1．（4分）截止至2025年3月9日，我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒2之魔童鬧?！吩谌蚩偲狈恳殉^148億元，“148億”用科學(xué)記數(shù)法表示是
A．B．C．D．
2．（4分）上海軌道交通市域鐵路機(jī)場(chǎng)聯(lián)絡(luò)線于2024年12月27日開通，它是中國(guó)國(guó)內(nèi)首條與國(guó)鐵網(wǎng)絡(luò)互通互聯(lián)的市域鐵路示范線．隨著各地地鐵路網(wǎng)越來越密集，不同城市都有屬于這個(gè)城市的地鐵獨(dú)有的標(biāo)志．在下列四個(gè)標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是
A．上海市域鐵路B．上海地鐵C．南京地鐵D．杭州地鐵
3．（4分）小王的媽媽即將出國(guó)旅行．出發(fā)前，小王幫媽媽查詢了當(dāng)?shù)氐臍鉁?，抵達(dá)目的地當(dāng)日氣溫是華氏度，我國(guó)常用的攝氏溫標(biāo)和華氏溫標(biāo)滿足一次函數(shù)關(guān)系：，那么小王應(yīng)建議媽媽抵達(dá)目的地時(shí)穿
A．春季服裝B．夏季服裝C．秋季服裝D．冬季服裝
4．（4分）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是
A．若，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
5．（4分）下列事件中，屬于確定事件是
A．郭老師在彩票站買了一張彩票恰好中大獎(jiǎng)
B．胡老師打開微信時(shí)恰好有一條未讀信息
C．小張同學(xué)在籃球比賽時(shí)第一次投籃剛好打進(jìn)
D．小楊同學(xué)從裝滿紅球的袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是黃球
6．（4分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，以點(diǎn)為圓心，2為半徑長(zhǎng)作，以點(diǎn)為圓心作，如果點(diǎn)在內(nèi)而點(diǎn)在外，并且與外切，那么可以作為半徑長(zhǎng)的值是
A．3.5B．4C．4.5D．5
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計(jì)算： ．
8．（4分）因式分解： ．
9．（4分）函數(shù)的定義域是 ．
10．（4分）計(jì)算： ．
11．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的值是 ．
12．（4分）在不透明盒子中裝有6個(gè)白球和若干個(gè)其他顏色的球，這些球除顏色外完全相同，如果從中摸出一個(gè)球是白球的概率是，那么這個(gè)盒子里一共有 個(gè)球．
13．（4分）如圖，已知，如果，，那么的大小是 ．
14．（4分）隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增，繳稅數(shù)額也相應(yīng)遞增．已知該公司2022年繳稅25萬(wàn)元，2024年繳稅36萬(wàn)元，那么該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是 ．
15．（4分）如果一個(gè)正邊形的中心角大小是它內(nèi)角和的，那么的值是 ．
16．（4分）如圖，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ．
17．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將△沿翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊交對(duì)角線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，如果，那么的值是 ．
18．（4分）定義：我們把一個(gè)函數(shù)圖象上到兩條坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”．例如點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)“2階方點(diǎn)”；點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象的一個(gè)“3階方點(diǎn)”．如果點(diǎn)是一次函數(shù)的“2階方點(diǎn)”，那么的取值范圍是 ．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（9分）計(jì)算：．
20．（9分）下面是小明解不等式的過程．
（1）填空：小明的解題步驟存在一步或若干步錯(cuò)誤，則他所有錯(cuò)誤步驟的序號(hào)是 ；
（2）請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
21．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中，射線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且軸，連接．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）連接，如果，求△的面積．
22．（9分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：．
23．（11分）
24．（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)、與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，已知．
（1）求、的值；
（2）將拋物線平移，平移后得到新拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．
①如果平移后的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸與以為圓心，長(zhǎng)度為半徑的相切，求平移后新拋物線的解析式；
②在原拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分上取一點(diǎn)，使得，記點(diǎn)在新拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求平移后的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
25．（16分）在△中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，如果，求證：；
（2）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為半徑作，交線段于點(diǎn)．
①如圖2，如果點(diǎn)是△的重心，求的值；
②如圖3，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，如果平分，，，求的半徑長(zhǎng)．
