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一、單選題
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡集合，根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得答案.
因為，所以.
故選：D.
2. 下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）
A. 所有正方形都是菱形
B. ，使
C. 至少有一個實數(shù)，使
D. ，使
【答案】C
【解析】
【分析】先判斷量詞，再判斷量詞命題的真假即可得解.
A，所有正方形都是菱形為全稱量詞命題，故A錯誤；
B，，使為存在量詞命題，
而恒成立，該命題假命題，故B錯誤；
C，至少有一個實數(shù)，使為存在量詞命題，
當時，方程成立，該命題為真命題，故C正確；
D，，使為存在量詞命題，
而恒成立，該命題為假命題，故D錯誤；
故選：C.
3. 已知全集，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，，再求，
因為，且，
所以，
因為，，所以，
所以．
故選：B．
4. 已知，使成立的一個充分不必要條件是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.
對于A，，A不是；
對于B，當時，由，得，B不是；
對于C，，可能有，如，C不是；
對于D，由，得，則；若，則，D是.
故選：D
5. 若，則的取值集合為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合元素與集合的關(guān)系計算即可得.
當時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當時，則，符合題意，
當時，有或，已知當時符合題意，
當時，則，符合題意，
故的取值集合為.
故選：C.
6. 命題“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.
命題“”的否定是“”.
故選：B.
7. 已知實數(shù)且，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由等式得到關(guān)于的表達式，再由條件得到，進而分析各不等式得到的取值范圍，從而得解.
由，得，
因為且，所以，
所以由，得，所以，
由，得，所以，
由，得，
綜上，，即.
故選：B.
8. 為了加強家校聯(lián)系，王老師組建了一個由學生?家長和教師組成的QQ群.已知該群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為（）
A. 20B. 22C. 26D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)教師人數(shù)為x，家長人數(shù)為，女學生人數(shù)為，男學生人數(shù)為，由題意得到
，再由教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)得到x的范圍求解.
設(shè)教師人數(shù)x，家長人數(shù)為y，女學生人數(shù)為z，
男學生人數(shù)為t，x、y、z、t∈Z，
則，，
則，
又教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)，，解得，
當時，，此時總?cè)藬?shù)最少為22.
故選: B.
二、多選題
9. 若集合，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)子集的概念，結(jié)合交集、并集的知識，對選項逐一分析，由此得出正確選項．
由于，即是的子集，故，，A錯誤，B正確；
從而，，C正確，D錯誤.
故選：BC．
10. 若正實數(shù)滿足，則下列說法正確是（）
A. 有最大值為B. 有最小值為
C. 有最小值為D. 有最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的條件即可求解D.
對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，
對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，
對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，
對于D：因為，
當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，
故選：ABC．
11. 設(shè)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用數(shù)的特征及元素與集合的關(guān)系計算即可.
設(shè)，
而，即A錯誤，C正確；
，即B正確；
，即D正確.
故選：BCD.
三、填空題
12. 若集合，，，則如圖中的陰影部分表示的集合為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定的韋恩圖，利用補集、交集定義求解即得.
由集合，，得，而，
所以圖中的陰影部分表示的集合.
故答案為：
13. 已知關(guān)于不等式的解集是或，則不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得、為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達定理，即可得到，，再代入目標不等式，解得即可.
因為關(guān)于的不等式的解集是或，
所以、為關(guān)于的方程的兩根且，
所以，則，，
所以不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集是.
故答案為：
14. 已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值，解不等式求出實數(shù)的取值范圍.
因為，，所以，，所以，.
要使恒成立，只需恒成立.
因為，所以，
所以
.
當且僅當，即時取等號.
所以，解得：.
即實數(shù)的取值范圍是.
四、解答題
15. 求下列不等式的解集：
（1）．
（2）；
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）化為一元二次不等式即可求解；（2）根據(jù)分式不等式的性質(zhì)，化為同解不等式即可求解.
【小問1】
原不等式可化為，
即，
解得或，
所以，原不等式解集為或
【小問2】
原不等式等價為
解得，
原不等式的解集為
16. 已知全集，集合，
（1）若，求
（2）若“”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】當時，可得，則或x>7}，然后求交集即可；
由充分不必要條件與集合的包含關(guān)系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即?，然后考慮和兩種情況分別求解即可．
【小問1】
當時，，或x>7}，
因為，所以；
【小問2】
若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即?，
當時，，此時，滿足?，
當時，則，解得：，且和不能同時成立，
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為
17. 已知函數(shù).
（1）若，且，求的最小值：
（2）若，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）9（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由條件得，利用1的代換結(jié)合基本不等式求解最值；
（2）根據(jù)的范圍分類討論求解不等式的解集.
【小問1】
∵，即，且，
∴
當且僅當即時，等號成立，
所以的最小值為9.
【小問2】
若，則由，得，即，
當時，，解得，
當時，，
當，即時，解得，
當，即時，解得，
當，即時，解得，
當時，解得或.
綜上：時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為或.
18. 解答下列各題.
（1）若，求的最小值.
（2）若正數(shù)滿足，
①求的最小值.
②求的最小值.
【答案】（1）7；（2）①36；②.
【解析】
【分析】（1）將變形為，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式結(jié)合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案.
【小問1】
由題.
當且僅當，即時取等號；
【小問2】
①由結(jié)合基本不等式可得：
，又為正數(shù)，
則，當且僅當，即時取等號；
②由可得，
則.
當且僅當，又，
即時取等號.
19. 小明今年年初用16萬元購進一輛汽車，每天下午跑滴滴出租車，經(jīng)估算，每年可有16萬元的總收入，已知使用x年（）所需的各種費用（維修、保險、耗油等）總計為萬元（今年為第一年）.
（1）該出租車第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？
（2）該車若干年后有兩種處理方案：
①當盈利總額達到最大值時，以1萬元價格賣出；
②當年平均盈利達到最大值時，以10萬元賣出.
試問哪一種方案較為合算？請說明理由.
參考數(shù)據(jù)：，，.
【答案】（1）第二年（2）方案二，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可知扣除支出后的純收入，,令，可解；
（2）方案①，所以7年時間共盈利34萬
方案②年平均盈利，所以4年時間共盈利萬，兩個方案盈利總數(shù)一樣，但是方案二時間短，比較合算.
【小問1】
由題意可知扣除支出后的純收入，
令，解得：
又
且
即從第二年開始盈利
【小問2】
，
①
所以當時，盈利總額達到最大值33
所以7年時間共盈利34萬；
②年平均盈利，
當且僅當即時，等號成立，
所以4年時間共盈利萬,
兩個方案盈利總數(shù)一樣，但是方案二時間短，比較合算.

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