1．（3分）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若長度分別為a，4，8的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（ ）
A．1B．3C．6D．14
3．（3分）若m＞n，則下列不等式中不正確的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2B．﹣nC．m﹣n＞0D．1﹣2m＞1﹣2n
4．（3分）不等式3x﹣5＜3+x的正整數(shù)解有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（3分）下列命題中是真命題的是（ ）
A．如果a+b＜0，那么ab＜0
B．內(nèi)錯角相等
C．三角形的內(nèi)角和等于180°
D．相等的角是對頂角
6．（3分）以下哪種不是判斷兩個三角形全等的依據(jù)（ ）
A．SSSB．SASC．SSAD．AAS
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分別截取AE、AD，使AE＝AD．再分別以點D、E為圓心，大于DE長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若CG＝4，AB＝8，則△ABG的面積為（ ）
A．12B．16C．24D．32
8．（3分）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一個條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
9．（3分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，已知∠BAC＝72°，且∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠EAC＝（ ）
A．18°B．20°C．22°D．24°
10．（3分）如圖，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE＝45°，連接EF、BF，則下列結(jié)論：
①△AED≌△AEF
②△AED為等腰三角形
③BE+DC＞DE
④BE2+DC2＝DE2，
其中正確的有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）要說明命題“若ab＝0，則a+b＝0”是假命題，可舉反例 ．
12．（4分）若關于x的不等式（2﹣a）x＞3可化為x＜，則a的取值范圍是 ．
13．（4分）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則該等腰三角形周長為 ．
14．（4分）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是 cm．
15．（4分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝75°，∠FAE＝18°，則∠C＝ 度．
16．（4分）如圖，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，若∠DAC＝60°，AB＝2，BC＝4，則AD的長是 ．
三、解答題（本大題有8小題，共66分。）
17．（6分）解不等式組：，并寫出它的所有正整數(shù)解．
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．
（1）△ABC的面積為 ；
（2）在圖中作出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′．
（3）利用網(wǎng)格紙，在MN上找一點P，使得PB+PC的距離最短．（保留痕跡）
19．（6分）如圖，在△ABC中，E點為AC的中點，其中BD＝1，DC＝3，BC＝，AD＝．求DE的長．
20．（8分）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于點O．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）求證：OB＝OC．
21．（8分）如圖，在長方形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E為CD邊上一點，將長方形沿直線BE折疊，使點C落在線段BD上C′處，求DE的長．
22．（8分）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務．該工程隊有A，B兩種型號的挖掘機，已知3臺A型和5臺B型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米；4臺A型和7臺B型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米．每臺A型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺B型挖掘機一小時的施工費用為180元．
（1）分別求每臺A型，B型挖掘機一小時挖土多少立方米？
（2）若不同數(shù)量的A型和B型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元，問施工時有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低，最低費用是多少元？
23．（12分）（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為50°的等腰三角形，點B，D，E在同一直線上，BC，DE分別是底邊，求證：BD＝CE．
（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①求∠AEB的度數(shù)；
②證明：AE＝BE+2CM．
24．（12分）定義：把斜邊重合，且直角頂點不重合的兩個直角三角形叫做共邊直角三角形．
（1）概念理解：如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共邊直角三角形（畫一個就行）；
（2）問題探究：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABD與△ABC是共邊直角三角形，連接CD．當CD⊥AB時，求CD的長．
（3）拓展延伸：如圖3所示，△ABC和△ABD是共邊直角三角形，BD＝CD，求證：AD平分∠CAB．
2023-2024學年浙江省寧波市北侖區(qū)精準聯(lián)盟八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）
1．（3分）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：選項B能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
選項A、C、D不能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．
2．（3分）若長度分別為a，4，8的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（ ）
A．1B．3C．6D．14
【分析】根據(jù)三角形三邊關系求出a的取值范圍，選擇再此范圍內(nèi)的選項即可．
【解答】解：由三角形三邊關系可得：8﹣4＜a＜8+4，
即4＜a＜12，
6符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查三角形的三邊關系，熟記兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是關鍵．
3．（3分）若m＞n，則下列不等式中不正確的是（ ）
A．m﹣2＞n﹣2B．﹣nC．m﹣n＞0D．1﹣2m＞1﹣2n
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本選項不符合題意；
B．∵m＞n，
∴，故本選項不符合題意；
