知識點1 元素與集合的概念
1．元素與集合的概念
（1）元素：一般地,把研究對象統(tǒng)稱為元素,元素常用小寫的拉丁字母表示．
（2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）,集合通常用大寫的拉丁字母表示．
（3）集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的．
2．元素的特性
（1）確定性：給定的集合,它的元素必須是確定的．也就是說,給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．
（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說,集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后,沒有順序的．簡記為“無序性”．
注意：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素,研究集合問題的核心即研究集合中的元素,因此在解決集合問題時,首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點,也可以是一些人或一些物．
知識點2 元素與集合的關(guān)系
（1）屬于：如果是集合A的元素,就說屬于集合A,記作．
（2）不屬于：如果不是集合A的元素,就說不屬于集合A,記作．
溫馨提示：（1）符號刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個元素與一個集合A而言,只有“”與“”這兩種結(jié)果．
（2）和具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,形如是錯誤的．
知識點3 常用的數(shù)集及其記法
知識點4 集合的表示方法
1．列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
溫馨提示：（1）元素與元素之間必須用“，”隔開．
（2）集合中的元素必須是明確的．
（3）集合中的元素不能重復(fù)．
（4）集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
（1）定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．
（2）具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．
注意：（1）寫清楚集合中元素的符號．如數(shù)或點等．
（2）說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等．
（3）不能出現(xiàn)未被說明的字母．
題型一集合的概念
1．判斷正誤．
（1）接近于0的數(shù)可以組成集合．( )
（2）分別由元素0，1，2和2，0，1組成的兩個集合是相等的．( )
（3）一個集合中可以找到兩個相同的元素．( )
2．下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（ ）
（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學書中所有的難題；（3）平方后等于負數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學生身高在1.7米的學生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點距離相等的點的全體.
A．2個B．3個C．4個D．5個
3．由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).
①不超過的所有正整數(shù);②高一(6)班中成績優(yōu)秀的同學;③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數(shù).
4．（多選）現(xiàn)有以下說法，其中正確的是（ ）
A．接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個集合
B．正方體的全體構(gòu)成一個集合
C．未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合
D．不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合
5．以下對象：
①上海市現(xiàn)有各高中的校名；
②很接近的所有實數(shù)；
③方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解；
④平面直角坐標系內(nèi)的一些點；
⑤所有大于3或小于1的實數(shù)．
能夠組成集合的序號是______．
題型二用列舉法表示集合
6．設(shè)a，b是非零實數(shù)，那么可能取的所有值組成集合是______.
7．一元二次方程的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．用列舉法寫出集合＝__________.
9．已知為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則 _____.
10．直線與y軸的交點所組成的集合為（ ）
A．B．
C．D．
題型三用描述法表示集合
11．直角坐標平面上由第二象限所有點組成的集合用描述法可以表示為_____________．
12．方程組的解集可表示為（ ）
A．B．
C．D．
13．集合用描述法可表示為（ ）
A．B．C．D．
14．用描述法表示不等式的解集為________．
15．集合表示的是__________.
題型四集合表示方法的應(yīng)用
16．定義集合運算：若，則_________．
17．用另一種方法表示下列集合:
(1);
(2);
(3)已知，，寫出集合P;
(4)集合，，寫出集合B.
18．用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br>(1)方程組 的解集；
(2)由所有小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；
(3)方程的實數(shù)根組成的集合；
(4)二次函數(shù)的圖象上所有的點組成的集合；
(5)二次函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
19．已知集合，則集合B中有________個元素．
20．對于、，規(guī)定，集合，則中元素的個數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
題型五元素與集合的關(guān)系
21．記方程的解構(gòu)成的集合為，若，試寫出集合中的所有元素．
22．（多選）已知集合中有個元素，，，且當時，，則可能為（ ）
A．
B．
C．
D．或或
23．已知集合A含有兩個元素a和a2，若2∈A，則實數(shù)a的值為________．
24．已知集合中的最大元素為，則實數(shù)________.
25．已知集合S滿足:若，則.請解答下列問題:
(1)若，則S中必有另外兩個元素，求出這兩個元素.
(2)證明:若，則.
(3)在集合S中，元素能否只有一個?若能，把它求出來;若不能，請說明理由.
26．集合，判斷下列元素x是否屬于集合A：
(1)；
(2)；
(3)．
27．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
28．已知集合中含有兩個元素和．
(1)若是集合中的元素，試求實數(shù)的值；
(2)能否為集合中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由．
題型六集合的元素特性
29．（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．的近似值的全體構(gòu)成一個集合B．自然數(shù)集中最小的元素是0
C．在整數(shù)集中，若，則D．一個集合中不可以有兩個相同的元素
30．若a，b，c，d為集合A的4個元素，則以a，b，c，d為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（ ）
A．菱形B．平行四邊形C．梯形D．正方形
31．以方程和的解為元素的集合含有的元素個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
32．一個書架上有九個不同種類的書各5本，那么由這個書架上的書組成的集合中含有_____個元素.
33．已知集合， ，若，則a等于（ ）
A．－1或3B．0或1
C．3D．－1
34．已知集合中有三個元素：，，，集合中也有三個元素：0，1，．
(1)若，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的值．
35．由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
36．已知集合A的元素滿足條件:若a∈A，則∈A(a≠1)，當∈A時，則集合A中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
37．設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為________.
題型七常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用
38．若集合，用列舉法表示______．
39．下列說法正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1個B．2個C．3個D．4個
40．給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
41．（多選）下列說法正確的有（ ）
A．N與N*是同一個集合
B．N中的元素都是Z中的元素
C．Q中的元素都是Z中的元素
D．Q中的元素都是R中的元素
42．集合可用列舉法表示為______，集合可用列舉法表示為______.
43．用符號“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
44．已知，使代數(shù)式的值為有理數(shù)的的集合是（ ）
A．B．C．使的集合D．使的集合
常用的數(shù)集
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
記法
或

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