?專題21　數量積、角度及參數型定值問題
題型一　數量積型定值問題
【例題選講】
[例1]　已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，右焦點為F(1，0)，直線l經過點F，且與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點M，使得·為常數?若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

[規(guī)范解答]　(1)由題意可知，c＝1，又e＝＝，解得a＝，
所以b2＝a2－c2＝1，所以橢圓的方程為＋y2＝1．
(2)若直線不l垂直于x軸，可設l的方程為y＝k(x－1)．
聯立橢圓方程＋y2＝1，化為(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝．
設M(t，0)，則＝(x1－t，y1)，＝(x2－t，y2)，
·＝(x1－t，y1)(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1 y2＝(x1－t)(x2－t)＋k2(x1－1)( x2－1)
＝(1＋k2) x1x2－(t＋k2)(x1＋x2)＋t2＋k2＝(1＋k2) －(t＋k2) ＋t2＋k2
＝．
要使得·＝λ(λ為常數)，只要＝λ，
即(2t2－4t＋1－2λ) k2＋(t2－2－λ)＝0．
對于任意實數k，要使上式恒成立，只要，解得．
若直線l垂直于x軸，其方程為x＝1，此時，直線l與橢圓兩交點為A(1，)，B(1，－)，
取點M(，0)，有＝(－，)，＝(－，－)，
·＝(－)(－)＋(－)＝－＝λ．
綜上所述，過定點F(1，0)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l繞點F轉動時，存在定點M(，0)，使得·＝－．
[例2]　已知O為坐標原點，橢圓C：＋y2＝1上一點E在第一象限，若|OE|＝．

(1)求點E的坐標；
(2)橢圓C兩個頂點分別為A(－2，0)，B(2，0)，過點M(0，－1)的直線l交橢圓C于點D，交x軸于點P，若直線AD與直線MB相交于點Q，求證：·為定值．
[規(guī)范解答]　(1)設E(x0，y0)(x0>0，y0>0)，因為|OE|＝，所以＝?、伲?br /> 又因為點E在橢圓上，所以＋y02＝1?、冢?br /> 由①②解得：，所以E的坐標為(1，)；
(2)設點D(x1，y1)，則直線DA的方程為y＝(x＋2)?、?，直線BM的方程為y＝x－1　④，
由③④解得xQ＝，又直線DM的方程為y＝x－1，
令y＝0，解得xP＝，所以·＝·＝，
又＋y12＝1，所以·＝＝4．
[例3]　橢圓有兩頂點A(－1，0)，B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線BD交于點Q．
(1)當|CD|＝時，求直線l的方程；
(2)當點P異于A，B兩點時，求證：·為定值．

[規(guī)范解答]　(1)因橢圓焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1 (a>b>0)，
由已知得b＝1，c＝1，所以a＝，橢圓方程為為＋x2＝1．
直線l垂直于x軸時與題意不符．
設直線l的方程為y＝kx＋1，將其代入橢圓方程化簡得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
|CD|＝·|x1－x2|＝·＝＝，解得k＝±．
所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1．
(2)直線l與x軸垂直時與題意不符．
設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，所以P點坐標為(－，0)．
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，
直線AC的方程為y＝(x＋1)，直線BD的方程為y＝(x－1)，
將兩直線方程聯立，消去y得＝，因為－1＜x1，x2＜1，所以與異號．
()2＝＝·＝＝＝()2．
又y1 y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－·
∴與y1y2異號， 與同號，＝，解得x＝－k，
因此Q點坐標為(－k，y0)．·＝(－，0)(－k，y0)＝1，故·為定值．
[例4]　如圖，點M在橢圓＋＝1，(00將M(x0，y0)代入圓與橢圓的方程，可得．
x02＋y02－2ty0－1＝0，x02＋2y02＝2，消去x0，得t＝，代入(*)得：y2－ y－1＝0，
即y2－(－y0) y－1＝0，所以(y－)(y＋y0)＝0，
過F1，F2，M的圓與y軸交于點P，Q(P在Q的上方)．所以yP＝，yQ＝－y0．
則kPM＝．則直線PM的方程為y＝x＋，
由直線PM與x＝2的交點為N．所以在直線PM的方程中，令x＝2，
得，y＝×2＋＝＋＝．得N(2，)，
設T(d，0)，·＝(x0－d，y0)·(2－d，)＝(x0－d)(2－d)＋1－x0＝(1－d)x0－d(2－d)＋1．
要使得·為定值，即與M的坐標無關．
當d＝1時，·＝0為定值．存在定點T（1，0），使得·為定值0．
[例5]　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過右焦點且垂直于x軸的直線l1與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝，直線l1：y＝k(x－m)(m∈R，m>)與橢圓C交于M，N兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知點R(，0)，若·是一個與k無關的常數，求實數m的值．