C．∵m＞n，
∴m﹣n＞0，故本選項不符合題意；
D．∵m＞n，
∴﹣1.2m＜﹣1.2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵．
4．（3分）不等式3x﹣5＜3+x的正整數(shù)解有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】先求出不等式的解集，在取值范圍內(nèi)可以找到正整數(shù)解．
【解答】解：解不等式3x﹣5＜3+x的解集為x＜4，
所以其正整數(shù)解是1，2，3，共3個．
故選：C．
【點評】解答此題要先求出不等式的解集，再確定正整數(shù)解．解不等式要用到不等式的性質(zhì)：
（1）不等式的兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；
（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
5．（3分）下列命題中是真命題的是（ ）
A．如果a+b＜0，那么ab＜0
B．內(nèi)錯角相等
C．三角形的內(nèi)角和等于180°
D．相等的角是對頂角
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則、乘法法則，平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、對頂角的概念判斷即可．
【解答】解：A、當a＝﹣1，b＝﹣2時，a+b＝﹣3＜0，ab＝2＞0，
則如果a+b＜0，那么ab＜0，是假命題；
B、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，本選項說法是假命題；
C、三角形的內(nèi)角和等于180°，是真命題；
D、相等的角不一定是對頂角，本選項說法是假命題；
故選：C．
【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
6．（3分）以下哪種不是判斷兩個三角形全等的依據(jù)（ ）
A．SSSB．SASC．SSAD．AAS
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：判斷兩個三角形全等的依據(jù)有：SAS，ASA，AAS，SSS，沒有SSA，
故選：C．
【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
7．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC和AB上分別截取AE、AD，使AE＝AD．再分別以點D、E為圓心，大于DE長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點F，作射線AF交邊BC于點G，若CG＝4，AB＝8，則△ABG的面積為（ ）
A．12B．16C．24D．32
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GM＝CG＝4，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：如圖，作GM⊥AB于M，
由基本尺規(guī)作圖可知，AG是△ABC的角平分線，
∵∠C＝90°，GM⊥AB，
∴GM＝CG＝4，
∴△ABG的面積＝×AB×GM＝＝16，
故選：B．
【點評】本題考查的是作圖﹣基本作圖，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)、基本作圖，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
8．（3分）如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一個條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（ ）
A．BC＝EFB．∠BCA＝∠FC．AB∥DED．AD＝CF
【分析】利用“HL”判斷直角三角形全等的方法解決問題．
【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，
∴當添加AC＝DF或AD＝CF時，根據(jù)“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故選：D．
【點評】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“HL”）．
9．（3分）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，已知∠BAC＝72°，且∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，那么∠EAC＝（ ）
A．18°B．20°C．22°D．24°
【分析】由AD平分∠BAC，利用角平分線的定義，可求出∠CAD的度數(shù)，由∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，可求出∠DAE的度數(shù)，再結(jié)合∠EAC＝∠CAD﹣∠DAE，即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝×72°＝36°．
∵∠BAC＝2∠B，∠B＝2∠DAE，
∴∠DAE＝∠B＝∠BAC＝×72°＝18°，
∴∠EAC＝∠CAD﹣∠DAE＝36°﹣18°＝18°．
故選：A．
【點評】本題考查了角平分線的定義，根據(jù)各角之間的關系，求出∠CAD及∠DAE的度數(shù)是解題的關鍵．
10．（3分）如圖，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE＝45°，連接EF、BF，則下列結(jié)論：
①△AED≌△AEF
②△AED為等腰三角形
③BE+DC＞DE
④BE2+DC2＝DE2，
其中正確的有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS得△AED≌△AEF，證明△ABF≌△ACD，得出BF＝CD；由△AED≌△AEF，得到DE＝EF；證明∠EBF＝90°，即可解決問題．
【解答】解：∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝45°＝∠DAE，
在△AED與△AEF中，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD，AD＝AF，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正確；
沒有條件能證出△AED為等腰三角形，②錯誤；
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAC；
在△ABF與△ACD中，AB＝AC，∠FAB＝∠DAC，AF＝AD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴BF＝CD；
∵△AED≌△AEF，
∴DE＝EF；
∵BE+BF＞EF，而BF＝CD，
∴BE+DC＞DE，③正確；
∵∠EBF＝90°，
∴BE2+BF2＝EF2，
即BE2+DC2＝DE2，④正確；
綜上所述：①③④3個均正確，
故選：B．
【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關系等知識；證明三角形全等是解決問題的關鍵．
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）要說明命題“若ab＝0，則a+b＝0”是假命題，可舉反例 如a＝0，b＝1，則ab＝0，但a+b＝1≠0 ．
【分析】可先假設命題為真命題，再舉出反例，推翻假設，進而得出結(jié)論．
【解答】解：假設其為真命題，即ab＝0，則a+b＝0；
當a＝0，b＝1時，ab＝0，但a+b＝1≠0，
所以假設不成立，所以命題為假命題．
【點評】能夠運用反證法證明一些命題的真假．
