【考點(diǎn)突破】
一、集合的綜合運(yùn)算
1．已知集合，，若，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.
【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，
故選：A
2．已知，若，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得.
【詳解】由于，所以，
此時(shí)，滿足.
故選：C
3．已知集合且，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】D
【分析】先求出集合中元素的個(gè)數(shù)，再利用含有個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榍?，可知，集合中含?個(gè)元素，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.
故選：D.
4．已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)交集概念進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)并集概念進(jìn)行計(jì)算；
（3）先求出，，進(jìn)而求出答案.
【詳解】（1）；
（2）.
（3），
故，，.
5．已知全集，或，.
(1)當(dāng)時(shí)，求，，；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)，或，
(2)或
【分析】（1）代入，再根據(jù)交，并，補(bǔ)的定義求解即可；
（2）由得到，根據(jù)集合的關(guān)系可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，
，又，
，或，；
（2）若，則，
或，
或.
6．已知，，全集
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)交集與補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可；
（2）分與由條件列不等式求范圍即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以或，又，
所以.
（2）由題可得：當(dāng)時(shí)，有，解得a的取值范圍為；
當(dāng)時(shí)有，解得a的取值范圍為，
綜上所述a的取值范圍為.
二、充分條件、必要條件與充要條件
1．已知，為非零實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】由，即成立，故充分性成立；
取，，則成立，但不成立，故必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先求解不等式和，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由得，
由，得，即，
；反之，不成立.
“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
3．“”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由充分不必要條件的定義求解即可
【詳解】對(duì)于A：令，則，不能推出，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B：令，則，不能推出，B錯(cuò)誤.
對(duì)于C：由，得，則，
反之令，則，但不成立，C正確.
對(duì)于D：由，得，令，不能推出，D錯(cuò)誤.
故選：C
4．已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得命題p、q中x的范圍，根據(jù)p是q的充分不必要條件，即可得答案.
【詳解】命題p：因?yàn)?，所以，解得?br>命題q：，
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以.
故選：C
5．已知：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，：．
(1)若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由命題是真命題，可得命題是假命題，再借助，求出的取值范圍作答.
（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)槊}是真命題，則命題是假命題，即關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，命題是真命題，即，
因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，則?，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
6．設(shè)集合，命題，命題
(1)若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)是的充要條件轉(zhuǎn)化為求解即可；
（2）根據(jù)是的充分不必要條件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）由條件， 是的充要條件，
得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由是的充分不必要條件，得真包含于，
所以，或，解得，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
三、全稱量詞命題與存在量詞命題
1．命題“，．”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱存在量詞命題，
所以命題“，．”的否定是“，”.
故選：B
2．命題p：，，則為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】對(duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.
【詳解】因?yàn)閷?duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，
所以命題p：，的否定為：，.
故選：D
3．已知集合，.
(1)若“命題：，”是真命題，求的取值范圍.
(2)“命題：，”是假命題，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由命題是真命題得，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可；
（2）由命題是假命題得，再分和兩種情況討論，從而可得答案.
【詳解】（1）解：因?yàn)槊}是真命題，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，則，解得，
綜上m的取值范圍為；
（2）解：因?yàn)椤懊}：，”是假命題，所以，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，則或，解得，
綜上的取值范圍為.
4．已知，命題，；命題，使得.
(1)若p是真命題，求a的最大值；
(2)若p，q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，求a的取值范圍；
【答案】(1)1；(2).
【分析】（1）先求出的范圍，利用全稱命題為真命題即可求得；（2）先求出命題q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而分類討論：i.p真q假時(shí)和ii. p假q真時(shí)分別求出對(duì)應(yīng)a的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）記，由在單調(diào)遞增，所以.
要使命題，為真命題，只需，即a的最大值為1.
（2）命題，使得為真命題，則，解得：或.
i.p真q假時(shí)，只需，所以；
ii. p假q真時(shí)，只需或，所以；
所以或.
綜上所述：a的取值范圍為.
【隨堂演練】
1．有下列四個(gè)命題：①；②③若，則；④集合有兩個(gè)元素；⑤集合是有限集.；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)空集的概念和性質(zhì)得到①正確，根據(jù)元素和集合的關(guān)系得到②正確；舉出反例得到③錯(cuò)誤；求出，得到④錯(cuò)誤；求出，判斷⑤正確.
