福建省廈門外國語學(xué)校瑞景分校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考模擬試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（4分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）
A．y＝5x2B．y＝22﹣2x
C．y＝（x+2）2﹣x2D．
2．（4分）對于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判別式b2﹣4ac中的b表示的數(shù)是（）
A．2B．3C．﹣3D．1
3．（4分）二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．（﹣1，0）B．（，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
4．（4分）下列函數(shù)中，y隨x增大而增大的是（）
A．B．y＝﹣x+5
C．D．
5．（4分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在線段BC、DC上線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合．若∠BAE＝40°，則旋轉(zhuǎn)的角度是（）
A．10°B．15°C．40°D．50°
6．（4分）二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+1的圖象向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，所得到的函數(shù)關(guān)系式是（）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
7．（4分）新紀(jì)元學(xué)校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等（如圖所示），若設(shè)彩紙的寬度為xcm，根據(jù)題意可列方程（）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
8．（4分）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交兩點(diǎn)，則二次函數(shù)y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的圖象可能為（）
A．B．
C．D．
9．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論正確的是（）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若點(diǎn)（﹣7，y1），點(diǎn)（7，y2）在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0），下列結(jié)論正確的是（）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11．（4分）計(jì)算：＝．
12．（4分）拋物線y＝﹣（x﹣2）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
13．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣kx﹣3的圖象過點(diǎn)（1，﹣4），則k的值為．
14．（4分）如圖，拋物線L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長度得拋物線L2，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為．
15．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a﹣b2＝4，則代數(shù)式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是．
16．（4分）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是．
三．解答題（共9小題，滿分86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．
18．（8分）（1）解不等式組；
（2）解方程：．
19．（8分）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
20．（8分）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（2，5），C（0，﹣3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）直接寫出當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，y的取值范圍．
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值
22．（10分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．
（1）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）連接CE，若∠ACB＝120°，請判斷直線BC是否經(jīng)過點(diǎn)E，并說明理由．
23．（10分）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
（1）該店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
（3）成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤為90元？
24．（12分）【定義與性質(zhì)】
如圖，記二次函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的圖象分別為拋物線C和C1．
定義：若拋物線C1的頂點(diǎn)Q（p，q）在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線．
性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；
②若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)P（b，c）在C1上．
【理解與運(yùn)用】
（1）若二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的圖象都是拋物線y＝x2的伴隨拋物線，則m＝，n＝．
【思考與探究】
（2）設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2kx+4k+5的圖象為拋物線C2．
①若函數(shù)y＝﹣x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），請直接寫出x1的取值范圍．
25．（14分）綜合與實(shí)踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)校花園的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案．
方案設(shè)計(jì)：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米．欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點(diǎn)F（不與C，P重合），過點(diǎn)F作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長；
（3）種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形．她嘗試借助圖2設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長的最大值．
福建省廈門外國語學(xué)校瑞景分校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)第一次月考模擬試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）
1．（4分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）
A．y＝5x2B．y＝22﹣2x
C．y＝（x+2）2﹣x2D．
【解答】解：A、y＝5x2，是二次函數(shù)，故A符合題意；
