1．已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．
2．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.
（1）求直線的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于，，，求證：為定值.
3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且短軸長(zhǎng)為2，離心率等于.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，
求證：為定值.
4．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明：為定值．
5．已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，且
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：為定值．
6．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,0)，離心率e=12，右焦點(diǎn)為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，若PA=mAF，PB=nBF，求證：m+n為定值．
7．已知橢圓：，點(diǎn)在的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).當(dāng)為的右焦點(diǎn)且的傾斜角為時(shí)，重合，.
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)均不重合時(shí)，記，，若，求證：直線的斜率為定值.
8．如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；
（2）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足，求的取值范圍.
9．已知雙曲線C：與直線l：x + y = 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B
(I) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
(Ⅱ) 設(shè)直線l與y軸交點(diǎn)為P，且，求的值．
10．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)設(shè)的斜率為1，求與夾角的余弦值；
(2)設(shè)，若∈[4，9]，求在y軸上截距的變化范圍．
第19講 共線向量問(wèn)題
一、解答題
1．已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．
【答案】(1) 取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【詳解】
分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)論.
詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．
由得．
依題意，解得kb>0)過(guò)點(diǎn)M(2,0)，∴a=2，
又∵e=12，∴c=1，則b=a2?c2=3．
∴橢圓的方程為x24+y23=1；
(2)證明：方法1、由題意知，F(xiàn)(1,0)，可知直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k(x?1)，
則P(0,?k)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1≠1，x2≠1．
由PA=mAF，得(x1,y1+k)=m(1?x1,?y1)，∴m=x11?x1，
由PB=nBF，得(x2,y2+k)=n(1?x2,?y2)，∴n=x21?x2，
聯(lián)立y=k(x?1)x24+y23=1，得(4k2+3)x2?8k2x+4k2?12=0．
∴x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2?124k2+3．
故m+n=x11?x1+x21?x2=x1+x2?2x1x21?(x1+x2)+x1xx2=8k24k2+3?2?4k2?124k2+31?8k24k2+3+4k2?124k2+3=24?9=?83；
方法2、由題意知，F(xiàn)(1,0)，m≠1，n≠1，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,y0)，
由PA=mAF，得(x1,y1?y0)=m(1?x1,?y1)，
∴x1=mm+1，y1=y0m+1，故A(mm+1,y0m+1)，
∵A點(diǎn)在橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，∴14(mm+1)2+13(y0m+1)2=1．
整理得：9m2+24m+12?4y02=0．
同理，由PB=nBF，得9n2+24n+12?4y02=0．
由此可得，m，n是關(guān)于x的一元二次方程9x2+24x+12?4y02=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴m+n=?249=?83．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬中檔題．
7．已知橢圓：，點(diǎn)在的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).當(dāng)為的右焦點(diǎn)且的傾斜角為時(shí)，重合，.
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)均不重合時(shí)，記，，若，求證：直線的斜率為定值.
【答案】（1）（2）見(jiàn)證明
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)特殊情況當(dāng)為的右焦點(diǎn)且的傾斜角為時(shí)，重合，，可得到的值；
（2）設(shè)出直線l，求出點(diǎn)M、N，設(shè)出點(diǎn)P、Q，利用條件，得出與的關(guān)系、與的關(guān)系，根據(jù)條件，得出.，再借助韋達(dá)定理對(duì)求解出的值，進(jìn)而得到斜率.
【詳解】
解：（1）因?yàn)楫?dāng)為的右焦點(diǎn)且的傾斜角為時(shí)，，重合，，
所以
故，
因?yàn)椋?br>因此，，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)，
所以，，所以.
因?yàn)樾甭蚀笥?，
所以，
設(shè)，，
則，，
由得，，①
同理可得，②
①②兩式相乘得，，
又，所以，
所以，
即，
即
由題意，知，
所以.
聯(lián)立方程組，
得，
依題意，
所以，又，
所以，
因?yàn)椋?br>故得，
所以，即直線的斜率為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，求解本題時(shí)應(yīng)大膽多設(shè)變量，小心化簡(jiǎn)，通過(guò)一定的手段（設(shè)而不求、韋達(dá)定理等）進(jìn)行減元，將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為少變量（單變量）問(wèn)題.
8．如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；
（2）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足，求的取值范圍.
【答案】；．
【解析】
解：（I）
∴NP為AM的垂直平分線，
又
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓
且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
∴曲線E的方程為…………4分
（II）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，
設(shè)直線CH方程為
代入橢圓方程，
得
…………6分
設(shè)
則
又
…………10分
又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為
即所求的取值范圍是…………12分
9．已知雙曲線C：與直線l：x + y = 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B
(I) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
(Ⅱ) 設(shè)直線l與y軸交點(diǎn)為P，且，求的值．
【答案】，
【解析】
解：（Ⅰ）由曲線C與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，知方程組有兩個(gè)不同的解，消去Y并整理得： ①……………2分
雙曲線的離心率……………………………………5分
∵∴…………………………………6分
即離心率e的取值范圍為．…………………………7分
（Ⅱ）設(shè)
∵,∴，得…………9分
由于是方程①的兩個(gè)根，∴
即，
得，………………………………………………………………12分
解得．…………………………………………………………………14分
10．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)．
(1)設(shè)的斜率為1，求與夾角的余弦值；
(2)設(shè)，若∈[4，9]，求在y軸上截距的變化范圍．
【答案】（1）；（2）在y軸上截距的變化范圍：.
【解析】
試題分析：（1）先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，可求與夾角的余弦值；（2）得關(guān)于x2和y2的方程組，進(jìn)而求得x2=λ．得到B的坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得直線的方程，進(jìn)而求得直線在y軸上的截距，判斷g（λ）在[4，9]上是遞減的在[4，9]上是遞減的，即可得到答案．
詳解：
（1）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，∴l(xiāng)的方程為y=x﹣1．
將y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．
∴cs＜，＞===﹣．
∴與夾角的余弦值為﹣．
（2）由題設(shè)得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），
即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②
由②得y22=λ2y12，
∵y12=4x1，y22=4x2
，∴x2=λ2x1③
聯(lián)立①③解得x2=λ．依題意有λ＞0．
∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），
又F（1，0），
得直線l的方程為（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）
當(dāng)λ∈[4，9]時(shí)，l在y軸上的截距為或﹣，
設(shè)g（λ）=，λ∈[4，9]，
可知g（λ）=在[4，9]上是遞減的，
∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，
即直線l在y軸上截距的變化范圍為≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．
點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．

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