【詳解】①因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以，①正確；
②是的一個(gè)元素，故，②正確；
③若，滿足，，故③錯(cuò)誤；
④，集合有1個(gè)元素，故④錯(cuò)誤；
⑤集合，故是有限集，⑤正確.
故選：C
2．設(shè)集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】用列舉法寫出集合的元素即可.
【詳解】因?yàn)榧希?br>所以集合中元素為，共4個(gè).
故選：C
3．已知集合，集合，則等于（ ）
A．B．C．．D．
【答案】B
【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.
【詳解】由，解得，
因?yàn)榧?，集合?br>所以.
故選：B
4．集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正約數(shù)，可確定集合，進(jìn)而得到答案．
【詳解】集合，,
，
故有個(gè)子集.
故選：D．
5．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含關(guān)系列不等式，即可得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，，又且，
所以，即.
故選：C
6．設(shè)命題命題則p是q的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】判斷p，q間關(guān)系可得答案.
【詳解】當(dāng)，則，故p是q的充分條件；
當(dāng)，則可令，不能得到，則p不是q的必要條件.
則p是q的充分不必要條件.
故選：A
7．“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】分別從充分性和必要性進(jìn)行論證即可求解.
【詳解】若，則同號(hào)，所以成立，充分性成立；
若成立，兩邊同時(shí)平方可得：，
所以，則，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：.
8．已知：，：，，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由可得，或，，
所以由推不出，，由，，可以推出，
故是的必要不充分條件.
故選：B.
9．命題的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】命題為全稱量詞命題，
其否定為.
故選：D
10．下列命題中是真命題的為（ ）
A．，使
B．，使
C．，
D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)特殊命題的真假判斷A，B；當(dāng)時(shí)，，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.
【詳解】解：對(duì)于A，由，可得，所以不存在，使成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，可得，所以不存在，使，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故正確.
故選：D.
11．（多選）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由集合與集合的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)依次辨析即可.
【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，有，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，時(shí)，，有，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，時(shí)，，有，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，時(shí)，，集合不滿足集合元素的互異性，故選項(xiàng)D不正確.
故選：ABC.
12．（多選）使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，進(jìn)而可判斷出其一個(gè)充分不必要條件．
【詳解】由題意，不等式，，解得，
故不等式的解集為：，
則其一個(gè)充分不必要條件可以是，或.
故選：CD.
13．（多選）下列命題中為真命題的是（ ）
A．“”的充要條件是“”
B．“”是“”的既不充分也不必要條件
C．“”是“”的充分不必要條件
D．命題“”的否定是“”
【答案】BC
【分析】對(duì)A，由，但推不出即可判斷；對(duì)B，取，滿足，但；同理取，滿足，但即可判斷；對(duì)C，因?yàn)椋撇怀黾纯膳袛?；?duì)D，根據(jù)存在量詞的命題的否定即可判斷.
【詳解】對(duì)A：由，但當(dāng)時(shí)，推不出，
所以是的充分不必要條件，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)B：取，滿足，但，所以推不出；
同理取，滿足，但，所以推不出，
所以是的既不充分也不必要條件，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)C：因?yàn)椋?dāng)時(shí)滿足但推不出，
所以“，”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)D：命題“，”的否定是，”，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC.
14．已知集合，．
(1)當(dāng)時(shí)，求出；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)= 或；(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得，由補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可求解；
（2）由題可知，分集合和兩種情況分類討論，即可求解的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以=或，
所以=或；
（2）因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，于是得，
①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，由得，，
綜上所述，.
15．已知命題，為假命題.
(1)求實(shí)數(shù)的取值集合；
(2)設(shè)，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由題意可得，即可求得集合；
（2）分析可知?，分、兩種情況討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：由題意可得，解得，故.
（2）解：由題意可知?.
當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)?成立；
當(dāng)時(shí)，則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足，其中；命題q：實(shí)數(shù)x滿足或.
（1）若，且p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，命題:，由命題均為真命題可得， 解不等式即可求得答案;
（2）是的充分不必要條件等價(jià)于集合是集合或的真子集，利用包含關(guān)系列不等式即可求得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，命題p：實(shí)數(shù)x滿足.
命題q：實(shí)數(shù)x滿足或
因?yàn)閜，q均為真命題，則，解得.
命題均為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）是的充分不必要條件,
集合是集合或的真子集,
所以①即，
或②即，
當(dāng)是的充分不必要條件時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將充分不必要條件問題轉(zhuǎn)化為集合真子集問題是解題的關(guān)鍵.

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