1．（3分）若，則的值等于（ ）
A．B．C．D．5
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拔苗助長B．甕中捉鱉C．海底撈月D．守株待兔
3．（3分）如圖，能使△ABC∽△ADE成立的條件是（ ）
A．∠A＝∠AB．∠ADE＝∠AEDC．D．
4．（3分）由二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+1，可知下列說法正確的是（ ）
A．其最小值為1
B．其圖象的對稱軸為直線x＝﹣1
C．當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大
D．其圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）
5．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．直徑是弦，弦是直徑
D．長度相等的弧是等弧
6．（3分）如圖，在⊙O中，∠OAC+∠C＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
7．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，則⊙O的直徑為（ ）
A．8B．10C．16D．20
8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為線段CD上一點(diǎn)且，連接AC，BE交于點(diǎn)F，分別作AC，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，若AB＝4，則MN為（ ）
A．1B．C．2D．
9．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＜0；④當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是﹣2≤x≤4；其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
10．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC為半徑，過A點(diǎn)作AD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接AC，BC，CD，連接BD交OC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若圖中陰影部分分別用S1和S2表示，則下列結(jié)論：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若F為AC中點(diǎn)，則CE＝2OE；③作DP∥BC交AB于點(diǎn)P，則BC2＝OB?BP；④若，則∠ACO＝30°；其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）一道你完全不會(huì)的數(shù)學(xué)選擇題，你做對的概率為 ．
12．（4分）把拋物線y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為 ．
13．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝ ．
14．（4分）如圖，在半徑為2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的周長是 ．
15．（4分）點(diǎn)A（m+1，y1），B（2m，y2）都在二次函數(shù)y＝m（x﹣m）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為 ．
16．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，連接BC，E是BC的中點(diǎn)，AB＝4，若F為弧AB上的三等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共66分.）
17．（6分）一個(gè)不透明的袋中裝有分別標(biāo)著漢字“杭”、“州”、“亞”、“運(yùn)”的四個(gè)小球，除標(biāo)注的漢字不同外，小球無任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．
（1）從袋中摸出一個(gè)球，球上的漢字剛好是“杭”的概率是 ；
（2）從袋中任摸一球，不放回，再從袋中任摸一球，請用樹狀圖（或列表法）表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求出摸到的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“亞運(yùn)”的概率．
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長為1，當(dāng)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)上時(shí)，我們稱三角形為格點(diǎn)三角形．
（1）如圖1，請?jiān)趫D1中標(biāo)出△ABC的外接圓的圓心O的位置；
（2）請?jiān)趫D2中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形與原三角形相似．
19．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，連接OC，CB，BE＝OF．
（1）求證：△AFO≌△CEB；
（2）若BC＝10cm，求CD的值及陰影部分的面積．
20．（8分）已知某二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（2，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C（3，0），D為頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）求出該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求出△ACD的面積．
21．（8分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BE相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△BCE∽△AFE；
（2）若CE＝6，CD＝5，求AF的長．
22．（8分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)每天的銷售利潤為W元．
（1）當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為多少件；
（2）若商場要每天獲得銷售利潤2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
23．（10分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，連接DE，若∠ADE＝∠C，求證：AD?AB＝AE?AC；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)E，以AE為一邊構(gòu)造平行四邊形ADFE，使點(diǎn)D，F(xiàn)恰好落在AB，BC上，連接DE，若∠DEF＝∠C，AD＝4，BD＝2，求AC的長；