B、y＝22﹣2x＝4﹣2x，是一次函數(shù)，故B不符合題意；
C、y＝（x+2）2﹣x2＝x2+4x+4﹣x2＝4x+4不是二次函數(shù)，故C不符合題意；
D、y＝，不是二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：A．
2．（4分）對于一元二次方程2x2﹣3x+1＝0，根的判別式b2﹣4ac中的b表示的數(shù)是（）
A．2B．3C．﹣3D．1
【解答】解：根據(jù)題意得b＝﹣3．
故選：C．
3．（4分）二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A．（﹣1，0）B．（，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
所以二次函數(shù)y＝2x2﹣x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．
故選：D．
4．（4分）下列函數(shù)中，y隨x增大而增大的是（）
A．B．y＝﹣x+5
C．D．
【解答】解：由題意，∵對于y＝kx+b，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x增大而減小，
∴B不符合題意，C符合題意．
選項(xiàng)Ay＝﹣是反比例函數(shù)，x取值范圍分兩個(gè)區(qū)間，故不符合題意；
對于D選項(xiàng)，y＝x2，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而減小，
∴D不符合題意．
故選：C．
5．（4分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在線段BC、DC上線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合．若∠BAE＝40°，則旋轉(zhuǎn)的角度是（）
A．10°B．15°C．40°D．50°
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與線段AF重合，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAF＝∠BAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠DAF＝40°，
∴∠EAF＝90°﹣∠BAE﹣∠DAF＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
∴旋轉(zhuǎn)角為10°．
故選：A．
6．（4分）二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+1的圖象向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，所得到的函數(shù)關(guān)系式是（）
A．y＝3（x+1）2﹣2B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【解答】解：二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+1的圖象向下平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，所得到的函數(shù)關(guān)系式是：y＝3（x﹣1+2）2+1﹣3，即y＝3（x+1）2﹣2．
故選：A．
7．（4分）新紀(jì)元學(xué)校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，在長為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等（如圖所示），若設(shè)彩紙的寬度為xcm，根據(jù)題意可列方程（）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+x）（20+x）＝1200
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
【解答】解：設(shè)彩紙的寬度為xcm，
則由題意列出方程為：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20．
故選：D．
8．（4分）如圖，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交兩點(diǎn)，則二次函數(shù)y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的圖象可能為（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y2＝kx+m（k≠0）的圖象相交兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1和2，
∴可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的兩根為﹣1和2．
∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（2，0）．
∴拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＝＝．
∴b﹣k＝﹣a．
又∵a＞0，
∴b﹣k＝﹣a＜0．
∴k﹣b＞0．
∴﹣＜0．
∴二次函數(shù)y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的圖象開口向上，對稱軸在y軸的左邊，故只有A選項(xiàng)符合題意．
故選：A．
9．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對應(yīng)值如下表：
下列結(jié)論正確的是（）
①ab＞0
②a+b+c＜0
③若點(diǎn)（﹣7，y1），點(diǎn)（7，y2）在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2
④方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：由表格可知，
該二次函數(shù)有最大值，開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，故①正確；
由表格可知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＝﹣3＜0，故②正確；
∵點(diǎn)（﹣7，y1）到對稱軸x＝﹣1的距離小于點(diǎn)（7，y2）到對稱軸的距離，
∴y1＞y2，故③錯(cuò)誤，
∵圖象經(jīng)過（﹣3，﹣3）和（1，﹣3）兩個(gè)點(diǎn)，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確，
故選：B．
10．（4分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0），下列結(jié)論正確的是（）
A．m+n＝1B．m﹣n＝1C．m＝1D．＝1
【解答】解：分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足分別為M和N，
將A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，﹣m2+4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（n，﹣n2+4），
所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以AD＝CD，∠ADC＝90°，
所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，
所以∠CDN＝∠DAM．
在△CDN和△DAM中，
，
所以△CDN≌△DAM（AAS），
所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，
所以MN＝DM+DN＝m+n，
又因?yàn)镸N＝NO﹣MO＝m2﹣n2，
所以m2﹣n2＝m+n，
即（m+n）（m﹣n）＝m+n，
因?yàn)閙＞n＞0，
所以m+n≠0，
所以m﹣n＝1．
故選：B．
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11．（4分）計(jì)算：＝ ﹣4 ．
【解答】解：原式＝4﹣9+1
＝﹣4．
故答案為：﹣4．
12．（4分）拋物線y＝﹣（x﹣2）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x﹣2）2+5，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），
