1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是
A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形
C．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形 D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形
4．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是
A．B．C．D．
5．（4分）下列四個(gè)三角形，與圖中的三角形相似的是
A．B．
C．D．
6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果恰好經(jīng)過△的重心，那么的長(zhǎng)為
A．1B．C．D．2
二、填空題（共12題，每題4分，滿分48分）.
7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項(xiàng)，則線段 ．
8．（4分）兩個(gè)相似三角形的相似比為，周長(zhǎng)之差為，則較大三角形的周長(zhǎng)為 ．
9．（4分）已知點(diǎn)是線段上黃金分割點(diǎn)，且，如果，那么 ．
10．（4分）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，該三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為 ．
11．（4分）如圖，若，，，，則長(zhǎng)為 ．
12．（4分）如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么 ．
13．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則的長(zhǎng)為 ．
14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則 ．
15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為 ．
17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點(diǎn)，則 ．
18．（4分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上的一點(diǎn)（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)端點(diǎn)落在DA的延長(zhǎng)線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，則AE：AB的值是 ．
三、解答題（共7題，滿分78分）.
19．已知，且，求的值．
20．如圖，在△中，，．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）若，求．
21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上．在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．
（1）如圖①， ．
（2）如圖②，在上找一點(diǎn)，使．
（3）如圖③，在上找一點(diǎn)，連接、，使．
22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)．某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，過程見下表．
根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度．
23．如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)，垂足為．作，垂足為．
（1）求證：．
（2）求證：．
24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得△與△相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點(diǎn)D、E邊BC上（點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)，點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），∠DAE＝∠C，過點(diǎn)B作BF∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AF⊥BC時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長(zhǎng)．
參考答案
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是
A．B．C．D．
解：，
設(shè)，，
．由比例的性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
解：、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；
、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；
、，故此選項(xiàng)中四條線段成比例，符合題意；
、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意，
故選：．
3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是
A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形
B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形
C．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形
D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形
解：．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角都是直角，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；
．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；
．有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形其他角也相等，菱形四條邊相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，故一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；
．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
4．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是
A．B．C．D．
解：
．，，故該選項(xiàng)符合題意；
．，則，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意；
．，則，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意；
．，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意，
故選：．
5．（4分）下列四個(gè)三角形，與圖中的三角形相似的是
A．B．
C．D．
解：通過勾股定理可得到已經(jīng)圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為
、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；
、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比一樣，故兩個(gè)三角形相似，故符合題意；
、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，3，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；
、通過勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；
故選：．
6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果恰好經(jīng)過△的重心，那么的長(zhǎng)為
A．1B．C．D．2
解：設(shè)△的重心是，連接，延長(zhǎng)交于，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，，
，，
，，
，
．
故選：．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項(xiàng)，則線段 ．
解：線段是線段、的比例中項(xiàng)，
，
，
，
故答案為：．
8．（4分）兩個(gè)相似三角形的相似比為，周長(zhǎng)之差為，則較大三角形的周長(zhǎng)為 45 ．
解：兩個(gè)相似三角形的相似比為，
設(shè)較大三角形的周長(zhǎng)為 ，則較小三角形的周長(zhǎng)為 ，
依題意，，
解得，
，
故答案為：45．
9．（4分）已知點(diǎn)是線段上黃金分割點(diǎn)，且，如果，那么 ．
解：，
，
，
設(shè)，則，
解得：或（舍去），
故答案為：．
10．（4分）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，該三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為 ．
解：如圖，設(shè)點(diǎn)是等邊△的重心，連接并延長(zhǎng)交于，
是等邊△的重心，
也是等邊△的外心和內(nèi)心，
在三條邊的垂直平分線上，
，，
△是等邊三角形，
，
是等邊△的內(nèi)心，
