1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{﹣4，1，3，5}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}
2．（5分）cs（﹣150°）＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
3．（5分）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期為π的函數(shù)是（ ）
A．y＝tan2xB．
C．y＝|sinx|D．
4．（5分）設(shè)x+3y＝2，則函數(shù)z＝3x+27y的最小值是（ ）
A．12B．27C．6D．30
5．（5分）已知函數(shù)．則能夠使得y＝2sinx變成函數(shù)f（x）的變換為（ ）
A．先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蜃笃揭?br>B．先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移
C．先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br>D．先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍
6．（5分）sigmid函數(shù)是描述在資源有限的條件下種群增長規(guī)律的一個(gè)最佳數(shù)學(xué)模型．某研究所根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigmid函數(shù)模型，當(dāng)f（t*）＝0.9K時(shí)，病毒增長達(dá)到最大，則t*約為（ ）（ln9≈2.2）
A．90B．83C．74D．63
7．（5分）函數(shù)f（x）＝xsinx的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）若a＝lg54，b＝lg43，c＝，則（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞b＞cD．c＞b＞a
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.）
（多選）9．（5分）下面命題正確的是（ ）
A．“a＞1”是“＜1”的必要不充分條件
B．命題“任意x∈R，則x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R，則x2+x+1≥0”
C．“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要條件
D．設(shè)a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件
（多選）10．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|sinx|，下列敘述正確的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間（，π）單調(diào)遞增
C．f（x）的最大值為2
D．f（x）在[﹣π，π]有4個(gè)零點(diǎn)
（多選）11．（5分）已知函數(shù)，方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2
B．實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，]
C．函數(shù)f（x）無最值
D．函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）
12．（5分）已知冪函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），則m﹣n＝ ．
13．（5分）若，則tan2α＝ ．
14．（5分）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”．如圖，O為線段AB中點(diǎn)，C為AB上異于O的一點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線，交半圓于D，連結(jié)OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．設(shè)AC＝a，CB＝b，則圖中線段OD＝＝x，線段CD＝＝y(tǒng)，線段 ＝＝z；由該圖形可以得出x，y，z的大小關(guān)系為 ．
四、解答題（本題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的圖象的一部分如圖所示：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程．
16．設(shè)全集U＝R，設(shè)函數(shù)y＝lg（ax2﹣1）的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)的值域?yàn)榧螧．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
17．已知角α滿足．
（1）求tanα的值；
（2）若角α是第三象限角，，求f（α）的值．
18．目前，“新冠肺炎”在我國得到了很好的遏制，但在世界其他一些國家還大肆流行．因防疫需要，某學(xué)校決定對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，藥熏開始前要求學(xué)生全部離開教室．已知在藥熏過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與藥熏時(shí)間t（小時(shí)）成正比；當(dāng)藥熏過程結(jié)束，藥物即釋放完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達(dá)到最大值．此后，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）．已知從藥熏開始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關(guān)于時(shí)間t（小時(shí)）的變化曲線如圖所示．
（Ⅰ）從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量不高于0.125毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥熏開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？
19．在大力推進(jìn)城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中，曉穎家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面．曉穎準(zhǔn)備將店面改建成超市，遇到如下問題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車希望能自如在直角走廊運(yùn)行．平板車平板面為矩形ABEF，它的寬為1米．直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)幫曉穎解決如下問題：
（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試將平板面的長AB表示為θ的函數(shù)f（θ）；
（2）證明：當(dāng)0＜θ＜時(shí)，1＜sinθ+csθ≤；
（3）若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？
2024-2025學(xué)年湖南省長沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{﹣4，1，3，5}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}
解：集合A＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，
則A∩B＝{1，3}，
故選：D．
2．（5分）cs（﹣150°）＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
