1.通過研究拋物線的方程，掌握拋物線的幾何性質(zhì). 2.能利用拋物線的幾何性質(zhì)進行簡單應用.
O O課堂總結(jié)
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知識點一 ：拋物線的幾何性質(zhì)思考：類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，可以研究拋物線y=2px(p>0)的
哪些幾何性質(zhì)?如何研究這些性質(zhì)?通過拋物線方程可以研究拋物線的范 圍，對稱性，頂點，離心率等性質(zhì).
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(1)方程中x 與 y 取值范圍是多少?∵y2≥0,∴2x≥0,即x≥0,y∈R.由此可知，拋物線C 位于y 軸及y 軸的 右側(cè)，如圖所示.
思考：已知拋物線C的方程為y2=2x, 根據(jù)方程回答下列問題：
(2)拋物線C 是否關于x軸 ，y 軸，原點對稱?為什么?如果(x,y) 是方程y2=2x 的一組解，可得(x,-y) 也是方程的解，即拋物線關于x 軸對稱；又因為(-x,y),(-x,-y) 不一定是方程的解， 即拋物線不關于y 軸和原點對稱.
思考：已知拋物線C 的方程為y2=2x,根據(jù)方程回答下列問題：
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(3)拋物線C 與坐標軸是否有交點?如果有，求出交點坐標.令y=0,得 x=0;令x=0,得 y=0.所以拋物線C 與 x 軸 、y 軸都只有一個交點，且交點都是原點(0,0).如圖所示.
思考：已知拋物線C 的方程為y2=2x, 根據(jù)方程回答下列問題：
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由方程①可知，2px≥0, 又∵p>0,∴x≥0.∴除頂點外，拋物線上的其余點都在y 軸的右側(cè).當x→+ 時， |y|→+, 這說明拋物線向右上方 和右下方無限延伸，如圖所示 .此時，稱拋物線C 的 開口向右(或朝右).
一般地，如果拋物線C 的標準方程是y2=2px(p>0) ① 則可以根據(jù)方程①來得到拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范圍
(-y)2=y2=2px(p>0)所以拋物線C 關于x軸對稱.此時稱x 軸是拋物線的對稱軸(簡稱軸) 拋物線只有一條對稱軸。
y2=2px(p>0) ①x軸對稱P(x,-y)
(2)對稱性P(x,y)
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y2=2px (p>0) ①(3)頂點在方程①中，令y=0,得 x=0;令 x=0,得 y=0. 可知拋物線C 與 x 軸 、y 軸都交于原點(0,0).此時，稱原點是拋物線的頂點.
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O O學習目標 新課講授 課堂總結(jié)y2=2px (p>0) ①(2)離心率拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離之 比稱為拋物線的離心率，用e 表示.根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線的離心率
說出拋物線的范圍(開口方向)、對稱性、頂點、離心率，同①表示的拋物線相比，有什么變化?
y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
思考：如果拋物線的標準方程是
四種拋物線的幾何性質(zhì)的對比
例 1 已知拋物線的對稱軸為x 軸，頂點是坐標原點且開口向左，又拋物線經(jīng)過點M(-4,2√3), 求這個拋物線的標準方程.解：根據(jù)已知條件可設拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0)∵ 點M(-4,2√3) 在拋物線上，∴(2 √3)2=-2p×(-4) ∴2p=3從而所求方程為y2=-3x
知識點二：拋物線幾何性質(zhì)的簡單應用
用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟根據(jù)條件確定拋物線的焦點在哪條 坐標軸上及開口方向根據(jù)焦點和開口方向設出標準方程 根據(jù)條件列出關于p的方程解方程，將p代入所設方程為所求
定位置設方程 尋關系 得方程
1.以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8,若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為( C )A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y
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例2 求拋物線y2=4x上的點P(x,y)到(0,3)的距離與到準線距離之和的最小值.解：如圖所示，設此拋物線的焦點為F(1,0), 準線l:x=-1.過點P 作PM⊥l, 垂足為M.則|PM|=|PF|.設Q(0,3), 因此當F,P,Q 三點共線時， |PF|+|PQ| 取得最小值.
.(PF|+IPQD=IQF=√32+l2=√ 10.即|PM|+|PQ|的最小值為10.
已知P為拋物線 上的動點，P 在x軸上的射影為H, 點A的坐標為(12,6),則 |PA|+|PH|的最小值是( B )A.13 B.12
方法一解：設A(x,y?),B(x?,y?), 直線l方程y=x-1與拋物線的標準方程y2=4x 聯(lián)立可得x2-6x+1=0.解方程得x=3+2 √2,x?=3-2 √2,因為 y?=x?-1,y =x?-1,所以y?=2+2√2,y?=2-2√2,因此|AB|= √ (x?-x)2+(y?-y)2=8.
例3 斜率為l的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x 的焦點F, 且與拋物線相交于A,B 兩點，求線段AB的長.
有幾種方法求出線段AB的長?
交于A,B 兩點，求線段AB的長.方法二解：由題意可知， 焦點F的坐標為(1,0), 準線方程為x=-1.如圖，設A(x?,y),B(x?,y?) ,A,B 兩點到準線的距離分 別為dA,dg. 由拋物線的定義，可知AF=dA=x?+1,BF=dp=X?+1
例3 斜率為l的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x 的焦點F, 且與拋物線相
于是 |AB|=|AF|+|BF|=x+x?+2,
交于A,B 兩點，求線段AB的長.因為直線l的斜率為1,且過焦點F(1,0), 所 以直線l的方程為 y=x-1 ①將①代入方程y2=4x, 得(x-1)2=4x, 化簡，得
x2-6x+1=0.所以 x+x?=6,AB=x+x?+2=8. 所以，線段AB的長是8.
例4 斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x 的焦點F, 且與拋物線相
(1)利用兩點間的距離公式的方法最直接，具有一般性，但是計算稍 顯復雜；(2)數(shù)形結(jié)合方法充分運用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距 離等于這個點到準線的距離，使運算的復雜性大大簡化.
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歸納總結(jié) 過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點這兩點 間的線段叫做拋物線的焦點弦.
y2=2px(p>0)
當焦點弦垂直于拋物線的對稱軸時，稱為拋物線的通徑.AB=2pp刻畫了拋物線開口的大?。?br/>p值越大，開口越寬；p 值越小，開口越窄. y2=2 px(p>0)

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2.7.2 拋物線的幾何性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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