福建省廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校瑞景分校2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．全卷三大題，25小題，試卷共4頁(yè)，另有答題卡．
2．答案一律寫(xiě)在答題卡上，否則不能得分．
3．答題卷使用0.5mm黑色水筆作答，作圖題使用2B鉛筆或0.5mm黑色水筆作答．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）
1. 下列二次根式中，化簡(jiǎn)后能與進(jìn)行合并的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了同類(lèi)二次根式的定義．根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義，二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，可得答案．
【詳解】解：A、不能與進(jìn)行合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、不能與進(jìn)行合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，能與進(jìn)行合并，故本選項(xiàng)符合題意；
D、，不能與進(jìn)行合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2. 若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】A
【解析】
【詳解】解：由題意得．
解得x≥3，
故選：A．
3. 下列各命題的逆命題不成立的是（）
A. 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等B. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C. 等邊三角形三邊相等D. 兩直線平行，同位角相等
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查命題與定理．先分別寫(xiě)出四個(gè)命題的逆命題，根據(jù)三角形全等的判定、絕對(duì)值、平行線的判定定理進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題為：對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形全等，此逆命題不成立，所以本選項(xiàng)符合題意；
B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形的逆命題為：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以此逆命題成立，所以本選項(xiàng)不符合題意；
C、等邊三角形三邊相等的逆命題為：三邊相等的三角形是等邊三角形，此逆命題成立，所以本選項(xiàng)不符合題意；
D、兩直線平行，同位角相等的逆命題為：同位角相等，兩直線平行，此逆命題成立，所以本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
4. 已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，k的值是（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了求正比例函數(shù)解析式．把代入，即可求解．
【詳解】解：把代入，得：
，
故選：D．
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不可能的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類(lèi)，計(jì)算選擇即可．
【詳解】解：平行四邊形的頂點(diǎn)，，，
設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得：
當(dāng)、是對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故，
解得，
故第四個(gè)頂點(diǎn)為；
當(dāng)、是對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故，
解得，
故第四個(gè)頂點(diǎn)為；
當(dāng)、是對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故，
解得，
故第四個(gè)頂點(diǎn)為；
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
6. 如圖，中，，，，若點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（）
A. B. 5C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了直角三角形的斜邊中線定理及勾股定理．根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形的斜邊中線定理即可求出．
【詳解】解：由勾股定理得：，
在中，，是中點(diǎn)，
∴，
故選：B．
7. 如圖，在中，是的中線，E、F分別是、的中點(diǎn)，連接，已知，則的長(zhǎng)為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了中線和中位線的性質(zhì)，掌握中線和中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)中線的性質(zhì)可得，再由中位線的性質(zhì)求解即可
【詳解】是的中線，，
E、F分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
故選：．
8. 如圖，有一個(gè)球形容器，小海在往容器里注水的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個(gè)變量．下列有四種說(shuō)法：①S是V的函數(shù)；②V是S的函數(shù)；③h是S的函數(shù)；④S是h的函數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的概念求解即可．
【詳解】①：由題意可知，對(duì)于注水量的每一個(gè)數(shù)值，水面的面積S都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，所以V是自變量，S是因變量，所以S是V的函數(shù)，符合題意；
②：由題意可知，對(duì)于水面的面積S的每一個(gè)數(shù)值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函數(shù)，不符合題意；
③：由題意可知，對(duì)于水面的面積S的每一個(gè)數(shù)值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函數(shù)，不符合題意；
④：由題意可知，對(duì)于水面的高度h的每一個(gè)數(shù)值，水面的面積S都有唯一值與之對(duì)應(yīng)，h是自變量，S是因變量，所以S是h的函數(shù)，符合題意；
所以正確的的序號(hào)有①④，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)的概念．
9. 如圖，兩個(gè)全等的矩形，矩形如圖所示放置. 所在直線與分別交于點(diǎn).若.則線段的長(zhǎng)度是（）

A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】作于.則四邊形是矩形．先證明，再證明AH=MH=CH．設(shè)CH=AH=x，利用勾股定理列方程，再求解即可．
【詳解】解：作于.則四邊形是矩形，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，設(shè)，
在中，，解得，
∴，
故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線、構(gòu)建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，四邊形中，，，的長(zhǎng)度可變化，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，若，，且F是的中點(diǎn)，則的最小值為（）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，連接，．通過(guò)，，及四邊形平行四邊形得出，，將已知條件聚集在中，利用三角形三邊關(guān)系求出最值．
【詳解】
解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，連接，．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.，
∴的最小值為6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變化求最值，其中涉及平行線的性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確利用軸對(duì)稱變換是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 計(jì)算：（1）______；（2）______．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的乘法，熟記二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可．
（2）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）；
（2），
故答案為：（1）；（2）3
12. 直線上有兩點(diǎn)，，則______（填“”、“”、“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，熟練地掌握當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵，，
∴y隨x的增大而減小，
∵，
∴
故答案為：．
13. 如圖，若，則數(shù)軸上表示n的點(diǎn)在線段______上（填“”、“”、“”、“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算無(wú)理數(shù)的大小：利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根對(duì)無(wú)理數(shù)的大小進(jìn)行估算．由得到，則，然后判斷數(shù)的位置．
【詳解】解：，
，
，
點(diǎn)在線段上．
故答案為．
14. 一直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為1和2，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】或##2或
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的知識(shí)．注意2可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論．
【詳解】解：當(dāng)1和2都是兩條直角邊時(shí)，
斜邊；
當(dāng)1是直角邊，2是斜邊時(shí)，
斜邊為．
故答案為：或2．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)間的距離公式為，例如點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離為．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一半圓圖象在x軸上方，其圓心為原點(diǎn)O，半徑為2．若點(diǎn)在該半圓上，則P與圓心O的距離為．
①寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：______；
②寫(xiě)出該半圓和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)：______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)．①由，整理得到；②解方程，即可求解．
【詳解】解：①∵，
∴，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；
故答案為：；
②根據(jù)題意得，
解得，
，