【拓展提高】（3）如圖3，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)E，以AE為一邊構(gòu)造平行四邊形ADFE，使點(diǎn)F恰好落在BC上，連接DE，BD，若∠DEF＝∠C，∠EFC＝∠ABD，AE＝4，CE＝2，求AB的長．
24．（12分）如圖1，⊙O為四邊形ACBD的外接圓，AB與CD相交于點(diǎn)E，且AB⊥CD，連接OB，設(shè)∠BAC＝α．
（1）用含α的代數(shù)式表示∠OBC；
（2）如圖2，連接OA，交CD于點(diǎn)F，若AC∥OB，求證：△ACB≌△AFD；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)OB＝4，時(shí)，求出BD的值．
2023-2024學(xué)年浙江省寧波市海曙區(qū)十校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分）
1．（3分）若，則的值等于（ ）
A．B．C．D．5
【分析】先將化簡成含有的代數(shù)式，然后再代入數(shù)值求值．
【解答】解：∵；
∴＝+1＝+1＝．
故選：A．
【點(diǎn)評】解答此類問題時(shí)要先化簡，然后再整體代入進(jìn)行求值計(jì)算．
2．（3分）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．拔苗助長B．甕中捉鱉C．海底撈月D．守株待兔
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．
【解答】解：A、是不可能事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、選項(xiàng)正確；
C、是不可能事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評】考查了必然事件的概念．解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
3．（3分）如圖，能使△ABC∽△ADE成立的條件是（ ）
A．∠A＝∠AB．∠ADE＝∠AEDC．D．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定求解即可．
【解答】解：由題意得，∠A＝∠A，
若添加，利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可判斷△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)符合題意；
A、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）由二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+1，可知下列說法正確的是（ ）
A．其最小值為1
B．其圖象的對稱軸為直線x＝﹣1
C．當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大
D．其圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）
【分析】通過分析二次函數(shù)頂點(diǎn)式判斷函數(shù)圖象開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值以及增減性即可求解．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+1，
∴a＝1＞0，函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝1，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1），函數(shù)有最大值為1，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，其圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，0），故選項(xiàng)ABD不符合題意，C符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為直線x＝h．
5．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．直徑是弦，弦是直徑
D．長度相等的弧是等弧
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論、確定圓的條件、弦的定義、等弧的定義判斷即可．
【解答】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，說法正確，符合題意；
C、直徑是弦，弦不一定是直徑，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、能夠重合的弧是等弧，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷，掌握垂徑定理的推論、確定圓的條件、弦的定義、等弧的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在⊙O中，∠OAC+∠C＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】如圖，連接OC，欲求∠BAC的度數(shù)，只需推知∠COB的度數(shù)即可．
【解答】解：如圖，連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵∠OAC+∠ACB＝50°，
∴∠OCA+∠ACB＝50°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°．
∴∠COB＝180°﹣50°×2＝80°．
∵＝，
∴∠BAC＝∠COB＝40°．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得圓心角∠COB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，則⊙O的直徑為（ ）
A．8B．10C．16D．20
【分析】連接OC，可知，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，在Rt△OEC中，OE＝OB﹣BE＝OC﹣BE，根據(jù)勾股定理，即可得出OC，即可得出直徑．
【解答】解：連接OC，根據(jù)題意，
CE＝CD＝6，BE＝2．
在Rt△OEC中，
設(shè)OC＝x，則OE＝x﹣2，
故：（x﹣2）2+62＝x2
解得：x＝10
即直徑AB＝20．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題是對垂徑定理和解直角三角形的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理列方程求解．