參考答案
一．選擇題（共6小題）
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）截止至2025年3月9日，我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影《哪吒2之魔童鬧?！吩谌蚩偲狈恳殉^148億元，“148億”用科學(xué)記數(shù)法表示是
A．B．C．D．
解：148億．
故選：．
2．（4分）上海軌道交通市域鐵路機(jī)場(chǎng)聯(lián)絡(luò)線于2024年12月27日開通，它是中國(guó)國(guó)內(nèi)首條與國(guó)鐵網(wǎng)絡(luò)互通互聯(lián)的市域鐵路示范線．隨著各地地鐵路網(wǎng)越來越密集，不同城市都有屬于這個(gè)城市的地鐵獨(dú)有的標(biāo)志．在下列四個(gè)標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是
A．上海市域鐵路B．上海地鐵C．南京地鐵D．杭州地鐵
解：、該圖形是中心對(duì)稱圖形；
、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)點(diǎn)使圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合；
、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)點(diǎn)使圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合；
、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)點(diǎn)使圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與自身重合．
故選：．
3．（4分）小王的媽媽即將出國(guó)旅行．出發(fā)前，小王幫媽媽查詢了當(dāng)?shù)氐臍鉁?，抵達(dá)目的地當(dāng)日氣溫是華氏度，我國(guó)常用的攝氏溫標(biāo)和華氏溫標(biāo)滿足一次函數(shù)關(guān)系：，那么小王應(yīng)建議媽媽抵達(dá)目的地時(shí)穿
A．春季服裝B．夏季服裝C．秋季服裝D．冬季服裝
解：當(dāng)時(shí)，，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
即：抵達(dá)目的地時(shí)的攝氏溫度范圍是．
這個(gè)溫度范圍比較低，屬于冬季的溫度范圍．
故選：．
4．（4分）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是
A．若，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
解：由題意得，，
，
圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是若，則．
故選：．
5．（4分）下列事件中，屬于確定事件是
A．郭老師在彩票站買了一張彩票恰好中大獎(jiǎng)
B．胡老師打開微信時(shí)恰好有一條未讀信息
C．小張同學(xué)在籃球比賽時(shí)第一次投籃剛好打進(jìn)
D．小楊同學(xué)從裝滿紅球的袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是黃球
【解答】．郭老師在彩票站買了一張彩票恰好中大獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件；
．胡老師打開微信時(shí)恰好有一條未讀信息，是隨機(jī)事件；
．小張同學(xué)在籃球比賽時(shí)第一次投籃剛好打進(jìn)，是隨機(jī)事件；
．小楊同學(xué)從裝滿紅球的袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球恰好是黃球，是不可能事件，即是確定事件；
故選：．
6．（4分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，以點(diǎn)為圓心，2為半徑長(zhǎng)作，以點(diǎn)為圓心作，如果點(diǎn)在內(nèi)而點(diǎn)在外，并且與外切，那么可以作為半徑長(zhǎng)的值是
A．3.5B．4C．4.5D．5
解：矩形中，，，則，，
由勾股定理可得：，
過點(diǎn)作，則，，
即，，
，，
令與交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，
，，
，
由題意可得：
，即，
，
即的半徑的取值范圍為：，
故答案為：．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計(jì)算： ．
解：．
故答案為：．
8．（4分）因式分解： ．
解：．
故答案為：．
9．（4分）函數(shù)的定義域是 ．
解：函數(shù)有意義可得：
，
解得，
函數(shù)的定義域是，
故答案為：．
10．（4分）計(jì)算： 1 ．
解：原式．
11．（4分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的值是 ．
解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
△，
解得：．
故答案為：．
12．（4分）在不透明盒子中裝有6個(gè)白球和若干個(gè)其他顏色的球，這些球除顏色外完全相同，如果從中摸出一個(gè)球是白球的概率是，那么這個(gè)盒子里一共有 15 個(gè)球．
解：不透明盒子中裝有6個(gè)白球和若干個(gè)其他顏色的球，這些球除顏色外完全相同，摸出一個(gè)球是白球的概率是，
白球占小球總數(shù)的，
這個(gè)盒子里一共有（個(gè)．
故答案為：15．
13．（4分）如圖，已知，如果，，那么的大小是 ．
解：，，
，
，
所以的大小是，
故答案為：．
14．（4分）隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增，繳稅數(shù)額也相應(yīng)遞增．已知該公司2022年繳稅25萬(wàn)元，2024年繳稅36萬(wàn)元，那么該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是 ．
解：設(shè)該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是，由題意可得：
，
整理得，，
解得：，（舍去）；
該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是，
答：該公司這兩年繳稅的年平均增長(zhǎng)率是，
故答案為：．
15．（4分）如果一個(gè)正邊形的中心角大小是它內(nèi)角和的，那么的值是 8 ．
解：根據(jù)正邊形的中心角的度數(shù)為，內(nèi)角和為，
一個(gè)正邊形的中心角大小是它內(nèi)角和的，列出方程可得：
，
，（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
故答案為：8．
