湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)量：120分鐘總分：150分
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解絕對(duì)值不等式和函數(shù)定義域解得集合，再求交集即可.
【詳解】根據(jù)題意，可得，
故.
故選：.
2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則、結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，
故選：D
3. 已知一個(gè)古典概型，其樣本空間中共有12個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件有6個(gè)樣本點(diǎn)，事件有4個(gè)樣本點(diǎn)，事件有8個(gè)樣本點(diǎn)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意計(jì)算可得，，，再由概率的加法公式計(jì)算即可得.
【詳解】根據(jù)概率公式計(jì)算可得，，；
由概率的加法公式可知，代入計(jì)算可得
故選：D
4. 已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，且滿足，則等差數(shù)列{an}的公差為（）
A. -3B. -1C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.
【詳解】；，解得，.
故選：D
5. 已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，則m的值為（）
A. B. 2C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】，
在的展開(kāi)式中，由，
令，得r無(wú)解，即的展開(kāi)式?jīng)]有的項(xiàng)；
在的展開(kāi)式中，由，
令，解得r=3，
即的展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為，
又的展開(kāi)式中的系數(shù)為80，
所以，解得.
故選：A.
6. 如圖，正方形中，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）

A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定圖形，用表示向量，再利用共線向量定理的推論，結(jié)合“1”的妙用求解即得.
【詳解】正方形中，，則，
而，則，
又點(diǎn)共線，于是，即，而，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：C
7. 設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出.構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，得到；構(gòu)造函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明出，即為.即可得到答案.
【詳解】記.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.
記.
因?yàn)?，所以gx在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.
所以.
記.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.
所以.
綜上所述：.
故選：C
8. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡(jiǎn)即可求得.
【詳解】，.
，
，，
，，
又因?yàn)椋裕?br>則，所以
.
.
故選：A
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)
B. 八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的6.3倍
C. 八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍
D. 記地震里氏震級(jí)為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)所給公式，結(jié)合指對(duì)互化原則，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由題意得，
解得，即地震里氏震級(jí)約為七級(jí)，故A正確；
對(duì)于B：八級(jí)地震即時(shí)，，解得，
所以，
所以八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的倍，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：六級(jí)地震即時(shí)，，解得，
所以，
即八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍，故C正確；
對(duì)于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確；
故選：ACD
10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，現(xiàn)有四個(gè)條件：①；②；③PO平分；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為Q，且，能使雙曲線Ｃ的離心率為的條件組合可以是（）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，利用雙曲線的定義找到a,c的等量關(guān)系，從而確定離心率.
【詳解】③PO平分且PO為中線，可得，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以不成立；
若選①②：，，可得，，
所以，即離心率為，成立；
若選②④：，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為Q，且，可得四邊形為矩形，即，可得，，
所以，即離心率為，成立；
故選：AD
11. 如圖，是底面直徑為高為的圓柱的軸截面，四邊形繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則（）
A. 圓柱的側(cè)面積為
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，異面直線與所成的角為
D. 面積的最大值為
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A，由圓柱的側(cè)面積公式可得；
對(duì)于B，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得；
對(duì)于C，由題知，為正三角形，根據(jù)異面直線所成的角的定義計(jì)算得解；
對(duì)于D，作，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得.在中，，代三角形面積公式得解.
【詳解】對(duì)于A，圓柱的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，又?br>所以平面，所以，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以就是異面直線與
所成的角，因?yàn)椋詾檎切危?br>所以，因?yàn)?，所以，C正確；
對(duì)于D，作，垂足為，連接，所以平面，所以.
在中，，
，所以，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 如圖，某景區(qū)共有五個(gè)景點(diǎn)，相鄰景點(diǎn)之間僅設(shè)置一個(gè)檢票口供出入，共有7個(gè)檢票口，工作人員為了檢測(cè)檢票設(shè)備是否正常，需要對(duì)每個(gè)檢票口的檢票設(shè)備進(jìn)行檢測(cè).若不重復(fù)經(jīng)過(guò)同一個(gè)檢票口，依次對(duì)所有檢票口進(jìn)行檢測(cè)，則共有____________種不同的檢測(cè)順序.
【答案】
【解析】
【分析】將個(gè)景區(qū)抽象為個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)個(gè)檢票口抽象為條路線，將問(wèn)題化歸為不重復(fù)走完條路線，即一筆畫(huà)問(wèn)題，分析可得只能從或處出發(fā)才能不重復(fù)走完條路線，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，即可得解.
【詳解】如圖將個(gè)景區(qū)抽象為個(gè)點(diǎn)，見(jiàn)個(gè)檢票口抽象為條路線，將問(wèn)題化歸為不重復(fù)走完條路線，即一筆畫(huà)問(wèn)題，
從或處出發(fā)的線路是奇數(shù)條，其余是偶數(shù)條，可以判斷只能從或處出發(fā)才能不重復(fù)走完條路線，
由于對(duì)稱(chēng)性，只列出從處出發(fā)的路線情形即可.
①走路線：，，，，，，共種；
②走路線：，，，，，，共種；
③走路線：，，，，共種；
綜上，共有種檢測(cè)順序.
故答案為：
13. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】由可得，由函數(shù)在上是增函數(shù)可得，然后對(duì)的取值逐一驗(yàn)證，然后可得取值.
【詳解】由可知，，得，
所以，
又函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，即，所以，
所以，的可能取值為.
當(dāng)時(shí)，由解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)滿足題意
所以，的可能取值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于能從已知中發(fā)現(xiàn)周期的所滿足的條件，然后根據(jù)周期確定的可能取值，再通過(guò)驗(yàn)證即可求解.