8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為線段CD上一點(diǎn)且，連接AC，BE交于點(diǎn)F，分別作AC，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，若AB＝4，則MN為（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】方法一：首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB∥CD，∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝4，根據(jù)CE＝CD得CE＝1，再由勾股定理求出BE＝，AC＝4，進(jìn)而得AM＝2，BN＝，證△CEF和△ABF相似得EF：FB＝CF：FA＝CE：AB＝1：4，由此可得EF＝，F(xiàn)B＝，CF＝，AF＝，據(jù)此可求出FN＝，F(xiàn)M＝，則FN：FB＝3：8，F(xiàn)M：AF＝3：8，由此得△FMN和△FAB相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MN的長．
方法二：連接BD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得BD過點(diǎn)M，CD＝AB＝4，進(jìn)而可求出CE＝1/4CD＝1，DE＝CD﹣CE＝3，再證MN為△BDE的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線定理可得出MN的長．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，AB＝4，
∴AB∥CD，∠BCD＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∵CE＝CD，
∴CE＝1，
由勾股定理得：BE＝√＝，AC＝＝4，
∵點(diǎn)M，N為AC，BF的中點(diǎn)，
∴AM＝AC＝2，BN＝BE＝，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴EF：FB＝CF：FA＝CE：AB＝1：4，
∴FB＝4EF，AF＝4CF，
∴EF＝，F(xiàn)B＝，CF＝，AF＝，
∴FN＝FB﹣BN＝﹣＝，F(xiàn)M＝AF﹣AM＝﹣2＝，
∴FN：FB＝：＝3：8，F(xiàn)M：AF＝：＝3：8，
∴FN：FB＝FM：AF，
又∵∠NFM＝∠BFA，
∴△FMN∽△FAB，
∴MN：AB＝FN：FB，
即：MN：4＝3：8，
∴MN＝．
故選：B．
解法二：連接BD，如圖所示：
∵四邊形ABCD為正方形，AC為對角線，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，
∴BD過點(diǎn)M，CD＝AB＝4，
∴CE＝CD＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝4﹣1＝3，
∵BD過點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)N為BE的中點(diǎn)，
∴MN為△BDE的中位線，
∴MN＝DE＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，理解三角形的中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＜0；④當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是﹣2≤x≤4；其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①由圖象可得a＞0，c＜0，
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正確；
②∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即b+2a＝0，故②正確；
③由圖可知x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，故③正確；
④∵圖象過點(diǎn)（﹣2，0）對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（4，0），
由圖可知：當(dāng)y≤0時(shí)，x的取值范圍是﹣2≤x≤4，故④正確；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OC為半徑，過A點(diǎn)作AD∥OC交⊙O于點(diǎn)D，連接AC，BC，CD，連接BD交OC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若圖中陰影部分分別用S1和S2表示，則下列結(jié)論：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若F為AC中點(diǎn)，則CE＝2OE；③作DP∥BC交AB于點(diǎn)P，則BC2＝OB?BP；④若，則∠ACO＝30°；其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【分析】①首先利用平行線的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ACO，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACO＝∠CAO，∠OBC＝∠OCB，接著利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題；
②利用中位線的性質(zhì)即可求解；
③利用已知條件證明△ACD≌△APC（SAS），然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證明△OBC∽△CBP即可求解；
④連接OD，利用等積變化得到S1＝S扇形OAD，再利用已知條件證明∠AOD＝∠CAO＝∠DAC＝∠ACO，由此即可求解．
【解答】解：①∵AD∥CO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠BOC＝2∠ACO＝2∠CAD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠COB+∠OBC+∠BCO＝180°，
∴2∠CAD+2∠OBC＝180°，
∴∠CAD+∠OBC＝90°，
故①正確；
②AD∥OC，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，OA＝OB，
∴CE＝AD，OE＝AD，
∴CE＝2OE，
故②正確；
③∵AB為圓O直徑，
∴AC⊥BC，
∵DP∥BC，
∴DP⊥AC，
由①知，∠CAD＝∠CAB，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AD＝AP，
在△ACD和△APC中，
，
∴△ACD≌△APC（SAS），
∴∠ADC＝∠APC，
∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠ABC＝∠CPB＝∠OCB，
∴△OBC∽△CBP，
∴＝，
∴BC2＝OB?BP，
故③正確；
④連接OD，
∵OC∥AD，
∴S1＝S扇形OAD，
∵
∴∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOD＝∠CAO＝∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OD，
∴5∠ACO＝180°，
∴∠ACO＝36°，
