1．已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)．
2．若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
3．如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
4．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，，其中，，
．
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；
（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點(diǎn).
6．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
7．設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．
8．
設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程．
9．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.
10．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.
（1）求證：；
（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.
11．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明:直線恒過定點(diǎn).
12．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.
13．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)．
14．設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.
（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點(diǎn).
15．已知曲線.
（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；
（2）若曲線C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；
（3）設(shè)，曲線C與軸交點(diǎn)為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線.
16．已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：，，三點(diǎn)共線．
17．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.
18．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為原點(diǎn).以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)，在上.
（1）求的離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，過作與軸不重合的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請(qǐng)說明理由.
19．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.
（1）求C的方程.
（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.
第14講 極點(diǎn)極線問題
一、解答題
1．已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點(diǎn)重合），直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)S，求證：直線SQ過定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）由已知兩點(diǎn)坐標(biāo)得，求得后可得離心率；
（2）直線方程為，設(shè)（，），，．由三點(diǎn)共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），由共線求得點(diǎn)坐標(biāo)（用點(diǎn)坐標(biāo)表示），寫出直線的方程，把代入化簡(jiǎn)對(duì)方程變形可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，都在橢圓上，
所以，．
所以．
所以橢圓的離心率．
（2）由（1）知橢圓的方程為，．
由題意知：直線的方程為．
設(shè)（，），，．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因?yàn)槿c(diǎn)共線，
所以，即．
所以．
所以直線的方程為，
即．
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．
所以直線的方程為．
所以直線過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，考查橢圓的直線過定點(diǎn)問題，解題方法是設(shè)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線變?yōu)橄蛄科叫校蟮弥本€交點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線方程，再由在橢圓上，代入化簡(jiǎn)湊配出定點(diǎn)坐標(biāo)．
2．若雙曲線與橢圓共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）直線l恒過定點(diǎn)．.
【分析】
（1）待定系數(shù)法橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）用“設(shè)而不求法”把直線和橢圓聯(lián)立方程組，，表示出，整理出直線過定點(diǎn).
【詳解】
（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；
由題意知，所以，．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程為．
（2）當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，由對(duì)稱性可知：
，不滿足，
故直線l的斜率不為零．設(shè)直線l的方程為，
由，得：，
因?yàn)橹本€l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，
所以，
整理得：，
設(shè)、，則
，，，．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得：，
，
將，代入整理得：
要使上式恒成立，只需，此時(shí)滿足，
因此，直線l恒過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；
（3）證明直線過定點(diǎn)，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式y(tǒng)=kx+b，過定點(diǎn)(0,b)；
②直線方程整理為點(diǎn)斜式y(tǒng) - y=k(x- x0)，過定點(diǎn)(x0,y0) ．
3．如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【詳解】
（1）由已知，點(diǎn)在橢圓E上.
因此，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則，即.
所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).
則，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.
下面證明：對(duì)任意的直線，均有.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
A、B的坐標(biāo)分別為.
聯(lián)立得.
其判別式，
所以，.
因此.
易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又，
所以，即三點(diǎn)共線.
所以.
故存在與P不同的定點(diǎn)，使得恒成立.
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.
4．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.設(shè)過點(diǎn)的直線，與此橢圓分別交于點(diǎn)，，其中，，
．
（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，求點(diǎn)的軌跡；
（Ⅱ）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)，求證：直線必過軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)），并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（I）；（II）；（III）.
【解析】
試題分析：（I）設(shè)出點(diǎn)，利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)，得到點(diǎn)的軌跡；（II）由分別得出直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（III）直線的方程為：，直線的方程為：，分別與橢圓的方程聯(lián)立，由，求得，此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)，若，由，所以直線過點(diǎn).
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)得，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
由，
代入化簡(jiǎn)得，.故點(diǎn)的軌跡為直線.