14. 斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級(jí)結(jié)論斜率之積為定值，取的中點(diǎn)，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.
【詳解】若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，則，
又由在直線上，可得，
所以，所以，
即直線與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，
如圖所示，取的中點(diǎn)，
因?yàn)榈闹匦脑谥芯€上，的重心在中線上，
所以，，可得，
即，
又由，可得，可得
因?yàn)椋业耐庑臑辄c(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)，
可得，因，所以，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：求解圓錐曲線的離心率的常見(jiàn)方法：
1、定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；
3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問(wèn)題.
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15. 設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>，
令，則，解得，
令，則，解得.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
令，則.
令，其中，
則.
令，解得，令，解得.
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
.
又，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
的取值范圍是.
16. 如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，四邊形為矩形，平面平面為線段的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合平面平面得到，最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用已知條件和線面角的坐標(biāo)公式求出，再利用面面角的坐標(biāo)公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
在中，為線段的中點(diǎn)，且，所以，
所以，為直角三角形，且，所以，
因底面為平行四邊形，，所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>由（1）知平面，又平面，所以，
所以兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
在中，，所以，
設(shè)，則，
所以，
易知平面的一個(gè)法向量為DA=2,0,0，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，解得，
所以，
設(shè)平面法向量為m=x,y,z，
則，令，則，
易知平面的一個(gè)法向量為，
則，
易知二面角是銳角，故二面角的余弦值為.
17. 軟筆書(shū)法又稱(chēng)中國(guó)書(shū)法，是我國(guó)的國(guó)粹之一，琴棋書(shū)畫(huà)中的“書(shū)”指的正是書(shū)法.作為我國(guó)的獨(dú)有藝術(shù)，軟筆書(shū)法不僅能夠陶冶情操，培養(yǎng)孩子對(duì)藝術(shù)的審美還能開(kāi)發(fā)孩子的智力，拓展孩子的思維與手的靈活性，對(duì)孩子的身心健康發(fā)展起著重要的作用.近年來(lái)越來(lái)越多的家長(zhǎng)開(kāi)始注重孩子的書(shū)法教育.某書(shū)法培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的學(xué)生人數(shù)（每人只學(xué)習(xí)一種書(shū)體），得到相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：
（1）該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了某周學(xué)生軟筆書(shū)法作業(yè)完成情況，得到下表，其中.
若根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)可以認(rèn)為該周學(xué)生是否認(rèn)真完成作業(yè)與性別有關(guān)，求該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的女生的人數(shù).
（2）現(xiàn)從學(xué)習(xí)楷書(shū)與行書(shū)的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記4人中學(xué)習(xí)行書(shū)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：.
【答案】（1）20 （2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論列不等式求出的值，可得女生人數(shù)；
（2）由分層抽樣確定兩組人數(shù)，根據(jù)的取值計(jì)算相應(yīng)的概率，得分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：
由題意可得，
得.
易知為5的倍數(shù)，且，所以，
所以該培訓(xùn)機(jī)構(gòu)學(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的女生有（人）.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閷W(xué)習(xí)軟筆書(shū)法的學(xué)生中學(xué)習(xí)楷書(shū)與行書(shū)的人數(shù)之比為，
所以用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的10人中，學(xué)習(xí)楷書(shū)的有（人），學(xué)習(xí)行書(shū)的有（人），
所以的所有可能取值為，
，，，
，.
的分布列為：
所以.
18. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且到，的距離之和為8.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，斜率為的直線與線段（不含端點(diǎn)）相交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)，若為常數(shù)，求與面積的比值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，表示出直線的方程，聯(lián)立與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，然后代入弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由橢圓的定義得，所以.
又為橢圓上一點(diǎn)，所以，
將代入，得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)闉殛P(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以，直線的方程為.
設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立得，可得，
由點(diǎn)在橢圓內(nèi)，易知，
不妨令，則，，
所以.
又，
所以為常數(shù)，
則需滿足為常數(shù)，（此式為與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以分子與分母對(duì)應(yīng)成比例）
即，解得.
將代入，可得，得，
所以為的中點(diǎn)，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與橢圓相交問(wèn)題，以及橢圓中三角形面積問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及將面積比轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)比.
19. 設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”：
①；②.
（1）若某階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；
（2）若某階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)（，用表示）；
（3）記階“曼德拉數(shù)列”的前項(xiàng)和為，若存在，使，試問(wèn)：數(shù)列能否為階“曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）或
（2）或
（3）不能，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，分公比是否為1進(jìn)行討論即可求解；
（2）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0進(jìn)行討論即可求解；
（3）記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，進(jìn)一步，結(jié)合前面的結(jié)論以及曼德拉數(shù)列的定義得出矛盾即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為.
若，則由①得，得，
由②得或.
若，由①得，，得，不可能.
綜上所述，.
或.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
，
即，
當(dāng)時(shí)，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾，
當(dāng)時(shí)，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得，
，
，即，
由得，即，
.
當(dāng)時(shí)，同理可得，
即.
由得，即，
.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)3詳解】
記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，則，
得，，，即.
若存在，使，由前面的證明過(guò)程知：
，，，，，，，，且.
若數(shù)列為階“曼德拉數(shù)列”，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.
，
又，，
.
又，
，，，，
，
又與不能同時(shí)成立，
數(shù)列不為階“曼德拉數(shù)列”.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是得到，，，，，，，，且，由此即可順利得解.書(shū)體
楷書(shū)
行書(shū)
草書(shū)
隸書(shū)
篆書(shū)
人數(shù)
24
16
10
20
10
認(rèn)真完成
不認(rèn)真完成
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
60
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
認(rèn)真完成
不認(rèn)真完成
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
60
20
80
0
1
2
3
4

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