平分，
，
在△中，，
，
解得，，
它的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為，
故答案為：．
11．（4分）如圖，若，，，，則長(zhǎng)為 2 ．
解：，
．
，，，
，
解得．
故答案為：2．
12．（4分）如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么 ．
解：四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
△△，
，
．
故答案為：．
13．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則的長(zhǎng)為 ．
解：，，
，
，
，，
，
，
或（舍去），
故答案為：．
14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則 ．
解：在△中，，，
．
，
．
，
△△，
，
即，
解得．
故答案為：．
15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，．
四邊形是正方形，
．
．
又，
．
，，，，
，
解得．
故答案為：．
16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為 1 ．
解：，
，，
△△△，
，
，，
，
△△△，
，，
，
，
故答案為：1．
17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點(diǎn)，則 ．
解：過作交于，
是△的中線，
，
，
，△△，，
，，
，
，
，
，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
18．（4分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上的一點(diǎn)（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)端點(diǎn)落在DA的延長(zhǎng)線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，則AE：AB的值是 ．
解：如下圖所示，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF＝BE，
∵AB⊥EF，
∴AF＝AE，
∵H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，
∴，
∵正方形AFGH，
∴AE＝AH，
∴，
故答案為：．
三、（本大題共7題，滿分0分）
19．已知，且，求的值．
解：設(shè)，則，，，
，
，
解得：，
，，，
．
20．如圖，在△中，，．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）若，求．
解：（1），
，，
△△，
，
，
，
則，
，
；
（2）如圖：過點(diǎn)作，
由（1）得，
，
，
，
，，．
，
，
．
21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上．在圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫圖，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法．
（1）如圖①， ．
（2）如圖②，在上找一點(diǎn)，使．
（3）如圖③，在上找一點(diǎn)，連接、，使．
解：（1），
，
，
，，
，
故答案為：；
（2）如圖②，點(diǎn)即為所求；
（3）如圖③，點(diǎn)即為所求
22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)．某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，過程見下表．
根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度．
解：設(shè)米，米．
，
△△，
，
，，，
，
，
△△，
，
，，，
，
，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
答：飛虹塔的高度為47米．
23．如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)，垂足為．作，垂足為．
（1）求證：．
（2）求證：．
【解答】證明：（1），，
，
又，
，
，即；
（2）平分，
．
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
又，
，
．
，
，
，
，即，
．
24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得△與△相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將代入得：
，
解得，
直線，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
；
（2）點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，記為點(diǎn)，過點(diǎn)軸，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
；
如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，記為點(diǎn)，過點(diǎn)軸，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)或；
（3）在直線上存在點(diǎn)，使得△與△相似；理由如下：
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，
，，
，
，
，
，即，
，
△與△不相似；
如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，
設(shè)，
，，
，
當(dāng)時(shí)，△△，
，
△△，
，即，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
．
如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，
設(shè)，
，，
，
當(dāng)時(shí)，△△，
，
，
△△，
，即，
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
，
，，
綜上所述，在直線上存在點(diǎn)，使得△與△相似；，或，．
25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點(diǎn)D、E邊BC上（點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)，點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），∠DAE＝∠C，過點(diǎn)B作BF∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AF⊥BC時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長(zhǎng)．
解：（1）如圖1所示：
∵AB＝AC＝4，AF⊥BC，
∴，
在Rt△ACD中，
∵∠C＝30°，
∴，
在Rt△ADE中，∠DAE＝∠C，
∴，
∴；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠FBC＝∠C＝30°，∠BFA＝∠CAD，
∴△ADC∽△FDB，
∴，
即，
解得，
在△FDB和△EDA中，
∠FBD＝∠DAE＝30°，∠FDB＝∠ADE，
∴∠BFD＝∠AED，
∵∠ABE＝∠DBF＝30°，
∴△ABE∽△DBF，
∴，
∵，
∴，
解得，
根據(jù)點(diǎn)D、E邊BC上，點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)，點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，
∴y＞0，x≥0，
∴，
∴，
∴；
（3）當(dāng)△CDF∽△BDA時(shí)，如圖2：
∵△CDF∽△BDA，
∴∠ABD＝∠DCF，
∴AB∥CF，
∵BF∥AC，
∴四邊形ABFC為平行四邊形，
∴BF＝AC＝4；
當(dāng)△CDF∽△ADB時(shí)，
∵△CDF∽△ADB，
∴，
由（2）可知，△ADC～△FDB，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝DF，
∴∠DFB＝∠DBF＝30°，
∴∠BAF＝180°﹣∠ABD﹣∠DBF﹣∠BFD＝90°，
∴BF＝2AB＝8，
綜上所述，當(dāng)△CDF與△ABD相似時(shí)，BF的長(zhǎng)為4或8．
主題
跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度
測(cè)量方案及示意圖

測(cè)量步驟
步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交水平于點(diǎn)，測(cè)得米；
步驟2：將標(biāo)桿沿著的方向平移到點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交直線于點(diǎn)，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）
主題
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步驟2：將標(biāo)桿沿著的方向平移到點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交直線于點(diǎn)，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）

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