（Ⅱ）由，，得，則點(diǎn)，直線的方程為，
由，，得，則點(diǎn)，直線的方程為，
由
（Ⅲ）由題設(shè)知，直線的方程為：，直線的方程為：，
點(diǎn)滿足；
點(diǎn)滿足；
若，且，得，
此時(shí)直線的方程為，過點(diǎn)；
若，則，直線的斜率，
直線的斜率，
所以，所以直線過點(diǎn).
因此直線必過軸上一定點(diǎn).
考點(diǎn)：軌跡方程的求解；直線的交點(diǎn)；直線過定點(diǎn)的判斷．
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了曲線軌跡方程的求解和兩直線的交點(diǎn)的計(jì)算、直線過定點(diǎn)問題的判定，著重考查了分類討論的思想方法及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的第三問題的解答中，由直線的方程，直線的方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，再由和，由，兩種情況分別判定直線過定點(diǎn).
5．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明詳見解析.
【分析】
（1）由已知可得：， ，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.
（2）設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)，命題得證.
【詳解】
（1）依據(jù)題意作出如下圖象：
由橢圓方程可得：， ，
，
，
橢圓方程為：
（2）證明：設(shè)，
則直線的方程為：，即：
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：
，解得：或
將代入直線可得：
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，
直線的方程為：，
整理可得：
整理得：
所以直線過定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，直線：，直線過點(diǎn)．
故直線CD過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.
6．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于不同的兩點(diǎn)，.求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義確定a，再根據(jù)c求b（2）設(shè)根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組解得，N坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求MN直線方程，化成點(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)
試題解析：(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則另一個(gè)焦點(diǎn)為,
由橢圓的定義知:，代入計(jì)算得．
又, 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)設(shè)，
則直線，與聯(lián)立，解得
同理
所以直線的斜率為=
所以直線
所以直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為
點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).
7．設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．
【答案】（1）（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)為，得到，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程求解.
（2）設(shè)直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），代入橢圓方程，由，化簡(jiǎn)得到，即，再代入直線參數(shù)方程求解.
【詳解】
（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，
所以，
設(shè)橢圓方程為，
又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，
所以，
解得
所以橢圓方程為：；
（2）設(shè)直線的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），代入橢圓方程，
得：．
由，
得，
即，
則，
點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程是，
則，
所以點(diǎn)在定直線上
【點(diǎn)睛】
本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
8．
設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿足，經(jīng)過點(diǎn)與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足,求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】略
【解析】
略
9．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，且，橢圓離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.
（2）先討論斜率不存在時(shí)的情況易知直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，進(jìn)而聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)，并證明其相等即可.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，
所以，解得，.
所以橢圓的方程是.
（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.
所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.
所以直線的方程是，
直線的方程是.
所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.
所以點(diǎn)在直線上.
②若直線的斜率存在時(shí)，如圖.
設(shè)斜率為.所以直線的方程為.
聯(lián)立方程組
消去，整理得.
顯然.不妨設(shè)，，
所以，.
所以直線的方程是.
令，得.
直線的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以點(diǎn)在直線上.
【點(diǎn)睛】
本題第二問解題的關(guān)鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進(jìn)而計(jì)算得時(shí)的縱坐標(biāo)相等即可.考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
10．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點(diǎn)，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.
（1）求證：；
（2）若直線PQ過定點(diǎn)，求證：.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設(shè)，代入斜率公式求；
（2）設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示，再根據(jù)（1）的結(jié)論證明.
【詳解】
（1）設(shè)
；
（2）設(shè)直線的方程是，設(shè)
與橢圓方程聯(lián)立， 得： ，
， ，


，
,
由（1）可知，
兩式消去，解得：.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值和定點(diǎn)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題型，第二問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡(jiǎn)單，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問題中，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式都是解題的基本工具.
11．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(異于)，連結(jié)，且斜率是斜率的倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明:直線恒過定點(diǎn).
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意列出方程組，解出方程組即可得橢圓方程；（2）連結(jié)設(shè)，由橢圓的性質(zhì)可得出，故而可得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，解出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得出，得出與的關(guān)系，代入直線方程即可得定點(diǎn).
