【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一 元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，常用小寫(xiě)的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡(jiǎn)稱(chēng)為集)，常用大寫(xiě)拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的．
4．集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．
知識(shí)點(diǎn)二 元素與集合的關(guān)系
1．屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A.
2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A.
知識(shí)點(diǎn)三 常見(jiàn)的數(shù)集及表示符號(hào)
知識(shí)點(diǎn)四 列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{ }”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．
知識(shí)點(diǎn)五 描述法
一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，
這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法．
【基礎(chǔ)自測(cè)】
1．已知集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A：由是集合，所以，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，與集合中元素的互異性相矛盾，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，，不合題意，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)，時(shí)，，符合題意，∴選項(xiàng)D正確.
故選：D.
2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】B
【詳解】，且，或
⑴當(dāng)即或，
①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿(mǎn)足集合元素的互異性，故舍去；
②當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意；
⑵當(dāng)即時(shí)，此時(shí)，不滿(mǎn)足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實(shí)數(shù)的值為1.
故選：B
3．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【詳解】當(dāng)取相同數(shù)時(shí)，；當(dāng)取不同數(shù)時(shí)，的取值可能為1或2,
故中共有3個(gè)元素.
故選:B .
4．下列說(shuō)法中：①集合N與集合N*是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的有________．
【答案】②④
【詳解】因?yàn)榧螻*表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，所以①③中的說(shuō)法不正確，②④中的說(shuō)法正確．
5．用列舉法表示集合：為_(kāi)_______．
【答案】
【詳解】由題知：=
故答案為：.
【例題詳解】
一、集合的概念
例1 (1)下面給出的四類(lèi)對(duì)象中，構(gòu)成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學(xué)B．長(zhǎng)壽的人
C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的定義分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，視力較好不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對(duì)于B，長(zhǎng)壽也不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對(duì)于C， 的近似值沒(méi)有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，
不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對(duì)于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；
故選：D.
(2)（多選）下列各組中的M，P表示同一集合的是（ ）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
【答案】CD
【分析】利用集合相等的定義判斷.
【詳解】在A中，M={3，-1}是數(shù)集，P={(3，-1)}是點(diǎn)集，二者不是同一集合，故錯(cuò)誤；
在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一個(gè)點(diǎn)的集合，二者不是同一集合，故錯(cuò)誤；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正確；
在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素為大于或等于4的所有實(shí)數(shù)，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也為大于或等于4的所有實(shí)數(shù)，故M，P表示同一集合，故正確．
故選：CD
跟蹤訓(xùn)練1 (1)以下元素的全體能構(gòu)成集合的是（ ）
A．中國(guó)古代四大發(fā)明B．接近于1的所有正整數(shù)
C．未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品D．地球上的小河流
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的知識(shí)可選出答案.
【詳解】中國(guó)古代四大發(fā)明具有確定性，能構(gòu)成集合，故A滿(mǎn)足；
接近于1的正整數(shù)不確定，不能構(gòu)成集合，故B不滿(mǎn)足；
未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不確定，不能構(gòu)成集合，故C不滿(mǎn)足；
地球上的小河流不確定，不能構(gòu)成集合，故D不滿(mǎn)足；
故選：A
(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，則p=_______，q=_______．
【答案】 -4 4
【分析】根據(jù)A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解.
【詳解】因?yàn)锳={x|x2+px+q=0}={2}，
所以，解得，
故答案為：-4，4
二、元素與集合
例2 (1)下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分別表示的數(shù)集，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】不屬于自然數(shù)，故A錯(cuò)誤；
不屬于正整數(shù)，故B正確；
是無(wú)理數(shù)，不屬于有理數(shù)集，故C錯(cuò)誤；
屬于實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選:B.
(2)如果集合只有一個(gè)元素，則的值是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】由題意得知關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分和兩種情況討論，可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意得知關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
當(dāng)，，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得.
