于50的整數(shù)，
當(dāng)定價(jià)為：54元時(shí)，銷售數(shù)量為：y＝﹣5×54+350＝80（件），
當(dāng)定價(jià)為：53元時(shí)，銷售數(shù)量為：y＝﹣5×53+350＝85（件），80+85＝165（件），
∴最后兩天的最大利潤(rùn)為：（54﹣40）×80+（53﹣40）×85＝2225（元），
∴總利潤(rùn)w的最大值為：11250+2225＝13475（元）．
故答案為：13475元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．利用總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，正確的列出二次函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半徑；
（3）DF⊥AC于點(diǎn)F，試探究線段AF、DF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）由CD平分∠ACB，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，求出AD長(zhǎng)，則AB＝AD，可求出AB；則答案得出；
（3）過點(diǎn)D作DN⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，可證明△DAF≌△DBN，則AF＝BN，DF＝CF則結(jié)論AF+BC＝DF可得出．
【解答】（1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝＝＝，
∴AD＝AM+DM＝12，
∴AB＝AD＝12＝24，
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如圖2，過點(diǎn)D作DN⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵四邊形DACB內(nèi)接于圓，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:34；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學(xué)號(hào)：30479237x
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