12．（4分）若關于x的不等式（2﹣a）x＞3可化為x＜，則a的取值范圍是 a＞2 ．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3，可得答案．
【解答】解：若關于x的不等式（2﹣a）x＞3可化為x＜，則2﹣a＜0，
解得a＞2，
故答案為：a＞2．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊都乘或都除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
13．（4分）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則該等腰三角形周長為 20 ．
【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長度是8，底邊長4，把三條邊的長度加起來就是它的周長．
【解答】解：因為4+4＝8，
所以4作為腰不成立，
所以等腰三角形的腰的長度是8，底邊長4，
周長：8+8+4＝20，
答：它的周長是20，
故答案為：20．
【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長度，再根據(jù)三角形的周長的計算方法，列式解答即可．
14．（4分）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是 8 cm．
【分析】分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為8cm．
【解答】解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案為：8．
【點評】此題主要考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點．本題的關鍵是將△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長．
15．（4分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝75°，∠FAE＝18°，則∠C＝ 23 度．
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠C，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠FAE＝18°，
∴∠FAC＝∠EAC+18°＝∠C+18°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+18°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴75°+∠C+18°+∠C+18°+∠C＝180°，
解得：∠C＝23°．
故答案為：23．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
16．（4分）如圖，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，若∠DAC＝60°，AB＝2，BC＝4，則AD的長是 2 ．
【分析】在CB的延長線上取點E，使BE＝AB，連接AE，在CB的延長線上取點E，使BE＝AB，連接AE，先證明△ABE為等邊三角形，得到AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，再證明△ABD≌△AEC（ASA），得到BD＝CE，AD＝AC，CE＝5，則BD＝5．再證△ACD是等邊三角形，則AD＝CD，過點C作CH⊥BD于點H，即可得到∠BCH＝30°，則BH＝BC，由勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如圖，在CB的延長線上取點E，使BE＝AB，連接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE為等邊三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵AB＝2，BC＝4，
∴CE＝BE+BC＝AB+BC＝2+4＝6，
∴BD＝6，
∵∠DAC＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD＝CD，
過點C作CH⊥BD于點H，則∠BHC＝∠DHC＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠CBD﹣∠BHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴BH＝BC＝2，
∴CH＝BH＝2，DH＝BD﹣BH＝6﹣2＝4，
∴CD＝＝＝2，
∴AD＝CD＝2，
故答案為：2．
【點評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明△ABD≌△AEC是解題的關鍵．
三、解答題（本大題有8小題，共66分。）
17．（6分）解不等式組：，并寫出它的所有正整數(shù)解．
【分析】求出一元一次不等式組的解集，再取符合條件的正整數(shù)即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜3，
∴不等式組的解集為﹣2≤x＜3，
所有正整數(shù)解有：1、2．
【點評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
18．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．
（1）△ABC的面積為 5 ；
（2）在圖中作出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′．
（3）利用網(wǎng)格紙，在MN上找一點P，使得PB+PC的距離最短．（保留痕跡）
【分析】（1）利用矩形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可；
（2）分別作出各點關于直線MN的對稱點，再順次連接即可；
（3）連接BC′交直線MN于點P，則點P即為所求點．
【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
故答案為：5；
（2）如圖，△A′B′C′即為所求；
（3）如圖，點P即為所求．
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．
19．（6分）如圖，在△ABC中，E點為AC的中點，其中BD＝1，DC＝3，BC＝，AD＝．求DE的長．
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出線段AC長，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．
【解答】解：∵BD＝1，DC＝3，BC＝，
又∵，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝，
又∵E點為AC的中點，
∴DE＝＝2．
【點評】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上中線性質(zhì)等知識點，能求出△ADC是直角三角形是解此題的關鍵．
20．（8分）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于點O．
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）求證：OB＝OC．
【分析】（1）由SAS證得△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）得△ABD≌△ACE，得出∠ABD＝∠ACE，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB，推出∠OBC＝∠OCB，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