故答案為：（2，5）．
13．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣kx﹣3的圖象過點(diǎn)（1，﹣4），則k的值為 2 ．
【解答】解：把（1，﹣4）代入y＝x2﹣kx﹣3得1﹣k﹣3＝﹣4，
解得k＝2．
故答案為2．
14．（4分）如圖，拋物線L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長度得拋物線L2，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為 8 ．
【解答】解：過拋物線L2的頂點(diǎn)D作CD∥x軸，與y軸交于點(diǎn)C，如圖所示，
∵∠COD＝∠QAD＝∠DCO＝90°，
∴四邊形OCDA是矩形，
∵拋物線L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），
∴OB＝4，OA＝2，
將拋物線L1向下平移兩個(gè)單位長度得拋物線L2，
∴AD＝OC＝4，
根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對稱性得到陰影部分的面積等于矩形OCDA的面積，
∴S陰影部分＝S矩形OCDA＝OA?AD＝2×4＝8．
故答案為：8．
15．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a﹣b2＝4，則代數(shù)式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 5 ．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴a2﹣3b2+a﹣15
＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣15
＝a2﹣2a﹣3
＝（a﹣1）2﹣4，
∵a＝b2+4，
∴a≥4，
∴當(dāng)a＝4時(shí)，
∴a2﹣3b2+a﹣15的最小值是（4﹣1）2﹣4＝5．
故答案為：5．
16．（4分）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），則a的取值范圍是＜a＜﹣2 ．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
設(shè)f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如圖，
∵實(shí)數(shù)根都在﹣1和0之間，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案為：＜a＜﹣2．
三．解答題（共9小題，滿分86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x+1）（x﹣3）＝﹣4．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴Δ＝4﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴x＝＝1±；
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）整理得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
則x﹣1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝1．
18．（8分）（1）解不等式組；
（2）解方程：．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＞﹣4，
∴原不等式組的解集為：﹣4＜x≤﹣1；
（2），
2（1﹣x）＝x﹣2（x﹣2），
解得：x＝﹣2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，2（x﹣2）≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根．
19．（8分）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝，
當(dāng)a＝+1時(shí)，原式＝＝．
20．（8分）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（2，5），C（0，﹣3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）直接寫出當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，y的取值范圍．
【解答】解：（1）將A（2，5），C（0，﹣3）代入二次函數(shù)解析式得：，
解得：，
則二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
則該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣3，0）；
（3）作出函數(shù)圖象，如圖所示：
根據(jù)圖象得：當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，y的取值范圍為﹣4≤y≤0．
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值
【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m），
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m，
＝1＞0，
∴無論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，
∴x1+x2＝2m+1，，
∴2x1x2+x1+x2＝﹣1，
2（m2+m）+2m+1＝﹣1，
2m2+2m+2m+1＝﹣1，
2m2+4m+2＝0，
（m+1）2＝0，
m＝﹣1．
22．（10分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．
（1）作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）連接CE，若∠ACB＝120°，請判斷直線BC是否經(jīng)過點(diǎn)E，并說明理由．
【解答】解：（1）如圖，先分別以點(diǎn)A，C為圓心，線段AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E，再以點(diǎn)E為圓心，線段BC的長為半徑畫弧，以點(diǎn)A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AE，DE，AD，
則△ADE即為所求．
（2）直線BC經(jīng)過點(diǎn)E．
理由：由旋轉(zhuǎn)可得，∠EAC＝60°，AE＝AC，
∴△ACE為等邊三角形，
∴∠ACE＝60°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝180°，
∴點(diǎn)B，C，E在一條直線上，
∴直線BC經(jīng)過點(diǎn)E．
23．（10分）2022成都世乒賽期間，某店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
（1）該店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共50件，求兩款紀(jì)念品分別購進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購進(jìn)的紀(jì)念品售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念品共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于3200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
（3）成都世乒賽臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款紀(jì)念品調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤為90元？
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)A款紀(jì)念品x件，B款紀(jì)念品y件，
依題意得：，
解得：，
答：購進(jìn)A款紀(jì)念品20件，B款紀(jì)念品30件；
（2）設(shè)購進(jìn)m件A款紀(jì)念品，
則購進(jìn)（200﹣m）件B款紀(jì)念品，