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以，即橢圓的方程為
（2）連結(jié)設(shè)則
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以
因?yàn)?，所?br>當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，不妨設(shè)在軸上方，
因?yàn)?，所?br>（ii）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，
即，所以
因?yàn)?br>所以，即或
當(dāng)時(shí)，，恒過定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在亦符合:當(dāng)，，過點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去.
所以直線恒過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
12．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)，線的傾斜角為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與交于，求證：在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題意和過兩點(diǎn)的直線的斜率公式可求得b，可得橢圓的方程.
（2）設(shè)，，，設(shè)過的動(dòng)直線：，代入橢圓的方程得： ，由韋達(dá)定理得：，，再由，，及，，三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)可得證明點(diǎn)在定直線上.
【詳解】
（1），由題意，，
所以橢圓的方程.
（2）設(shè)，，，過的動(dòng)直線：，代入橢圓的方程得：
，得：，，
，
分別由，，及，，三點(diǎn)共線，得：，，
兩式相除得：
，
得：，即在直線上.
【點(diǎn)睛】
本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系之交點(diǎn)問題之動(dòng)點(diǎn)在定直線上，屬于較難題.
13．已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）由，得到，再由點(diǎn)在該橢圓上，求得的值，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組求得，再由的的方程，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合斜率公式，進(jìn)而得到直線過定點(diǎn).
【詳解】
（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，
可得，所以，
又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由于的斜率為，設(shè)的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，所以，
從而，即，
同理可得：由于的斜率為，則，
聯(lián)立方程組，可得，
即，
所以，所以，
從而，即，
當(dāng)時(shí)即；時(shí)，，過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，即，所以直線過點(diǎn)，
綜上可得，直線過點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：
1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
14．設(shè)分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)，是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在軸上，求的面積.
（3）設(shè)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)和是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點(diǎn).
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【分析】
（1）計(jì)算得，，代入解方程即可得，故可得橢圓的方程；
（2）設(shè)另一焦點(diǎn)為，則軸，計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線：，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理計(jì)算得出，同理可得，分，兩種情況表示出直線方程，從而確定出定點(diǎn).
【詳解】
（1），
，，，解得
即橢圓的方程為.
（2）橢圓的方程為，由題意，設(shè)另一焦點(diǎn)為，
設(shè)，由線段的中點(diǎn)在y軸上，得軸，所以，
代入橢圓方程得，即
；
（3）證明：由題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
直線：，與橢圓方程聯(lián)立
消去得：
由韋達(dá)定理得即；
同理；
當(dāng)，即即時(shí)，
直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，直線：
化簡(jiǎn)得，恒過點(diǎn)；
綜上所述，直線恒過點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第（3）的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出直線，并能通過運(yùn)算整理成關(guān)于的方程，從而確定出定點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，有一定的難度.
15．已知曲線.
（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；
（2）若曲線C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的范圍；
（3）設(shè)，曲線C與軸交點(diǎn)為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點(diǎn)M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線.
【答案】（1）；（2）；（3）見解析
【分析】
（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得的范圍；（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得的取值范圍；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合，解得，設(shè)，，，求出的方程，可得，從而可得，，欲證，，三點(diǎn)共線，只需證，共線，利用韋達(dá)定理，可以證明．
【詳解】
（1）若曲線表示雙曲線，則：，
解得：.
（2）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
則：，
解得：
（3）當(dāng)，曲線可化為：，
當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)坐標(biāo)為：，，
將直線代入橢圓方程得：，
若與曲線交于不同兩點(diǎn)，，
則，解得，
由韋達(dá)定理得： ①，
②
設(shè)，，，
方程為：，則，
∴，，
欲證，，三點(diǎn)共線，只需證，共線，
即，
將①②代入可得等式成立，則，，三點(diǎn)共線得證．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解，屬于中檔題.