[規(guī)范解答]　(1)聯立解得y＝±，故＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，
聯立可得a＝，b＝c＝1，故橢圓C的標準方程為＋y2＝1．
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立方程消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2m2k2－2＝0，
Δ＝16m2k4－4(1＋2k2)(2k2m2－2)＝8(2k2－k2m2＋1)，∴x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋k2(x1－m)(x2－m)
＝(1＋k2) x1x2－(＋mk2) (x1＋x2)＋＋k2m2＝＋，
(這里的計算使用點乘雙根法更便捷)
令(1＋2k2) x2－4mk2x＋2k2m2－2＝(1＋2k2)(x1－x)(x2－x)，
再令x＝，得(x1－)(x2－)＝，
∵y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)，∴再令x＝m，得k2(x1－m)(x2－m)＝，
∴(x1－)(x2－)＋y1y2＝＋
(選擇自己熟練的計算方法進行計算，務必保證計算不能出錯)
又·是一個與k無關的常數，∴3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋2＝0，
∴m＝1或m＝，又∵m>，∴m＝1，
當m＝1時，Δ>0，直線l1與橢圓C交于兩點，滿足題意，∴m＝1．
[題后悟通]　本題的關鍵點就在于如何使成為一個與k無關的常數，在這里應用了比例的性質，即令分子分母中的同類項成比例，可以觀察到分子分母的常數項的比例為－2，則令分子分母中k2的系數的比例也為－2，即令3m2－5m－2＝－4，則可求出參數的值．
【對點訓練】
1．已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標為(－，0)，離心率為e＝．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過點(1，0)作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使·為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

2．已知橢圓＋＝1 (a＞b＞0)的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與
點F構成正三角形．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(1，0)的直線l與橢圓交于不同的兩點P，Q，試問在x軸上是否存在定點E(m，0)，使·恒為定值？若存在，求出E的坐標，并求出這個定值；若不存在，請說明理由．

3．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(1，)，過橢圓的
左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點，點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于P．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求證：AP⊥OM；
(3)試問·是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由．

4．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為，直線l與橢圓C交于
M，N兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l與圓O：x2＋y2＝相切，求證：·為定值．

5．已知以原點O為中心，F(，0)為右焦點的雙曲線F的離心率e＝．
(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
(2)如圖，已知過點M(x1，y1)的直線l1：x1x＋4y1y＝4與過點N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直線l2：x2x＋4y2y＝4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交于G，H兩點，求·的值．

題型二　角度型定值問題
【例題選講】
[例1]　已知橢圓W：＋＝1(a＞b＞0)的上下頂點分別為A，B，且點B(0，－1)．F1，F2分別為橢圓W的左、右焦點，且∠F1BF2＝120°．
(1)求橢圓W的標準方程；
(2)點M是橢圓上異于A，B的任意一點，過點M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點．直線AE與直線y＝－1交于點C，G為線段BC的中點，O為坐標原點．求證：∠OEG為定值．