綜上所述：或，故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的元素個(gè)數(shù)，本質(zhì)上考查變系數(shù)的二次方程的根的個(gè)數(shù)，解題要注意對(duì)首項(xiàng)系數(shù)為零和非零兩種情況討論，考查分類(lèi)討論思想，屬于中等題.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知集合,那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】確定結(jié)合的元素，根據(jù)元素和集合的關(guān)系判斷各選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由題意知集合，
故，故A正確，D錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，故C錯(cuò)誤，
故選：A
(2)已知集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍是__________．
【答案】或
【分析】把集合至多有一個(gè)元素，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程至多有一個(gè)根.對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，列不等式組，求出a的范圍.
【詳解】因?yàn)榧现炼嘤幸粋€(gè)元素，
所以關(guān)于x的方程至多有一個(gè)根.
方程無(wú)根，需滿(mǎn)足：，解得：.
方程有一個(gè)根，需滿(mǎn)足：a=0或，解得：a=0或.
綜上所述：的取值范圍是或.
三、集合中元素的特性
例3 (1)若，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.
【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；
若，則或（舍），此時(shí)，符合題意；
綜上所述：.
故選：A.
(2)由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有（ ）個(gè)元素
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】把分別可化為，，，，，，根據(jù)集合中元素的互異性，即可得到答案．
【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)所含元素最多，
此時(shí)分別可化為，，，
所以由實(shí)數(shù)所組成的集合，最多可含有3個(gè)元素．
故選：B
跟蹤訓(xùn)練3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（ ）
A．x≠–1B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠3
【答案】C
【分析】利用集合元素的互異性求解.
【詳解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，
解得x≠3且x≠–1且x≠0，
故選：C．
(2)若集合中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.
【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，
則，所以一定不是等腰三角形．
故選：D．
四、集合的表示方法
例4 (1)用列舉法表示集合__________．
【答案】
【分析】對(duì)整數(shù)取值，并使為正整數(shù)，這樣即可找到所有滿(mǎn)足條件的值，從而用列舉法表示出集合．
【詳解】因?yàn)榍?br>所以可以取，2，3，4.
所以
故答案為：
【點(diǎn)睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚表示整數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.
(2)用適當(dāng)?shù)男问奖硎鞠铝屑希⒅该魉怯邢藜€是無(wú)限集．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①方程的解集；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②不等式的解集；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③被5除余1的自然數(shù)的集合；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④二次函數(shù)的值組成的集合．
【答案】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，有限集； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，無(wú)限集； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③，無(wú)限集； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④，無(wú)限集.
【分析】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直接解出方程即可，用列舉法； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② 解不等式，解集為無(wú)限，用描述法表示；(3) 元素有無(wú)限個(gè)，所以用描述法； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④代表元素為y，解集為無(wú)限集用描述法表示.
【詳解】 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①解方程可得解集為 ，有限集；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解不等式可得解集為，無(wú)限集；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③被5除余1的自然數(shù)的集合為，無(wú)限集；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④二次函數(shù)的值組成的集合為，無(wú)限集；
跟蹤訓(xùn)練4 用列舉法表示下列集合：
（1）方程組的解集；
（2）不大于10的非負(fù)奇數(shù)集；
（3）．
【答案】（1）解集是；（2）不大于10的非負(fù)奇數(shù)集為；（3）.
【分析】根據(jù)列舉法的定義進(jìn)行表示即可．
【詳解】解：（1）解方程組，得，
用列舉法表示方程組的解集是；
（2）不大于10即為小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0，
故不大于10的非負(fù)奇數(shù)集為．
（3），，此時(shí)，即．
跟蹤訓(xùn)練5 表示下列集合：
(1)請(qǐng)用列舉法表示方程的解集；
(2)請(qǐng)用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；
(3)請(qǐng)用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；
(4)請(qǐng)用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【分析】根據(jù)題意逐項(xiàng)代入分析即可求解.
【詳解】（1）方程的解集為.
（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為.
（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為，.