16．已知橢圓過點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不同于點(diǎn)），直線與直線：交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：，，三點(diǎn)共線．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到橢圓的方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）討論直線的斜率，利用是平行的證明，，三點(diǎn)共線．
【詳解】
（1） 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以解得
所以橢圓的方程為．
所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）① 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．
顯然，，或，．
當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
所以．
直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
則，．
所以，所以，，三點(diǎn)共線．
同理，當(dāng)，時(shí)，，，三點(diǎn)共線．
② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
由得．
且．
設(shè)，，則，．
直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
所以．
直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
則，．
所以
，
，
，
，
，

．
所以與共線，
所以，，三點(diǎn)共線．
綜上所述，，，三點(diǎn)共線．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
17．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）在，x=4.
【分析】
（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，直線的方程為，直線的方程為，求出交點(diǎn)，由根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
（1）由題設(shè)， ，，且
所以，
橢圓方程為；
（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
因?yàn)?，設(shè)，
所以，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
則，即，
而，
∴，
∴x=4，即直線與直線的交點(diǎn)在直線x=4上.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，橢圓中的定值問題，屬于中檔題.
18．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，為原點(diǎn).以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)，在上.
（1）求的離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，過作與軸不重合的直線與交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）是，，證明見解析.
【分析】
（1）由題意可知，將其代入橢圓方程中化簡(jiǎn)可得，從而可求出離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為，然后當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出，，進(jìn)而可得的值，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，設(shè)，，然后將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后求，化簡(jiǎn)可得答案；或利用根與系數(shù)的關(guān)系后，由于
在橢圓上，所以，所以，再化簡(jiǎn)即可得答案；或由于，在橢圓上，代入橢圓方程中，化簡(jiǎn)可得，，設(shè)，則，從而可得，進(jìn)而可得直線經(jīng)過點(diǎn)，又過定點(diǎn)，故，從而可求得結(jié)果
【詳解】
解法一：（1）以為對(duì)角線的正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，.
因?yàn)?，在橢圓上，所以，
所以，
所以，
所以橢圓的離心率；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
為定值，理由如下：
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，則，，
所以，，所以.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，
設(shè)，，
不妨設(shè)，且.
由可得，
，，.
要證，只要證明：，
只要證：，
只要證：，
只要證：，
因?yàn)?，，即證，
因?yàn)?，，所?
所以成立，
綜上所述：.
解法二：（1）同解法一；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不妨設(shè).
由可得，
，，.
所以，即.
.
綜上所述：.
解法三：（1）同解法一；
（2）當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不防設(shè).
由可得，
，，.
因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，
所以.
，
.
所以.
綜上所述：.
解法四：（1）同解法一；
當(dāng)時(shí)，，所以橢圓的方程為.
設(shè)，，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以.
所以，
同理.
設(shè)，則，
所以，①
，②
①+②得，
當(dāng)時(shí)得，不合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，
所以直線經(jīng)過點(diǎn)，
又過定點(diǎn)，故，解得.
綜上所述：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓離心率的求法，考查橢圓中的定值問題，解題的關(guān)鍵是當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，設(shè)，，然后將直線方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后求，化簡(jiǎn)可得答案，考查計(jì)算能力，屬于中檔題
19．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)且.
（1）求C的方程.
（2）若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）解：設(shè)，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組消去后應(yīng)用韋達(dá)定理得，利用焦半徑公式及韋達(dá)定理的結(jié)果可求得得拋物線方程；
（2）設(shè)，，，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程相減琍，同理可得，然后求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為常數(shù)即證（由．化為坐標(biāo)表示后相加即可得）．
【詳解】
（1）解：設(shè)，，由，得，
則，
從而，
解得，故的方程為.
（2）證明：設(shè)，，，.
因?yàn)?，所?
根據(jù)得，則，
同理得.
又兩式相加得，
即，由于，所以.
故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線相交求拋物線的方程，點(diǎn)在定直線上等問題，解題方法一是應(yīng)用韋達(dá)定理得出交點(diǎn)的坐標(biāo)之和，利用焦半徑公式求解，二是把交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程相減同弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率之間的關(guān)系．

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