解：cs（﹣150°）＝cs150°＝cs（180°﹣30°）＝﹣cs30°＝﹣．
故選：C．
3．（5分）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期為π的函數(shù)是（ ）
A．y＝tan2xB．
C．y＝|sinx|D．
解：由于y＝tan2x為奇函數(shù)，周期為，故排除A；
由于＝cs2x，是偶函數(shù)，故排除B；
由于y＝|sinx|是偶函數(shù)，所以排除C；
由于＝﹣sin2x是奇函數(shù)，周期為π，故D正確，
故選：D．
4．（5分）設(shè)x+3y＝2，則函數(shù)z＝3x+27y的最小值是（ ）
A．12B．27C．6D．30
解：∵x+3y＝2，
∴函數(shù)z＝3x+27y＝≥2＝＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝1時(shí)取等號(hào)．
∴函數(shù)z＝3x+27y的最小值是6．
故選：C．
5．（5分）已知函數(shù)．則能夠使得y＝2sinx變成函數(shù)f（x）的變換為（ ）
A．先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向左平?br>B．先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移
C．先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br>D．先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍
解：根據(jù)題意，函數(shù)＝2sin2（x+），則能夠使得y＝2sinx變成函數(shù)f（x）的變換，
可以先向左平移，再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>也可以橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蜃笃揭疲?br>故選：C．
6．（5分）sigmid函數(shù)是描述在資源有限的條件下種群增長規(guī)律的一個(gè)最佳數(shù)學(xué)模型．某研究所根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了一種病毒的sigmid函數(shù)模型，當(dāng)f（t*）＝0.9K時(shí)，病毒增長達(dá)到最大，則t*約為（ ）（ln9≈2.2）
A．90B．83C．74D．63
解：由，得，
故，即﹣0.2（t*﹣63）＝﹣ln9≈﹣2.2，所以t*＝74，
故選：C．
7．（5分）函數(shù)f（x）＝xsinx的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝xsinx，其定義域?yàn)镽，
有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，排除A，
又由f（0）＝0，排除B，
在區(qū)間（0，）上，sinx＞0，有f（x）＞0，排除C，
故選：D．
8．（5分）若a＝lg54，b＝lg43，c＝，則（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞b＞cD．c＞b＞a
解：＝＜lg5＝a＝lg54＜lg55＝1，
＝＜＝b＝lg43＜lg44＝1，c＝，
lgn（n+1）＝1+lgn＞1+lgn+1＞1+lgn+1＝lg（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），
故lgn（n+1）＞lg（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），
∴l(xiāng)gn+1n＜lg（n+2）（n+1），（n∈N*，n≥2），
∴a＝lg54＞b＝lg43，
∴a＞b＞c．
故選：C．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)是符合題目要求的.）
（多選）9．（5分）下面命題正確的是（ ）
A．“a＞1”是“＜1”的必要不充分條件
B．命題“任意x∈R，則x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R，則x2+x+1≥0”
C．“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要條件
D．設(shè)a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件
解：A：解不等式＜1可得：a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要條
件，故A不正確，
B：因?yàn)槊}“任意x∈R，則x2+x+1＜0”為全稱命題，所以其否定為特稱命題，
即為“存在x∈R，則x2+x+1≥0”，故B正確，
C：2x≥32?x≥5，所以“x≥6”是“2x≥32”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤，
D，當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，ab＝0，故充分性不成立，
當(dāng)ab≠0，則a≠0且b≠0，必要性成立，則D正確，
故選：BD．
（多選）10．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝sin|x|+|sinx|，下列敘述正確的是（ ）
A．f（x）是偶函數(shù)
B．f（x）在區(qū)間（，π）單調(diào)遞增
C．f（x）的最大值為2
D．f（x）在[﹣π，π]有4個(gè)零點(diǎn)
解：∵f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），且f（x）的定義域?yàn)镽，
∴f（x）是偶函數(shù)，故A選項(xiàng)正確，
當(dāng)x∈（）時(shí)，f（x）＝sinx+sinx＝2sinx，f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴考慮x≥0的情況，即可求解，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+|sinx|＝ k∈Z，
∴f（x）的最大值為2，故C選項(xiàng)正確．
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴只需考慮[0，π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，
f（x）＝sinx+sinx＝2sinx，故在[0，π]上有2個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝0，x＝π，
∴f（x）在[﹣π，π]有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝0，x＝π，x＝﹣π，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)，方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2
B．實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，]
C．函數(shù)f（x）無最值
D．函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
解：函數(shù)，作出f（x）的圖象如圖所示，
由圖象可知，f（x）＝0有x＝﹣2和x＝1兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；
方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令f（x）＝a，f（x）＝b，a≠b，
則或或，
因?yàn)榉匠蘹2﹣mx﹣1＝0必有一正一負(fù)兩個(gè)根，所以，
且ab＝﹣1，所以a＝﹣≤﹣，
所以f（x）≤﹣或0＜f（x）≤2，
則，
令t＝f（x），則m＝t﹣，t∈（﹣∞，﹣]∪（0，2]，
因?yàn)楹瘮?shù)m＝t﹣在（﹣∞，﹣]和（0，2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)t＝﹣時(shí)，m＝，當(dāng)t＝2時(shí)，m＝，
