【考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)一、不等式性質(zhì)的應(yīng)用
1．若，下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．，若，則
C．若，則D．，，若，則
【答案】C
【分析】利用特值法可判斷ABD，利用不等式的性質(zhì)可判斷C.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，
故選：C.
2．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式求各項(xiàng)中代數(shù)式的范圍，注意等號(hào)成立條件.
【詳解】A：由，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤；
B：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，正確；
C：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤；
D：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤.
故選：B
考點(diǎn)二、解不等式
1．解下列不等式.
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為即可得解；（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化為，可求解集.
【詳解】（1）由可得：，所以，故解集為：；
（2），等價(jià)轉(zhuǎn)化為，
解得
所以不等式的解集為．
(3)﹣x2+2x﹣3＜0；
(4)﹣3x2+5x﹣2＞0.
【答案】(3)R；(4){x|1}
【分析】（3）根據(jù)題意，原不等式變形為（x﹣1）2+2＞0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案；
（4）根據(jù)題意，原不等式變形為（x﹣1）（x）＜0，解可得答案.
【詳解】（3）根據(jù)題意，﹣x2+2x﹣3＜0?x2﹣2x+3＞0?（x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，則不等式的解集為R；
（4）根據(jù)題意，﹣3x2+5x﹣2＞0?3x2﹣5x+2＜0?（x﹣1）（x）＜0，
解可得：x＜1，即不等式的解集為{x|x＜1}.
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(5)或；(6)；(7)
【分析】（5）將式子變形為，即可求出不等式的解集；
（6）依題意可得，由，即可得解；
（7）移項(xiàng)、通分，再寫成等價(jià)形式，即可求出不等式的解集；
【詳解】（5）解：因?yàn)?，即，解得或?br>所以不等式的解集為或；
（6）解：因?yàn)椋矗?br>因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，
又函數(shù)開口向上，所以恒成立，
所以不等式的解集為；
（7）解：由，即，可得，
等價(jià)于，解得，
所以不等式的解集為．
2．已知不等式：.
(1)若，求不等式解集；
(2)若，求不等式解集.
【答案】(1)或；(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.
（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法求得正確答案.
【詳解】（1），，
當(dāng)時(shí)，解得或.
所以不等式的解集為或.
（2），，
當(dāng)時(shí)，由（1）得不等式的解集為或.
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.
3．已知函數(shù)．
(1)若不等式的解集為，求，的值；
(2)若，求不等式的解集．
【答案】(1)，；；(2)答案見解析.
【分析】（1）由題意可得和是方程的兩個(gè)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；
（2）等式即，對(duì)分類討論即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以和是方程的兩個(gè)根，且，
可得，解得，．
（2）當(dāng)時(shí)，不等式即，即，
①當(dāng)時(shí)，，解得；
②當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得或；
③當(dāng)時(shí)，不等式化為，
若，則；
若，則；
若，則，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．
考點(diǎn)三、基本不等式的應(yīng)用
1．若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【詳解】由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．
2．（多選）已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】對(duì)A，利用基本不等式即可判斷；對(duì)B，將展開利用基本不等式可求解；對(duì)C，做差即可比較；對(duì)D，利用基本不等式可判斷.
【詳解】對(duì)A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；
對(duì)B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)C，，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
3．（多選）下列說法正確的有（ ）
A．的最小值為2
B．已知，則的最小值為
C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3
D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為
【答案】BD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于BD選項(xiàng)，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B選項(xiàng)正確，
對(duì)于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于D選項(xiàng)，，
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，
時(shí)取最大值，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．
故選：BD．
4．已知，，，則的最小值為___________．
【答案】
【分析】利用代入變形后根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】
，當(dāng)且僅當(dāng)析，時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
考點(diǎn)四、不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用
1．某學(xué)校欲在廣場(chǎng)旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長(zhǎng)方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.
(1)若矩形草坪的長(zhǎng)比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.
【答案】(1)10米；(2)平方米
【分析】（1）設(shè)草坪的寬為米，長(zhǎng)為米，則由題意，列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）求出整個(gè)綠化面的長(zhǎng)為米，寬為米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可．
【詳解】（1）設(shè)草坪的寬為x米，長(zhǎng)為y米，由面積均為200平方米，得，
因?yàn)榫匦尾萜旱拈L(zhǎng)比寬至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以寬的最大值為10米；
（2）記整個(gè)綠化面積為S平方米，由題意得，
，當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，等號(hào)成立，所以整個(gè)綠化面積的最小值為平方米
2．某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測(cè)算，其生產(chǎn)的總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系式為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為220噸．
（1）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；
（2）經(jīng)過評(píng)估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為40萬元，且最大利潤(rùn)不超過1660萬元，由該生產(chǎn)線年產(chǎn)量的最大值應(yīng)為多少？
【答案】（1）年產(chǎn)量為200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，最低成本為32萬元；（2）210噸．
【分析】（1）平均成本等于總成本除以年產(chǎn)量，得到的式子符合乘積為定值，利用基本不等式求出最小值；
（2）表示出利潤(rùn)得到關(guān)于x的二次不等式，求出范圍即可.注意實(shí)際問題下取值范圍的限制.
【詳解】解∶（1）設(shè)每噸的平均成本為W，
則W=
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=200（噸）時(shí)每噸平均成本最低，且最低成本為32萬元．
（2）由題意得，，
解得，x≥230或x≤210
∵0

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