（4）用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為．
【課堂鞏固】
1．下列各組對(duì)象中不能形成集合的是（ ）
A．高一數(shù)學(xué)課本中較難的題B．高二（2）班全體學(xué)生家長(zhǎng)
C．高三年級(jí)開(kāi)設(shè)的所有課程D．高一（12）班個(gè)子高于1.7m的學(xué)生
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的三要素確定性，互異性和無(wú)序性逐個(gè)判斷即可；
【詳解】對(duì)A，高一數(shù)學(xué)課本中較難的題不具有確定性，不能形成集合；
對(duì)BCD，各組對(duì)象均滿(mǎn)足確定性，互異性和無(wú)序性，能形成集合
故選：A
2．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．由1，2，3組成的集合可表示為或
B．與是同一個(gè)集合
C．集合與集合是同一個(gè)集合
D．集合與集合是同一個(gè)集合
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案
【詳解】集合中的元素具有無(wú)序性，故A正確；
是不含任何元素的集合，是含有一個(gè)元素0的集合，故B錯(cuò)誤；
集合，集合，故C錯(cuò)誤；
集合中有兩個(gè)元素，集合中只有一個(gè)元素，為方程，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
3．設(shè)a,b∈R，集合，則=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】因，則，從而得，有，于是得，
所以.
故選：C
4．下列關(guān)系中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.
【詳解】根據(jù)常見(jiàn)的數(shù)集，元素與集合的關(guān)系可知，，，不正確，
故選：C
5．若以集合的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由題意，集合的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，
根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，
以四個(gè)元素為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，結(jié)合選項(xiàng)，只能為梯形.
故選：C.
6．（多選）下面說(shuō)法中正確的是（ ）
A．集合中最小的數(shù)是1B．若，則
C．若，則的最小值是2D．的解組成的集合是
【答案】AC
【分析】根據(jù)正整數(shù)集的含義即可判斷A，B，C的正誤，根據(jù)集合中列舉法即可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭钦麛?shù)集，而最小的正整數(shù)是1，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，且，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則的最小值是1，若，則的最小值也是1，當(dāng)和都取最小值時(shí)，取得最小值2，故C正確；
對(duì)于D，由得，解得，故其解集為，而不符合集合的表示方法，故D錯(cuò)誤.
故選：AC．
7．用列舉法表示集合________________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，求出的值即可求解.
【詳解】由題意得，所以，所以.
故答案為: .
8．已知集合，，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】13
【分析】由題列舉出集合B，即得.
【詳解】將x，y及的值列表如下，去掉重復(fù)的值，可知集合中的元素個(gè)數(shù)為13．
故答案為：13
9．已知均為非零實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的值所組成的集合的元素個(gè)數(shù)是______．
【答案】2
【分析】分析題意知代數(shù)式的值與的符號(hào)有關(guān)，按其符號(hào)的不同分3種情況討論，分別求出代數(shù)式的值，即可得解.
【詳解】根據(jù)題意分2種情況討論：
當(dāng)全部為負(fù)數(shù)時(shí)，為正數(shù)，則；
當(dāng)全部為正數(shù)時(shí)，為正數(shù)，則；
當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，為負(fù)數(shù)，則；
綜上可知，的值為或3，即代數(shù)式的值所組成的集合的元素個(gè)數(shù)是2
故答案為：2
10．給出下列說(shuō)法：
①平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為；
②方程的解集為；
③集合與是不相等的．
其中正確的是______（填序號(hào)）．
【答案】①③
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案．
【詳解】對(duì)于①中，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均大于0，且集合中的代表元素為點(diǎn)，所以①正確；
對(duì)于②中，方程的解為，解集為或，所以②不正確；
對(duì)于③中，集合，集合，這兩個(gè)集合不相等，所以③正確．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法及其應(yīng)用，其中解答中熟記集合的表示方法——列舉法、描述法，以及集合表示方法的改寫(xiě)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．用列舉法表示下列集合：
(1)滿(mǎn)足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；
(3)方程組 的解組成的集合B；
(4)15的正約數(shù)組成的集合N.