故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的是①②③，共三個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)的概念是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）一道你完全不會(huì)的數(shù)學(xué)選擇題，你做對的概率為 ．
【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
【解答】解；∵數(shù)學(xué)選擇題的答案是四選一，
∴共4個(gè)選項(xiàng)，其中1個(gè)正確，
∴做對的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．（4分）把拋物線y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為 y＝（x﹣1）2+2 ．
【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．
【解答】解：把拋物線y＝（x﹣2）2﹣1先向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為y＝（x﹣2+1）2﹣1+3，即y＝（x﹣1）2+2．
故答案為：y＝（x﹣1）2+2．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
13．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則＝ ．
【分析】通過證明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴設(shè)AE＝2a，則BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，在半徑為2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在弧AB上，折痕交OA于點(diǎn)C，則圖中陰影部分的周長是 π+4 ．
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得到OC＝CD，OB＝BD＝2，根據(jù)陰影部分的周長＝AC+CD+BD+，進(jìn)而得到OA+OB+即可．
【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知，OC＝CD，OB＝BD＝2，
∴陰影部分的周長為：AC+CD+BD+
＝OA+OB+
＝2+2+π
＝π+4．
故答案為：π+4．
【點(diǎn)評】本題考查弧長的計(jì)算，翻折的性質(zhì)，掌握弧長的計(jì)算方法以及翻折的性質(zhì)是正確解答的前提．
15．（4分）點(diǎn)A（m+1，y1），B（2m，y2）都在二次函數(shù)y＝m（x﹣m）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為 m＞1或﹣1＜m＜0 ．
【分析】分類討論m＞0，m＜0兩種情況即可得到結(jié)果．
【解答】解：二次函數(shù)y＝m（x﹣m）2+n的對稱軸為直線x＝m，
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)開口向上，x＞m時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵y1＜y2，則m+1＜2m，
∴m＞1；
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)開口向下，x＞m時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵y1＜y2，距離對稱軸的距離大小是：m+1﹣m＞m﹣2m，m＞﹣1，
∴﹣1＜m＜0，
故答案為：m＞1或﹣1＜m＜0．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，連接BC，E是BC的中點(diǎn)，AB＝4，若F為弧AB上的三等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為 ﹣1 ．
【分析】根據(jù)垂徑定理得OE⊥BC，則點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的⊙P上，可得當(dāng)P，E，F(xiàn)共線時(shí)，EF有最小值，根據(jù)圓周角定理得到∠BOF＝60°，得到△OBF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，由題意得，BC的中點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的⊙P上，連接PF交⊙P于點(diǎn)E，此時(shí)EF最小，連接OF，BF，
∵點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，
∴∠BOP＝，
又∵OF＝OB，
∴△BOF是正三角形，
又∵PO＝PB＝1，
∴PF⊥OB，
∴PF＝＝，
∴EF＝FP﹣EP＝﹣1，
即EF的最小值為﹣1．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題等知識，綜合程度較高，綜合考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力．
三、解答題（本大題共8小題，共66分.）
17．（6分）一個(gè)不透明的袋中裝有分別標(biāo)著漢字“杭”、“州”、“亞”、“運(yùn)”的四個(gè)小球，除標(biāo)注的漢字不同外，小球無任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．
（1）從袋中摸出一個(gè)球，球上的漢字剛好是“杭”的概率是 ；
（2）從袋中任摸一球，不放回，再從袋中任摸一球，請用樹狀圖（或列表法）表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求出摸到的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“亞運(yùn)”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸到的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“亞運(yùn)”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意得，從袋中摸出一個(gè)球，球上的漢字剛好是“杭”的概率是．
故答案為：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，
其中摸到的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“亞運(yùn)”的結(jié)果有2種，
∴摸到的兩個(gè)球上的漢字恰好能組成“亞運(yùn)”的概率為＝．
【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長為1，當(dāng)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)上時(shí)，我們稱三角形為格點(diǎn)三角形．
（1）如圖1，請?jiān)趫D1中標(biāo)出△ABC的外接圓的圓心O的位置；
（2）請?jiān)趫D2中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形與原三角形相似．