∴該半圓和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
16. 如圖，正方形中，E為上一點(diǎn)，過(guò)B作于G，延長(zhǎng)至點(diǎn)F使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接、，若C為中點(diǎn)，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．作，，，證、，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求解．
【詳解】解：作，，，如圖：
，
，
，
，
，
，
，
∵，∴，
，
，
∵C為中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題（本大題共9小題，共86分）
17. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類(lèi)二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
（1）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差公式計(jì)算，然后合并即可．
【小問(wèn)1詳解】
原式，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
原式，
，
18. 如圖，是的邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，若，求的長(zhǎng)．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由平行線的性質(zhì)得出，由證明，得出，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：是的邊的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值．首先將分式的分子與分母進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行分式的約分，再合并可求得分式的化簡(jiǎn)結(jié)果，最后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
20. 如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在線段上．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接和，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4時(shí)，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合：
（1）根據(jù)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；
（2）先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可得的邊上的高，再利用三角形的面積公式求解即可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．
【小問(wèn)2詳解】
解：是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
，
，
∴的面積為．
21. 如圖，有一四邊形紙片，，測(cè)得，，，，求這張紙片的面積．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，熟記定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理逆定理證得，由于四邊形紙片的面積，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．
【詳解】解：連接，如圖．
在中，，，，
．
，
，
四邊形紙片的面積
．
所以這張紙片的面積為．
22. 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)．
（1）用尺規(guī)在邊上作出一點(diǎn)，使平分；（保留作圖痕跡）
（2）若，為邊上一點(diǎn)，且，連結(jié)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）圖形見(jiàn)詳解；（2）EP=．
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于E，連結(jié)AE，BE，則BE平分∠AEC；
（2）由，∠D=90°，AE=AB=2，可得DE= ，由EC=CD-DE=2-1=1，可得，BC=BP+PC=3PC=，可求PC=，在Rt△CEP中，由勾股定理EP=．
【詳解】（1）以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于E，連結(jié)AE，BE，則BE平分∠AEC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD∥AB，
∴∠CEB=∠ABE，
又∵作法，AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠AEB=∠CEB，
∴BE平分∠AEC，
（2）∵，∠D=90°，AE=AB=2，
∴DE=，
∴EC=CD-DE=2-1=1，
∵，BC=BP+PC=3PC=，
∴PC=，
在Rt△CEP中，
EP=．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理，掌握角平分線的定義，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．
23. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．
（1）由圖2正方形面積的等量關(guān)系可列式：______，化簡(jiǎn)得直角三角形中的勾股定理，該定理的結(jié)論用字母表示：______；
（2）用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，，記，，，求證（1）中的定理結(jié)論．
【答案】（1），
（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；
（2）由四邊形的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵大正方形的面積，大正方形的面積也可以表示為，
∴，
∴，
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖：連接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
∴，
∴．
24. 定義：對(duì)角線垂直的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”．如圖1，四邊形中，，則四邊形是“準(zhǔn)箏形”．
（1）“一組鄰邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是______命題；（填“真”或“假”）
（2）如圖1，在準(zhǔn)箏形中，，，，且滿足，，求的長(zhǎng)．
（3）如圖2，在準(zhǔn)箏形中，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在線段上，且，，在上存在移動(dòng)的線段，E在F的左側(cè)，且，使四邊形的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)的長(zhǎng)度．
【答案】（1）假（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由菱形判定“一組鄰邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是假命題；
（2）由勾股定理可得，將，，代入，可求的長(zhǎng)；
（3）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，且，連接，可得四邊形周長(zhǎng)，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，即四邊形周長(zhǎng)有最小值，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作于，求出解析式，可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：“一組鄰邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是假命題，
證明：不妨設(shè)，
∵四邊形是“準(zhǔn)箏形”，
∴，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
但不能說(shuō)明和相等，就不能說(shuō)明四邊形是菱形，
∴“一組鄰邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是假命題．
故答案為：假；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，
∵，，且，，，
∴，，，
解得，，，即，，，
四邊形是準(zhǔn)箏形，
，
，，，，
，
，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：四邊形是準(zhǔn)箏形，
，
，
，且，，
∴，，
∴，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作，且，連接，
，，四邊形是平行四邊形，
，
四邊形周長(zhǎng)，
點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，即四邊形周長(zhǎng)有最小值，
如圖3，以點(diǎn)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作于，
，，
，
，，
，，
，
點(diǎn)，
，，
點(diǎn)，
直線解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的應(yīng)用，利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
25. 如圖1、2所示，矩形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，已知，．
（1）如圖1，求、的長(zhǎng)度和矩形的面積；
（2）如圖2，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作正方形．
①若點(diǎn)G到直線的距離為，試判斷和的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
②在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度．
【答案】（1），，矩形的面積；
（2）①，理由見(jiàn)解析；②點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，即可求解；
（2）①作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，推出，由，求得是等邊三角形，據(jù)此即可證明；
②由，推出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度就是的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵矩形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，
∴，，，在，，
∴，，
∴矩形的面積；
【小問(wèn)2詳解】
解：①，理由如下，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，
∵矩形和正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)G到直線距離為，
∴，
∴，
取的中點(diǎn)，連接，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度就是的長(zhǎng)，即．
答：點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度是．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

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