【答案】(1) {－2，－1,0,1,2}(2) M＝{2,3}(3) B＝{(x，y)|(3,2)} (4) N＝{1,3,5,15}
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，即可表示集合；
（2）求解出方程的根，即可表示集合；
（3）求解方程組的解，即可表示集合；
（4）找到的正約數(shù)，即可表示集合.
【詳解】(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程組得
；
(4)的正約數(shù)有四個(gè)數(shù)字，
．
【點(diǎn)睛】本題考查集合的列舉法，區(qū)分點(diǎn)集和數(shù)集，屬于簡(jiǎn)單題.
12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列舉法表示該集合
（1）所有能被3整除的自然數(shù)
（2）不等式的解集
（3）的解集
【答案】答案見(jiàn)解析．
【分析】根據(jù)集合的表示法求解．
【詳解】（1），集合中元素個(gè)數(shù)無(wú)窮，不能用列舉法表示；
（2），即，，
集合為，集合中元素有無(wú)數(shù)個(gè)，不能用列舉法表示；
（3）集合可表示為，列舉法表示為．
【課時(shí)作業(yè)】
1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時(shí)，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的相等的意義得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,由此求得p,q的值，進(jìn)而求得集合B.
【詳解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
計(jì)算得出p＝－3，q＝4.
則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
則x－1＝0或x－1＝4，
計(jì)算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故選：.
2．已知，，為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別對(duì)，，的符號(hào)進(jìn)行討論，計(jì)算出集合的所有元素，再進(jìn)行判斷.
【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論；
①、全部為負(fù)數(shù)時(shí)，則也為負(fù)數(shù)，則；
②、中有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，則為負(fù)數(shù)，則；
③、中有兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，則為正數(shù)，則；
④、全部為正數(shù)時(shí)，則也正數(shù)，則；
則；分析選項(xiàng)可得符合．
故選：A.
3．以某些整數(shù)為元素的集合P具有以下性質(zhì)：
（1）P中元素有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)；（2）P中元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；
（3）；（4）若，則．
則下列選項(xiàng)哪個(gè)是正確的（ ）
A．集合P中一定有0但沒(méi)有2B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2D．集合P中既沒(méi)有0又沒(méi)有2
【答案】A
【分析】由（4）得，則（k是正整數(shù)），由（1）可設(shè)，且，，可得.利用反證法可得若，則P中沒(méi)有負(fù)奇數(shù)，若P中負(fù)數(shù)為偶數(shù)，得出矛盾即可求解.
【詳解】解：由（4）得，則（k是正整數(shù)）．
由（1）可設(shè)，且，，則、，而．
假設(shè)，則．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故（k是正整數(shù)），
不妨令P中負(fù)數(shù)為奇數(shù)（k為正整數(shù)），
由（4）得，矛盾．
故若，則P中沒(méi)有負(fù)奇數(shù)．
若P中負(fù)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為（k為正整數(shù)），則由（4）及，
得均在P中，即（m為非負(fù)整數(shù)），
則P中正奇數(shù)為，由（4）得，矛盾．
綜上，，.
故選:A．
4．已知集合，若，則中所有元素之和為（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)，依次令中的三個(gè)元素分別等于1，根據(jù)集合中元素的互異性作出取舍，求得結(jié)果.
【詳解】若，則，矛盾；
若，則，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和為，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，關(guān)鍵是用好集合中元素的互異性對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行取舍.
5．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)集合A，根據(jù)集合B中元素的性質(zhì)求出集合B.
