滿分：150分 時(shí)間：120分鐘
命題：高三數(shù)學(xué)備課組 審題：高三數(shù)學(xué)備課組
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 7B. 8C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合對(duì)元素的要求，求得集合，即得其真子集個(gè)數(shù).
【詳解】由且可知，可以取，則可取，
即，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.
故選：C.
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求得，可求.
【詳解】由，可得，
所以，
所以.
故選：A.
3. 已知向量，且，則等于（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)得到，再計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得
所以，，
故選：A
4. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)切化弦可得，結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，即，可得?br>又因?yàn)?，可得?br>所以.
故選：B.
5. 如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出來(lái)，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，結(jié)合題意面積比得到，再計(jì)算二者的體積比即可.
【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，
則母線長(zhǎng)為，
所以圓錐的側(cè)面積是，
半球的面積，
由題意可得，
解得，
所以圓錐的體積為，半球的體積為，
所以此規(guī)格脆皮筒的體積與冰淇淋的體積之比為，
故選：B.
6. 已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函數(shù)在上為增函數(shù)列式，結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
所以是的必要不充分條件，即是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件，
故選：C.
7. 已知函數(shù)和函數(shù)圖象相交于三點(diǎn)，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，求出兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】由，得，得，
得或，
又，所以或或，
所以，，，
所以不妨設(shè)，，，
所以的面積為.
故選：B
8. 已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 為奇函數(shù)B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)賦值法可得，，進(jìn)而可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上為減函數(shù)，即可求解B，代值逐步求解即可判斷CD.
【詳解】令，，，所以；
令，，則．
令，得，故為偶函數(shù)．A錯(cuò)誤，
任取，，，則，
則，故在上為減函數(shù)．
由已知，可得，故，解得，且．B錯(cuò)誤，
若，則，C正確，
若，則，，
，所以，故D錯(cuò)誤，
故選：C．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. “雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時(shí)，有，，.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 該地水稻的平均株高約為B. 該地水稻株高的方差約為100
C. 該地株高超過(guò)的水稻約占68.27％D. 該地株高低于的水稻約占99.87％
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.
【詳解】由題意可知，，，故A，B正確；
由題意得，
所以，故C錯(cuò)誤；
所以，故D正確；
故選：ABD.
10. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B. 當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C. 存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸
D. 存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)
，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，
由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，
即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心
11. 把一個(gè)三階魔方看成是棱長(zhǎng)為1的正方體，若頂層旋轉(zhuǎn)（為銳角），記表面積增加量為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】假設(shè)斜邊長(zhǎng)為，則，，即可代入求解A，根據(jù)正弦的對(duì)稱(chēng)性求解B，再結(jié)合基本不等式可判斷CD．
【詳解】設(shè)三角形的斜邊長(zhǎng)為，則 ①，
所以，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由①式得，，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的對(duì)稱(chēng)軸為 ，，
當(dāng)時(shí)，，即的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；
對(duì)于CD，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又由①可得，，
所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，所以,，
所以,，所以,，
所以,，所以，
即，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)得到，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式得面積表達(dá)式.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用特值法求出值，再證明是偶函數(shù)即可.
【詳解】函數(shù)，是偶函數(shù)，
，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，
，故是偶函數(shù).
綜上所述，.
故答案為：.
13. 若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】易得雙曲線漸近線為，再利用兩直線垂直斜率之積為求出，結(jié)合離心率公式即可求解.
【詳解】雙曲線（）的漸近線方程為，直線斜率為，
由一條漸近線與直線垂直得，解得，
所以離心率為.
故答案為：
14. 在概率論中，全概率公式指是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對(duì)任意的事件，有．若甲盒中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有個(gè)白球、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為_(kāi)_____．
【答案】6
【解析】
【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合全概率公式列式求解即可.
【詳解】設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，
從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，
則，
可得
，
解得，則的最大值為6．
故答案為：6.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，且．
（1）求角A；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式及余弦定理結(jié)合輔助角公式即可求解;