【分析】（1）分別作線段AB，BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為△ABC的外接圓的圓心O的位置．
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)作圖即可．
【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)O即為所求．
（2）如圖2，三角形DEF即為所求（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣相似變換、三角形的外接圓與外心，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓與外心是解答本題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，連接OC，CB，BE＝OF．
（1）求證：△AFO≌△CEB；
（2）若BC＝10cm，求CD的值及陰影部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，圓周角定理以及三角形全等的判定方法進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出半徑，扇形圓心角度數(shù)以及三角形的底與高，由S陰影部分＝S扇形OCD﹣S△OCD進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接BC，
∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴CE＝DE＝CD，＝，
∴∠OAF＝∠BCE，
又∵OF⊥AC，
∴∠OFA＝90°＝∠BCE，
∵BE＝OF，
∴△OAF≌△BCE（AAS）；
（2）解：如圖，連接AD，
∵△OAF≌△BCE，
∴OA＝BC＝10cm，AF＝CE，
∴AC＝CD，
又∵AC＝AD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠COD＝2∠CAD＝120°，
在Rt△AOF中，OA＝10cm，，
∴AF＝OA＝5（cm），
∴AC＝CD＝10（cm），
在Rt△ACE中，CE＝5cm，∠CAE＝30°，
∴AE＝CE＝15（cm），
∴OE＝OB﹣BE＝15﹣10＝5（cm），
∴S陰影部分＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣×10×5
＝（﹣25）cm2．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形，以及扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積的計(jì)算方法，圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
20．（8分）已知某二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（2，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為C（3，0），D為頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）求出該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）求出△ACD的面積．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式即可；
（2）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算△ACD的面積即可．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，
∵圖象過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），C（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），
∴S△ACD＝3×4﹣×3×3﹣×1×1﹣×2×4＝3．
【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BE相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△BCE∽△AFE；
（2）若CE＝6，CD＝5，求AF的長．
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠AEB＝90°，從而可得∠AEB＝∠BEC＝90°，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠EAF＝∠DBF，即可解答；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BD＝DC＝5，進(jìn)而在Rt△BEC中，利用勾股定理可得BE＝8，再證明△BFD∽△BCE，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得BF＝，進(jìn)而可得EF＝，最后利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵∠EAF＝∠DBF，
∴△BCE∽△AFE；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC＝BC＝5，
在Rt△BEC中，CE＝6，BC＝2CD＝10，
∴BE＝＝＝8，
∵∠ADB＝∠BEC＝90°，∠FBD＝∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴EF＝BE﹣BF＝8﹣＝，
∵△BCE∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)每天的銷售利潤為W元．
（1）當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為多少件；
（2）若商場要每天獲得銷售利潤2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出算式250﹣（30﹣25）×10，然后計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；
（3）根據(jù)題意，可以寫出利潤與售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式，即可求得W的最大值．
【解答】解：（1）由題意可得，
當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為：250﹣（30﹣25）×10＝200（件），
答：當(dāng)銷售價(jià)為每件30元時(shí)，每天的銷售量為200件；
（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，
由題意可得，（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40，
答：商場要每天獲得銷售利潤2000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元；
（3）由題意可得，