【詳解】，，
,
故選：C
6．由大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
【答案】D
【詳解】試題分析：先確定集合元素的范圍是﹣3＜x＜11，同時(shí)再確定偶數(shù)的形式，利用描述法表示集合．
解：因?yàn)樗蟮臄?shù)為偶數(shù)，所以可設(shè)為x=2k，k∈z，又因?yàn)榇笥讴?且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用描述法表示集合．比較基礎(chǔ)．
7．方程組的解集不可表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解方程組，然后再利用集合的表示方法判斷即可
【詳解】由，得，方程組只有一組解，
對(duì)于AB，是用描述法表示方程組的解集，所以AB正確，
對(duì)于C，表示兩個(gè)元素1，2，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，是用列舉法表示方程組的解集，所以D正確，
故選：C
8．定義集合運(yùn)算:.設(shè),,則集合的所有元素之和為（ ）
A．0B．2C．3D．6
【答案】D
【詳解】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運(yùn)算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進(jìn)而可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．
考點(diǎn)：元素的互異
點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)，注意結(jié)合集合元素的互異性，對(duì)所得集合的元素的分析，對(duì)其進(jìn)行取舍
9．（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全體構(gòu)成一個(gè)集合
D．一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素
【答案】AD
【分析】根據(jù)集合的概念及集合中元素的三個(gè)特性：確定性、無(wú)序性、互異性即可判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.
【詳解】若，則－a也是整數(shù)，即，故A正確；
因?yàn)閷?shí)數(shù)集中沒(méi)有最小的元素，所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)椤暗慕浦怠辈痪哂写_定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯(cuò)誤；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.
故選：AD.
10．（多選）若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】分別令等于，判斷是否為整數(shù)即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，存在或使得其成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：，存在，使得其成立，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由，可得，，
若則可得， ，不成立；
若則可得， ，不成立；
若，可得，此時(shí)， ，不成立；
同理交換與，也不成立，所以不存在為整數(shù)使得成立，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：，此時(shí)存在或使得其成立，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
11．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為_(kāi)___.
【答案】
【分析】根據(jù)集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.
【詳解】解：由題意，若，則或，檢驗(yàn)可知不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，
所以，則，
所以，則，
故.
故答案為：.
12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m＝________．
【答案】3
【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，分類(lèi)求得m的值，然后利用集合元素的互異性檢驗(yàn)取舍.
【詳解】由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，經(jīng)驗(yàn)證，
當(dāng)m＝0或m＝2時(shí)，
不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，
當(dāng)m＝3時(shí)，滿(mǎn)足題意，
故m＝3.
答案：3
13．用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的集合為_(kāi)_______．
【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【詳解】由題意得，圖中的陰影部分構(gòu)成的集合是點(diǎn)集，則且.
故答案為且.
點(diǎn)睛：本題考查集合的描述法的概念及其應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是圖中的陰影部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件為集合的元素的公共屬性.
14．用列舉法表示集合__________
【答案】
【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的描述法，屬于中檔題.
15．設(shè)為非零實(shí)數(shù),m=+++，則的所有值組成的集合為_(kāi)___
【答案】
【分析】分別根據(jù)的正負(fù)，分類(lèi)討論，即可求解的值，得到答案.
【詳解】因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，
所以時(shí)，+++；
當(dāng)中有一個(gè)小于0時(shí)，不妨設(shè)，
此時(shí)+++；
當(dāng)中有兩個(gè)小于0時(shí)，不妨設(shè)，
此時(shí)+++；
當(dāng)中有三個(gè)小于0時(shí)，此時(shí)+++，
所以的所有值組成的集合為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算與集合的表示，其中解答中分別根據(jù)的正負(fù)，分類(lèi)討論，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)___．
【答案】1
【分析】首先根據(jù)題中的條件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，結(jié)合A＝{1，2}，寫(xiě)出集合B，并且找到集合B的元素個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)锳＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
所以，所以集合B中只有一個(gè)元素，
故答案是1.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給的集合中元素的特征，將集合中的元素列出來(lái)，從而得到結(jié)果.
17．已知方程ax2－3x－4＝0的解組成的集合為A.
（1）若A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用方程有兩個(gè)不等實(shí)根列不等式組，解出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用方程有0個(gè)或1個(gè)實(shí)根列不等式，解出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】解：(1)因?yàn)锳中有兩個(gè)元素，所以方程ax2－3x－4＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以
即a>－且a≠0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
(2)當(dāng)a＝0時(shí)，由－3x－4＝0得x＝－；
當(dāng)a≠0時(shí)，若關(guān)于x的方程ax2－3x－4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則Δ＝9＋16a

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