所以m≤，故選項(xiàng)B正確；
f（x）無最值，故選項(xiàng)C正確；
f（x）在（0，+∞）上不單調(diào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.）
12．（5分）已知冪函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），則m﹣n＝ ﹣2 ．
解：由函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）為冪函數(shù)，
則m＝1，故y＝xn，
由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，8），
所以2n＝8，即n＝3，
故m﹣n＝1﹣3＝﹣2，
故答案為：﹣2．
13．（5分）若，則tan2α＝ ．
解：∵，
∴2（sinα+csα）＝sinα﹣csα
∴sinα＝﹣3csα
∴tanα＝﹣3
∴tan2α＝＝＝
故答案為：
14．（5分）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”．如圖，O為線段AB中點(diǎn)，C為AB上異于O的一點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線，交半圓于D，連結(jié)OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．設(shè)AC＝a，CB＝b，則圖中線段OD＝＝x，線段CD＝＝y(tǒng)，線段 ED ＝＝z；由該圖形可以得出x，y，z的大小關(guān)系為 z≤y≤x ．
解：由題意得：OD＝，CD＝，
由于CD⊥OC，CE⊥OD，
∴△OCD∽△OEC，則，故＝，
解得ED＝，
利用直角三角形的邊的關(guān)系，得OD＞CD＞DE．
當(dāng)O和C重合時(shí)，OD＝CD＝DE，
∴≤≤，即z≤y≤x．
故答案為：ED；z≤y≤x．
四、解答題（本題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
15.已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的圖象的一部分如圖所示：
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程．
解：（1）由題圖知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，
∴ω＝．
又圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），
∴2sin（+φ）＝2．
∵|φ|＜，
∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+）．
（2）令x+＝kπ+，k∈Z．
∴x＝4k+1（k∈Z）．
故f（x）圖象的對(duì)稱軸x＝4k+1（k∈Z）．
16.設(shè)全集U＝R，設(shè)函數(shù)y＝lg（ax2﹣1）的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)的值域?yàn)榧螧．
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得x2﹣1＞0，
解得x＞1或x＜﹣1，
故．
（2）由對(duì)勾函數(shù)的值域可得B＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），
又因?yàn)椋?br>所以，即當(dāng)x∈（﹣2，2）時(shí)，ax2﹣1≤0恒成立，
①當(dāng)x＝0時(shí)，﹣1≤0恒成立，符合題意，
②當(dāng)x≠0時(shí)，ax2﹣1≤0即，
因?yàn)?，所以?br>綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
17.已知角α滿足．
（1）求tanα的值；
（2）若角α是第三象限角，，求
f（α）的值．
解：（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，有，
消去sinα得，解得或，
當(dāng)角α是第一象限角時(shí)，，
因?yàn)榻铅潦堑谌笙藿牵?br>（2）由題意可得，
因?yàn)榻铅潦堑谌笙藿牵?br>所以，所以．
18.目前，“新冠肺炎”在我國得到了很好的遏制，但在世界其他一些國家還大肆流行．因防疫需要，某學(xué)校決定對(duì)教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，藥熏開始前要求學(xué)生全部離開教室．已知在藥熏過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與藥熏時(shí)間t（小時(shí)）成正比；當(dāng)藥熏過程結(jié)束，藥物即釋放完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達(dá)到最大值．此后，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）．已知從藥熏開始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關(guān)于時(shí)間t（小時(shí)）的變化曲線如圖所示．
（Ⅰ）從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量不高于0.125毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥熏開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？
解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)0≤t≤0.2時(shí)，可設(shè)y＝kt，
因?yàn)閥＝kt，過點(diǎn)（0.2，1），所以1＝0.2k，解得k＝5，
又由，解得a＝0.2，
所以；
（Ⅱ）令，即，
則5t﹣1≥3，解得t≥0.8，
即至少需要經(jīng)過0.8小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．
19.在大力推進(jìn)城鎮(zhèn)化的舊房改造進(jìn)程中，曉穎家舊房拆遷拿到一套新房外加一間店面．曉穎準(zhǔn)備將店面改建成超市，遇到如下問題：如圖所示，一條直角走廊寬為2米，現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板車希望能自如在直角走廊運(yùn)行．平板車平板面為矩形ABEF，它的寬為1米．直線EF分別交直線AC，BC于M，N，過墻角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)知識(shí)幫曉穎解決如下問題：
（1）若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且，試將平板面的長AB表示為θ的函數(shù)f（θ）；
（2）證明：當(dāng)0＜θ＜時(shí)，1＜sinθ+csθ≤；
（3）若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？
解：（1）由圖可知，|MF|＝，|NE|＝tanθ，|MD|＝，|ND|＝，
|AB|＝|EF|＝|MD|+|ND|﹣|MF|﹣|NE|＝
＝＝，θ∈（0，）；
即f（θ）＝，θ∈（0，）；
證明：（2）∵0＜θ＜，∴sinθ＞0，csθ＞0，
∴sinθ+csθ＝＝＞1，
又（sinθ﹣csθ）2≥0，即sin2θ≤sin2θ+cs2θ≤1，
∴sinθ+csθ＝＝．
∴1＜sinθ+csθ≤；
解：（3）平板車要想順利通過直角走廊，則平板車長度≤f（θ）min，
由f（θ）＝，θ∈（0，），令sinθ+csθ＝t，則t∈（1，]．
sinθcsθ＝，
∴原函數(shù)化為g（t）＝（1＜t≤），
即4t﹣2＝m，2＜m＝4t﹣2≤，則t＝，
函數(shù)化為h（m）＝，
在（2，]上單調(diào)遞減，則當(dāng)m＝﹣2時(shí)，h（m）取得最小值為．

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