21．（8分）如圖，在長方形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E為CD邊上一點，將長方形沿直線BE折疊，使點C落在線段BD上C′處，求DE的長．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝10．由折疊的性質(zhì)得到BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，設DE＝x，則C′E＝CE＝6﹣x．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10．
由折疊可得BC′＝BC＝8，EC′＝EC，∠BC′E＝∠C＝90°，
∴C′D＝10﹣8＝2，∠DC′E＝90°，
設DE＝x，則C′E＝CE＝6﹣x．
在Rt△C′DE中，
x2＝（6﹣x）2+22，
解得x＝，
∴DE的長為．
【點評】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．
22．（8分）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務．該工程隊有A，B兩種型號的挖掘機，已知3臺A型和5臺B型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米；4臺A型和7臺B型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米．每臺A型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺B型挖掘機一小時的施工費用為180元．
（1）分別求每臺A型，B型挖掘機一小時挖土多少立方米？
（2）若不同數(shù)量的A型和B型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元，問施工時有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低，最低費用是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組即可；
（2）利用總費用不超過12960元求出方案數(shù)量，再利用一次函數(shù)增減性求出最低費用．
【解答】解：（1）設每臺A型，B型挖掘機一小時分別挖土x立方米和y立方米，根據(jù)題意得
解得：
∴每臺A型挖掘機一小時挖土30立方米，每臺B型挖掘機一小時挖土15立方米
（2）設A型挖掘機有m臺，總費用為W元，則B型挖掘機有（12﹣m）臺．
根據(jù)題意得
W＝4×300m+4×180（12﹣m）＝480m+8640
∵
∴解得
∵m≠12﹣m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三種調(diào)配方案，
方案一：當m＝7時，12﹣m＝5，即A型挖掘機7臺，B型挖掘機5臺；
方案二：當m＝8時，12﹣m＝4，即A型挖掘機8臺，B型挖掘機4臺；
方案三：當m＝9時，12﹣m＝3，即A型挖掘機9臺，B型挖掘機3臺．…
∵480＞0，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，W隨m的減小而減小，
∴當m＝7時，W?。?80×7+8640＝12000
此時A型挖掘機7臺，B型挖掘機5臺的施工費用最低，最低費用為12000元．
【點評】本題考查了二元一次方程組和一次函數(shù)增減性，解答時先根據(jù)題意確定自變量取值范圍，再應用一次函數(shù)性質(zhì)解答問題．
23．（12分）（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為50°的等腰三角形，點B，D，E在同一直線上，BC，DE分別是底邊，求證：BD＝CE．
（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
①求∠AEB的度數(shù)；
②證明：AE＝BE+2CM．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BAD≌△CAE，即可判斷出BD＝CE；
（2）①先判斷出AC＝AB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，進而得出∠ACD＝∠BCE，△ACD≌△BCE（SAS），得出∠ADC＝∠CEB，即可求出答案；
②先判斷出DE＝2CM，再判斷出AD＝BE，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝50°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC＝AB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠CEB，
在Rt△CDE中，CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC＝135°，
∴∠CEB＝135°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°；
②證明：在Rt△CDE中，CD＝CE，CM為△DCE的高，
∴DE＝2CM，
由①知，△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵點A，D，E在同一直線上，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關鍵是要明確：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．
24．（12分）定義：把斜邊重合，且直角頂點不重合的兩個直角三角形叫做共邊直角三角形．
（1）概念理解：如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，作出△ABC的共邊直角三角形（畫一個就行）；
（2）問題探究：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABD與△ABC是共邊直角三角形，連接CD．當CD⊥AB時，求CD的長．
（3）拓展延伸：如圖3所示，△ABC和△ABD是共邊直角三角形，BD＝CD，求證：AD平分∠CAB．
【分析】（1）根據(jù)共邊直角三角形的概念作圖；
（2）取AB的中點O，連接OC、OD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OC＝OD，根據(jù)三角形的面積公式求出CE，結(jié)合圖形計算得到答案；
（3）分別延長AC、BD交于點F，證明BD＝DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．
【解答】解：（1）作出△ABC的共邊直角三角形如圖1所示△ABD即為所求作的三角形；
（2）取AB的中點O，連接OC、OD，
由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，點O為AB的中點，
∴OC＝AB，OD＝AB，
∴OC＝OD，又CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵AC⊥BC，CE⊥AB，
∴×AC×BC＝×AB×CE，即×6×8＝×10×CE，
解得，CE＝，
∴CD＝2CE＝；
（3）證明：分別延長AC、BD交于點F，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠DCF，
∴DC＝DF，
∴BD＝DF，又AD⊥BF，
∴AB＝AF，又AD⊥BF，
∴AD平分∠CAB．
【點評】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、掌握等腰三角形的三線合一、勾股定理的應用是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/10/18 14:04:55；用戶：周靜；郵箱：yjpxxx05@xyh.cm；學號：30479237

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