時(shí)量：120分鐘滿分：150分
得分_________
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
3．若，，，為集合的4個(gè)元素，則以，，，為邊長的四邊形可能是（ ）
A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形
4．如圖所示，為全集，，，為的子集，則陰影部分所表示的集合可為（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，則
C．若，則D．若且，則
6．“”是“對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，均有”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有30名同學(xué)參加比賽，有18人參加游泳比賽，有9人參加田徑比賽，有15人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有5人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有5人，同時(shí)參加三項(xiàng)比賽的有1人，則只參加田徑一項(xiàng)比賽的有（ ）
A．1人B．2人C．3人D．5人
8．設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ）
A．2B．C．1D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知平面四邊形，則“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件是（ ）
A．四邊形的兩組對(duì)邊分別相等B．四邊形的兩條對(duì)角線互相平分
C．四邊形的四條邊長均相等D．四邊形的兩組對(duì)邊平行
10．不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．且
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
11．對(duì)任意，，記，并稱為集合，的對(duì)稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若，且，則
B．若，且，則
C．若，且，則
D．若，，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．不等式的解集為_________．
13．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是_________．
14．已知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知集合，，．
（1）求，；
（2）若是的真子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（15分）某地政府為進(jìn)一步推進(jìn)地區(qū)創(chuàng)業(yè)基地建設(shè)，助推創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)工作，擬對(duì)創(chuàng)業(yè)者提供萬元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助．某企業(yè)擬定在申請(qǐng)得到萬元?jiǎng)?chuàng)業(yè)補(bǔ)助后，將產(chǎn)量增加到萬件，同時(shí)企業(yè)生產(chǎn)萬件產(chǎn)品需要投入的成本為萬元，并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．（注：收益＝銷售金額＋創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助－成本）
（1）求該企業(yè)獲得創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助后的收益萬元與創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助萬元的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助為多少萬元時(shí)，該企業(yè)所獲收益最大？
17．（15分）（1）設(shè)，，，為正實(shí)數(shù)，證明不等式：；
（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值；
（3）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值．
18．（17分）已知函數(shù)．
（1）若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）解關(guān)于的不等式；
（3）若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
19．（17分）非空集合，是集合的真子集，且，如果，，，使得，其中，，則稱，是集合的一組有序基底集，記為．已知由正整數(shù)構(gòu)成的集合，其有序基底集的個(gè)數(shù)記為．
（1）時(shí)，寫出所有符合條件的；
（2）時(shí)，是集合的一組有序基底集，求集合中含有元素4的概率；
（3）證明：．
長沙市第一中學(xué)2024—2025學(xué)年度高一第一學(xué)期第一次階段性檢測(cè)
數(shù)學(xué)參考答案
一、二、選擇題
1．C【解析】根據(jù)集合與元素、集合與集合的基本關(guān)系可知，選項(xiàng)A中，；選項(xiàng)B中，；選項(xiàng)D中，．故選項(xiàng)C正確．
2．D【解析】由題意可知，存在量詞命題“，使得”的否定形式為全稱量詞命題“，使得”．
3．B【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，以，，，為邊長的四邊形，四條邊均不相等，選項(xiàng)中只有直角梯形可以滿足要求，故選B．
4．D【解析】根據(jù)交、并、補(bǔ)運(yùn)算可判斷陰影區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)D．
5．C【解析】選項(xiàng)A，取，，，，則，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，，但，不成立，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，C正確；選項(xiàng)D，根據(jù)糖水不等式可知，再根據(jù)倒數(shù)不等式可得，D錯(cuò)誤，故選C．
6．A【解析】對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，均有，
對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
，，
，即，
當(dāng)時(shí)，一定成立；時(shí)，不一定成立．
“”是“對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，均有”的充分不必要條件，故選A．
7．B【解析】如圖，設(shè)只參加田徑一項(xiàng)比賽的有人，只參加球類一項(xiàng)比賽的有人，同時(shí)參加田徑比賽和球類比賽且不參加游泳比賽的有人．
故可解得故只參加田徑一項(xiàng)比賽的有2人．
8．A【解析】根據(jù)題意，，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，
當(dāng)取得最大值時(shí)，，
分析可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值2．故選A．
9．ABD【解析】由四邊形為平行四邊形可推得，A，B，D均正確；選項(xiàng)C，滿足條件的四邊形是菱形，而由四邊形是平行四邊形無法推出其是菱形．故選ABD．
10．BCD【解析】對(duì)于A，，，1是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，，所以，，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，由可得不等式解集為，所以B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，所以C正確；
對(duì)于D，由題得，因?yàn)椋?，所以?br>所以不等式的解集是，所以D正確．
11．ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>即與是相同的，所以，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于，
而，故，即D正確．故選：ABD．
三、填空題
12．【解析】不等式，移項(xiàng)得，即，可化為，解得，則原不等式的解集為．
13．7【解析】由可知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等式成立．
所以，，
當(dāng)，時(shí)，的最小值是7．
14．【解析】可將當(dāng)時(shí)，有解轉(zhuǎn)化頭至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，構(gòu)造，，畫出圖形，如圖：
當(dāng)時(shí)，兩個(gè)圖象相交于點(diǎn)，要使其相交于軸左側(cè)，則需滿足，在的圖象不斷左移的過程中，若與左側(cè)曲線相切，則有，對(duì)應(yīng)的，解得，則，綜上所述，．
四、解答題
15．【解析】（1），或，或．
（2）因?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，即．
②當(dāng)時(shí)，，即，且等號(hào)不能同時(shí)取得，解得．
綜上所述，．
16．【解析】（1）依據(jù)題意可知，銷售金額萬元，創(chuàng)業(yè)補(bǔ)助萬元，成本為萬元，
所以收益，．
（2）由（1）可知，，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．
所以，
所以當(dāng)時(shí)，該企業(yè)所獲收益最大，最大值為74萬元．
17．【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立；
即的最小值是．
（3），所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立．
18．【解析】（1）由題意，對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則有解得．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）不等式等價(jià)于，
即，
當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解集為；
當(dāng)時(shí)，與不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根為，．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式解集為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
則關(guān)于的方程可化為，
關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，
即有兩個(gè)不同正根，則
由②③式可得，
由①知：存在，使不等式成立，故，
即，解得（舍）或．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
19．【解析】（1），；，；，；，；，；，；，；，．
（2）時(shí)，集合的有序基底集有22個(gè)，分別是：
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，；，；，；
，；，．
符合條件的有9個(gè)，故所求概率為．
（3）當(dāng)，其部分有序基底集在時(shí)，仍可作為有序基底集；
當(dāng)，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作為時(shí)的有序基底集；
當(dāng)，其有序基底集中的集合中添加元素，可以作為時(shí)的有序基底集；
時(shí)，有序基底集還有，；，．
從而證明：．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
D
C
A
B
A
ABD
BCD
ABD

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