依題意得：20m+15（200﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
設(shè)再次購進(jìn)的A、B兩款紀(jì)念品全部售出后獲得的總利潤為w元，
則w＝（35﹣20）m+（27﹣15）（200﹣m）＝3m+2400，
∵3＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝40時(shí)，w取得最大值，最大值＝3×40+2400＝2520，
此時(shí)200﹣m＝160．
答：當(dāng)購進(jìn)40件A款紀(jì)念品，160件B款紀(jì)念品時(shí)，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是2520元；
（3）設(shè)B款紀(jì)念品的售價(jià)定為a元，
則每件的銷售利潤為（a﹣15）元，平均每天可售出4+2（27﹣a）＝（58﹣2a）件，
依題意得：（a﹣15）（58﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣44a+480＝0，
解得：a1＝20，a2＝24．
答：將銷售價(jià)定為每件20元或24元時(shí)，才能使B款紀(jì)念品平均每天銷售利潤為90元．
24．（12分）【定義與性質(zhì)】
如圖，記二次函數(shù)y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的圖象分別為拋物線C和C1．
定義：若拋物線C1的頂點(diǎn)Q（p，q）在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線．
性質(zhì)：①一條拋物線有無數(shù)條伴隨拋物線；
②若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)P（b，c）在C1上．
【理解與運(yùn)用】
（1）若二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的圖象都是拋物線y＝x2的伴隨拋物線，則m＝ 2 ，n＝ ±1 ．
【思考與探究】
（2）設(shè)函數(shù)y＝x2﹣2kx+4k+5的圖象為拋物線C2．
①若函數(shù)y＝﹣x2+dx+e的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），請直接寫出x1的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意，∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+m和y＝﹣（x﹣n）2+的圖象都是拋物線y＝x2的伴隨拋物線，
∴×22＝m，×n2＝，
∴m＝2，n＝±1，
故答案為：2；±1；
（2）①由題意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴拋物線C2的頂點(diǎn)為（k，﹣k2+4k+5），
又C2始終是C0的伴隨拋物線，
∴可令k＝0，頂點(diǎn)為（0，5）；k＝1，頂點(diǎn)為（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1，0），（x2，0），
由①得：函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象為拋物線C0，且C2始終是C0的伴隨拋物線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9圖象上滑動(dòng)，頂點(diǎn)為（2，9），
當(dāng)﹣x2+4x+5＝0時(shí)，解得：x＝﹣1或x＝5，
拋物線與x軸交于（﹣1，0）（5，0）兩個(gè)點(diǎn)，
當(dāng)頂點(diǎn)在（﹣1，0）下方時(shí)，拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴隨拋物線，則C也是C1的伴隨拋物線，即C的頂點(diǎn)P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
當(dāng)頂點(diǎn)在（5，0）下方時(shí)，2＜x1＜5；
綜上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
25．（14分）綜合與實(shí)踐
問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案．
方案設(shè)計(jì)：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米．欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：
第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；
第二步：在線段CP上取點(diǎn)F（不與C，P重合），過點(diǎn)F作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，E．用籬笆沿DE，CF將線段AC，BC與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季．
方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長．為此，欣欣在圖2中以AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．請按照她的方法解決問題：
（1）在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長；
（3）種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形．她嘗試借助圖2設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC，BC上．直接寫出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長的最大值．
【解答】解：（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
∵OP所在直線是AB的垂直平分線，且AB＝6，
∴．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵OP＝9，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，9），
∵點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+9，
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）點(diǎn)D，E在拋物線y＝﹣x2+9 上，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y軸于點(diǎn)F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根據(jù)題息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合題意，舍去），
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的長為4米，CF的長為2米；
（3）如圖矩形燈帶為GHML，
由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，直線AC和BC的表達(dá)式分別為：y＝x+3，y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3），
則矩形周長＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2+≤，
故矩形周長的最大值為米．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
類別價(jià)格
A款紀(jì)念品
B款紀(jì)念品
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
20
15
銷售價(jià)（元/件）
35
27
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
類別價(jià)格
A款紀(jì)念品
B款紀(jì)念品
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
20
15
銷售價(jià)（元/件）
35
27

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多