湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 設(shè)集合，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B.
C. D. ?
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以是集合的元素，
所以根據(jù)元素與集合的包含關(guān)系可知，，根據(jù)集合與集合的包含關(guān)系可知，?.
故選：D
2. 已知集合，，則集合（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分別求兩個(gè)集合，再根據(jù)交集的定義，即可求解.
【詳解】，得，
即，
，得或，即或，
所以.
故選：A
3. 如圖，I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運(yùn)算作答．
【詳解】陰影部分在集合的公共部分，但不在集合內(nèi)，表示為，
故選：C．
4. 設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（）
A. B.
C. D. P與Q無(wú)包含關(guān)系
【答案】D
【解析】
【分析】首先變形兩個(gè)集合的形式，再根據(jù)特殊數(shù)集，進(jìn)行比較，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】，，
比較和，,分母相同，分子不同，
其中,表示大于等于2的正整數(shù)，，表示正奇數(shù)，
根據(jù)集合的包含關(guān)系可知，兩個(gè)集合沒(méi)有包含關(guān)系.
故選：D
5. 設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得，”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系及交集的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由，得，
而，則，
故“存在集合C使得，”是“”的充分條件；
由，存在一個(gè)集合，使得，，如圖，
所以“存在集合C使得，”是“”的必要條件.

故選：C
6. 若a，b，且，則的最小值是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先變形等式，再利用基本不等式，即可求解.
【詳解】，
，
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故選：D
7. 若x的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】首先不等式等價(jià)于，再討論的取值，根據(jù)解集中有2個(gè)整數(shù)，即可求解.
【詳解】不等式，等價(jià)于，
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，
若集合中有2個(gè)整數(shù)，則，得；
若，即時(shí)，不等式的解集為，
若集合中有2個(gè)整數(shù)，則，得；
當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，不成立；
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.
故選：C
8. 若，且，則的最小值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式的換“1”法，進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，可得答案.
詳解】∵，，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選：B
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知a，b，c是實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若且，則D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】舉特殊值，以及根據(jù)不等式的性質(zhì)和作差法，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】A.當(dāng)，則，故A錯(cuò)誤；
B.若，則，則，故B正確；
C.當(dāng)，，則，故C錯(cuò)誤；
D.，
因?yàn)椋裕?br>所以，即，故D正確.
故選：BD
10. 關(guān)于x的不等式的解集為非空集合的一個(gè)必要不充分條件是（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先求解不等式有解時(shí)的取值范圍，再根據(jù)充分，必要條件也集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，成立
當(dāng)時(shí)，不等式恒有解，
當(dāng)時(shí)，不等式有解，，得，
綜上可知，，
所以不等式有解的必要不充分條件表示的集合要能包含集合，選項(xiàng)中只有CD滿足條件.
故選：CD
11. 已知集合，，，則關(guān)于集合A、B、C之間的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的有（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求解集合再根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由集合定義可知，，，所以.
故選：AC
12. 在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“”，具有以下三條性質(zhì)：①對(duì)任意；②對(duì)任意；③對(duì)任意，以下正確的選項(xiàng)是（）
A.
B.
C. 對(duì)任意的，有
D. 存在，有
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的新運(yùn)算得到的計(jì)算方法，再逐項(xiàng)計(jì)算并判斷相應(yīng)的結(jié)論是否成立，從而得到正確的選項(xiàng).
【詳解】由題設(shè)有，
對(duì)于A，
，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，
，由①中結(jié)果可知，故B正確；
對(duì)于C，
對(duì)任意
，
而
，
故，故C正確；
對(duì)于④，取，
則，
而，故，故D正確.
故答案為：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義背景下命題真假的判斷，此題的關(guān)鍵是根據(jù)給出的運(yùn)算規(guī)則得到的運(yùn)算方法，本題屬于較難題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 不等式的解集是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)題意將化為，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.
【詳解】可化為，
，等價(jià)于，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案為：.
14. 某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至少參加一個(gè)至多參加兩個(gè)小組.已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26、15、13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有_________人.
【答案】8
【解析】
【分析】利用韋恩圖，根據(jù)容斥原理，即可求解.
【詳解】設(shè)集合分別表示參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外小組，
其中分別表示集合每部分的人數(shù)，其中
，化簡(jiǎn)為
所以

所以同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人.
故答案為：8
15. 已知時(shí)，不等式恒成立，則x的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)關(guān)于a的函數(shù)，則可得，從而可求出x的取值范圍.
【詳解】由題意，因?yàn)楫?dāng)，不等式恒成立，
可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，
則對(duì)任意恒成立，
則滿足，
解得，
即x的取值范圍為．
故答案為：
16. 設(shè),稱為的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a，CB=b，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．則圖中線段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段____的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù)，線段___的長(zhǎng)度是a,b的調(diào)和平均數(shù)．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】證明，可得，代入數(shù)據(jù)可得CD長(zhǎng)度為a，b的幾何平均數(shù)；根據(jù)a，b與OC之間的關(guān)系，表示出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)的面積可算出，繼而算出，即可得到結(jié)果
【詳解】解：因?yàn)槭侵睆?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以，所以即，
∴，即線段CD長(zhǎng)度為a，b幾何平均數(shù)，
因?yàn)?，所以?br>將代入，
可得，
故，
∴，
∴DE的長(zhǎng)度為a，b的調(diào)和平均數(shù)，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化條件為方程沒(méi)有正根，或者無(wú)解，運(yùn)算可得解.
【詳解】，且，
即沒(méi)有根或者沒(méi)有正根，
設(shè)其兩根分別為
有解但沒(méi)有正根時(shí)，則，即，;
當(dāng)其沒(méi)有根時(shí)，即
綜上，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為
18. 設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，，.
（1）當(dāng)時(shí)，求和；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】⑴，.⑵.
【解析】
【詳解】本試題主要是考查了集合的運(yùn)算以及二次不等式的求解的綜合運(yùn)用．
（1）因?yàn)槿菍?shí)數(shù)集R，，得到，當(dāng)時(shí)，，故，.．
（2）由于,得到集合的關(guān)系在求解參數(shù)的范圍．
解析：⑴，當(dāng)時(shí)，，故，.
⑵由，知．
①，；
②當(dāng)時(shí)，，，，只要滿足，則；綜上所述.
19. 如圖所示，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其它各面用鋼筋網(wǎng)圍成．
（1）現(xiàn)有可圍長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？
（2）若使每間虎籠面積為，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小？
【答案】（1）每間虎籠的長(zhǎng)，寬時(shí)，可使每間虎籠面積最大；（2）每間虎籠的長(zhǎng)，寬時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最小．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）設(shè)每間虎籠長(zhǎng)，寬為，得到，設(shè)每間虎籠面積為，得到，利用基本不等式，即可求解結(jié)論；（2）依題知，設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為，則，即可利用基本不等式求解結(jié)論．
試題解析：（1）設(shè)每間虎籠長(zhǎng)，寬為，∴則由條件知，即，
設(shè)每間虎籠面積為，則，
由于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即
由，∴，
∴每間虎籠的長(zhǎng)，寬時(shí)，可使每間虎籠面積最大；
（2）依題知，設(shè)鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)為，則，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
∴，
由，∴，每間虎籠的長(zhǎng)，寬時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最?。?br>考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用．
20. 已知函數(shù)（a∈R）.
（1）若關(guān)于x的不等式

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