W＝（x﹣20）×[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴當(dāng)x＝35時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W＝2250，
答：銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大，最大利潤是2250元．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
23．（10分）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E分別在AB，AC上，連接DE，若∠ADE＝∠C，求證：AD?AB＝AE?AC；
【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)E，以AE為一邊構(gòu)造平行四邊形ADFE，使點(diǎn)D，F(xiàn)恰好落在AB，BC上，連接DE，若∠DEF＝∠C，AD＝4，BD＝2，求AC的長；
【拓展提高】（3）如圖3，在△ABC中，在AC上取一點(diǎn)E，以AE為一邊構(gòu)造平行四邊形ADFE，使點(diǎn)F恰好落在BC上，連接DE，BD，若∠DEF＝∠C，∠EFC＝∠ABD，AE＝4，CE＝2，求AB的長．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△AED∽△ABC，得＝，則AD?AB＝AE?AC；
（2）由AD＝4，BD＝2，得AB＝6，由平行四邊形的性質(zhì)得DF∥AC，EF∥AB，則＝，＝，所以＝＝，則AC＝3AE，而∠ADE＝∠DEF＝∠C，則AD?AB＝AE?AC，所以4×6＝AE×3AE，則AE＝2，所以AC＝6；
（3）延長AD、CB交于點(diǎn)G，由AE＝4，CE＝2，得AC＝6，類比（2）中的方法，求得AD＝2，AG＝6，再證明△ABD∽△AGB，得＝，所以AB2＝2×6，求得AB＝2．
【解答】（1）證明：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴AD?AB＝AE?AC．
（2）解：∵AD＝4，BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝4+2＝6，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴＝，＝，
∴＝＝＝，
∴AC＝3AE，
∵∠ADE＝∠DEF，∠DEF＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
由（1）得AD?AB＝AE?AC，
∴4×6＝AE×3AE，
解得AE＝2或AE＝（不符合題意，舍去），
∴AC＝3×2＝6，
∴AC的長是6．
（3）解：如圖3，延長AD、CB交于點(diǎn)G，
∵AE＝4，CE＝2，
∴AC＝AE+CE＝4+2＝6，
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴DF∥AC，EF∥AG，
∴＝，＝，
∴＝＝＝，
∴AG＝3AD，
∴∠ADE＝∠DEF，∠DEF＝∠C，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠DAE＝∠CAG，
∴△ADE∽△ACG，
∴＝，
∴AG?AD＝AE?AC，
∴3AD2＝4×6，
解得AD＝2或AD＝（不符合題意，舍去），
∴AG＝3×2＝6，
∵∠EFC＝∠ABD，∠EFC＝∠G，
∴∠ABD＝∠G，
∵∠BAD＝∠GAB，
∴△ABD∽△AGB，
∴＝，
∴AB2＝2×6，
∴解得AB＝2或AB＝（不符合題意，舍去），
∴AB的長為2．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化類比數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
24．（12分）如圖1，⊙O為四邊形ACBD的外接圓，AB與CD相交于點(diǎn)E，且AB⊥CD，連接OB，設(shè)∠BAC＝α．
（1）用含α的代數(shù)式表示∠OBC；
（2）如圖2，連接OA，交CD于點(diǎn)F，若AC∥OB，求證：△ACB≌△AFD；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)OB＝4，時(shí)，求出BD的值．
【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠COB＝2α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAB＝∠ABO＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA＝α，求得∠ACB＝∠AFD，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到AF＝3，OF＝4，由（2）得△ACB≌△AFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AD，延長FO交BD于點(diǎn)H，設(shè)OH＝x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BFE＝∠BCF＝2α，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：連接OC，
∵∠COB＝2∠CAB，∠CAB＝α，
∴∠COB＝2α，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣2α）＝90°﹣α；
（2）證明：∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠ABO＝α，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝α，
∴∠CAB＝∠OAB，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠AEF＝90°，
∴AC＝AF，
∠ACF＝∠AFC＝90°﹣α，
∵∠ACB＝＝（360°﹣180°+2α）＝90°+α，
∵∠AFD＝180°﹣∠AFE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠ACB＝∠AFD，
∵∠ABC＝∠ADF，
∴△ACB≌△AFD（AAS）；
（3）解：∵OB＝4，
∴OA＝OB＝4，
∵
∴AF：OF＝3：1，
∴AF＝3，OF＝1，
由（2）得△ACB≌△AFD，
∴AB＝AD，
延長FO交BD于點(diǎn)H，
∵∠CAB＝∠BAF＝∠DAF＝α，
∴AH⊥BD，
設(shè)OH＝x，
∵AE⊥CF，CE＝EF，
∴CB＝BF，
∴∠BFE＝∠BCF＝∠BAD＝2α，
∴∠BFH＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠ABH＝90°﹣α，
∴∠ABH＝∠BFH，
∵∠FHB＝∠BHA，
∴△HBF∽△HAB，
∴，
∴BH2＝HF?AH，
即42﹣x2＝（x+1）（x+4），
解得x＝1.5，
∴BH＝，
∴BD＝．
【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:19；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學(xué)號：30479237杭
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