（2）應(yīng)用余弦定理及正弦定理，結(jié)合輔助角公式，二倍角公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由三角形面積公式可得：
，
即，
則，
即，
則，
則
因?yàn)?，所?
【小問(wèn)2詳解】
，
則，由正弦定理得，
，
又，則，
所以
16. 已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助右頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率計(jì)算即可得橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程聯(lián)立曲線計(jì)算可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得直線的方程.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得，．因?yàn)?，所以?br>則，故橢圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，得，
易知．設(shè)，則，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
即，解得，
所以直線的方程為，即．
17. 如圖，在三棱錐中，底面是正三角形，，側(cè)面底面分別為的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三線合一證明線線垂直，再證明平面，由此得線線垂直；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求直線與平面所成角；
（3）利用法向量方法求二面角的平面角.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連接．
．
又平面，平面，，
則平面，平面，
；
【小問(wèn)2詳解】
平面平面，平面平面，
又平面，,
平面，又.
在中，.
在等邊中，.
如圖所示，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
由分別為的中點(diǎn)，則，
所以．
設(shè)平面的法向量為，
則，
今，則，
故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）可知為平面的一個(gè)法向量，
而為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角的大小為，又二面角是銳角，
，
二面角的余弦值等于
18. 已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的最小值；
（2）求證：；
（3）已知恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）求恒成立，即等價(jià)于，求出的最大值，大于等于的最大值，即可求出的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，得，即，，代入化簡(jiǎn)即可證明.
（3）由題意知恒成立，即分離參數(shù)后得，再結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論，即可求出的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
等價(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，的最小值為.
【小問(wèn)2詳解】
證明：當(dāng)時(shí)，由（1）得，即.令，則，即.
【小問(wèn)3詳解】
恒成立，即恒成立, ，由（2）知恒成立， ，故的取值范圍為.
19. 若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，對(duì)任意，有，則稱(chēng)數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
（1）已知數(shù)列1，3，2，4和數(shù)列1，2，4，3，2，判斷它們是否為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，記的前n項(xiàng)和為，，對(duì)任意三個(gè)不相等正整數(shù)p，q，r，存在常數(shù)t，使得．
證明：數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列．
【答案】（1）只有1，2，4，3，2是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列，理由見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列的定義計(jì)算即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同及“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列的定義計(jì)算即可；
（3）將互換計(jì)算可得，令，可證明是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列得通項(xiàng)公式可知，利用及的關(guān)系可得，并判定為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算結(jié)合基本不等式放縮證明其大于0即可.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列的定義可知數(shù)列1，3，2，4中不成立，
所以數(shù)列1，3，2，4不是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
而數(shù)列1，2，4，3，2中均成立，所以數(shù)列1，2，4，3，2是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列；
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質(zhì)易知有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
所以，
又，所以，
顯然，即不是的零點(diǎn)，
又，
令，則也有三個(gè)零點(diǎn)，
即有三個(gè)零點(diǎn)，
則有三個(gè)零點(diǎn)，
所以有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以同上有，
故數(shù)列為“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列
【小問(wèn)3詳解】
將互換得：，所以，
令，得，
所以，故數(shù)列是等差數(shù)列，
記，所以，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，所以為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，
所以.
所以
所以，數(shù)列是“對(duì)數(shù)凹性”數(shù)列
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問(wèn)根據(jù)定義及三次函數(shù)的性質(zhì)、判別式先判定，再判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，再次利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及判別式判定即可；第三問(wèn)根據(jù)條件將互換得，利用賦值法證明是等差數(shù)列，再根據(jù)及的關(guān)系可得從而判定其為單調(diào)遞增數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算結(jié)合基本不等式放縮證明其大于0即可.

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湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段考試試題（Word版附解析）

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湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2023～2024年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

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湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)檢測(cè)試題+數(shù)學(xué)試卷含解析

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