[規(guī)范解答]　(1)依題意，得b＝1．又∠F1BF2＝120°，在Rt△BF1O中，∠F1BO＝60°，所以a＝2．
所以橢圓W的標準方程為＋y2＝1．
(2)設M(x0，y0)，x0≠0，則N(0，y0)，E(，y0)．
因為點M在橢圓W上，所以＋y02＝1．即x02＝4－4y02．
又A(0，1)，所以直線AE的方程為y－1＝x．令y＝－1，得C(，－1)．
又B(0，－1)，G為線段BC的中點，所以G(，－1)．
所以＝(，y0)，＝(－，y0＋1)．
因為·＝(－)＋y0(y0＋1)＝－＋y02＋y0
＝1－＋y0＝1－y0－1＋y0＝0，所以⊥．∠OEG＝90°．
[例2]　已知點M(x0，y0)為橢圓C：＋y2＝1．上任意一點，直線l：x0x＋2y0 y＝2與圓(x－1)2＋y2＝6交于A，B兩點，點F為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；
(2)求證：直線l與橢圓C相切；
(3)判斷∠AFB是否為定值，并說明理由．

[規(guī)范解答]　(1)由題意a＝，b＝1，c＝1．所以離心率e＝＝，左焦點F(－1，0)．
(2)由題知，＋y02＝1，即x02＋2y02＝2，
當y0＝0時直線l的方程為x＝或x＝－，直線l與橢圓C相切．
當y0≠0時，由得(2y02＋x02)x2－4x0x＋4－4 y02＝0，即x2－2x0x＋2－2y02＝0．
所以Δ＝(－2x0)2－4(2－2y02)＝4x02＋8y02－8＝0．故直線l與橢圓C相切．
(3)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
當y0＝0時，x1＝x2，y1＝－y2，x1＝±，
·＝(x1＋1)2－y22＝(x1＋1)2－6＋(x1－1)2＝2 x12－4＝0，所以⊥，即∠AFB＝90°．
當y0≠0時，由得(y02＋1)x2－2(2y02＋x0)x＋2－10 y02＝0，
則∴x1＋x2＝，x1x2＝．y1y2＝ x1x2－(x1＋x2)＋＝．
因為·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2
＝＋＝＝0．
所以⊥，即∠AFB＝90°．故∠AFB為定值90°．
[例3]　已知點F1為橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點，P(－1，)在橢圓上，PF1⊥x軸．
(1)求橢圓的方程：
(2)已知直線l與橢圓交于A，B兩點，且坐標原點O到直線l的距離為，∠AOB的大小是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．

[規(guī)范解答]　(1)因為PF1⊥x軸，又P(－1，)在橢圓上，可得F1(－1，0)，
所以c＝1，＋＝1，a2＝c2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，所以橢圓的方程為：＋y2＝1；
(2)當直線l的斜率不存在時，由原點O到直線l的距離為，
可得直線l的方程為：x＝±，
代入橢圓可得A(，)，B(，－)或A(－，)，B(－，)，
可得·＝0，所以∠AOB＝；
當直線l的斜率存在時，設直線的方程為：y＝kx＋m，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由原點O到直線l的距離為，可得＝，可得3m2＝2(1＋k2)，①
直線與橢圓聯立整理可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，將①代入Δ中可得Δ＝16m2＋8>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋＋m2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝，
將①代入可得·＝0，所以∠AOB＝；
綜上所述∠AOB＝恒成立．
【對點訓練】
1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，A為橢圓C上一點，AF2⊥F1F2，
且|AF2|＝．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點，求證：∠MF1N為定值．

2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的點到它的兩個焦的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓
O經過這兩個焦點，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點．
(1)求圓和橢圓的方程．
(2)已知P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N．求證：∠MQN為定值．

3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓C
交于M，N兩點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線與圓O：x2＋y2＝相切，證明：∠MON為定值．

題型三　參數型定值問題
【例題選講】
[例1]　(2018·北京)已知拋物線C：y2＝2px經過點P(1，2)，過點Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)設O為原點，＝λ，＝μ，求證：＋為定值．
[規(guī)范解答]　(1)因為拋物線y2＝2px過點(1，2)，所以2p＝4，即p＝2．故拋物線C的方程為y2＝4x．
由題意知，直線l的斜率存在且不為0．設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)，
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．依題意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k

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