16．（4分）如圖，在梯形中，，，，已知，，那么用向量、表示 ．
解：如圖，取，連接，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
．
，，，
，，
，
△是等邊三角形，
，
，
．
，
．
故答案為：．
17．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將△沿翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊交對(duì)角線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，如果，那么的值是 ．
解：由題意可得如圖所示：
四邊形是正方形，
，，，
△△，△△，
，
設(shè)，，則有，，
由折疊的性質(zhì)可知：，
△△，
，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
；
故答案為：．
18．（4分）定義：我們把一個(gè)函數(shù)圖象上到兩條坐標(biāo)軸的距離都不大于的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“階方點(diǎn)”．例如點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象的一個(gè)“2階方點(diǎn)”；點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象的一個(gè)“3階方點(diǎn)”．如果點(diǎn)是一次函數(shù)的“2階方點(diǎn)”，那么的取值范圍是 ．
解：點(diǎn)是一次函數(shù)的“2階方點(diǎn)”，
，
，
解得：，
故答案為：．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（9分）計(jì)算：．
解：
．
20．（9分）下面是小明解不等式的過程．
（1）填空：小明的解題步驟存在一步或若干步錯(cuò)誤，則他所有錯(cuò)誤步驟的序號(hào)是 ①⑤ ；
（2）請(qǐng)你寫出正確的解答過程．
解：（1）第①步給兩邊乘以6時(shí)，不等式的右邊沒有乘，所以從第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
第⑤步兩邊同除以時(shí)，不等號(hào)的方向沒有改變，所以第⑤步也錯(cuò)誤；
故答案為：①⑤；
（2）原不等式去分母得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)得：，
合并同類項(xiàng)得：，
兩邊同除以得：．
21．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中，射線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且軸，連接．
（1）求直線的表達(dá)式；
（2）連接，如果，求△的面積．
解：（1）軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
，
，
，
設(shè)直線的表達(dá)式為，
把代入，得，
，
直線的表達(dá)式為；
（2）如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，
，，
，
，，
軸，，
，
，
，
，
設(shè)，
，，
，
，
，
解得：或（不符合題意，舍去），
，，
，
，
軸，
△△，
，
，
△，
．
22．（9分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：．
【解答】證明：（1），
，
，
又，
，
，
△△，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）由（1）得四邊形是平行四邊形，，且，如圖，連接交于點(diǎn)，
，△△，
，即，
，即，
，
，
即：，
四邊形是菱形，
．
23．（11分）
解：【探究1】，
△與△是直角三角形，
在△和△中，
，
△△，
如果，那么△與△一定全等，理由是：；
故答案為：一定，；
【探究2】△與△一定全等；
證明：如圖1，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，
，
，
即，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△和△中，
，
△△；
【探究3】①如圖2，即為所求；
②當(dāng)，時(shí)，如圖3，顯然由可知，△△，
，，
，
此時(shí)；
以為圓心，長(zhǎng)為半徑，畫弧另一邊只有一個(gè)交點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑，畫弧另一邊只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖4，
此時(shí)畫出的三角形是唯一確定的，
此時(shí)，，
△△，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，顯然作出的三角形也是唯一確定的，那么△與△一定全等，
綜上，當(dāng)或時(shí)，△與△一定全等，
故答案為：或．
24．（15分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)、與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，已知．
（1）求、的值；
（2）將拋物線平移，平移后得到新拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．
①如果平移后的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸與以為圓心，長(zhǎng)度為半徑的相切，求平移后新拋物線的解析式；
②在原拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分上取一點(diǎn)，使得，記點(diǎn)在新拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求平移后的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解：（1）令時(shí)，，即，，
，
，
，，
將，代入，
得：，
解得：，
即，；
（2）①設(shè)平移后的解析式為，且經(jīng)過，
，即：；
令，則，即：，
又在軸負(fù)半軸，則，即，
，，
平移后的對(duì)稱軸為直線，
它的對(duì)稱軸與以為圓心，長(zhǎng)度為半徑的相切，
，即，
解得：，則，
平移后新拋物線的解析式；
②連接交軸于，
由（1）可知原拋物線的解析式為，
，
，則，
，則，
，即，
設(shè)直線的解析式為，代入，，
得：，解得：，
直線的解析式為，
可得：，
解得：或，
，
過點(diǎn)作，則軸，
，
設(shè)，則，
新拋物線是由原拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
即，新拋物線解析式為：，
又，
，則，
解得：，（舍去），
平移后的新拋物線解析式為：，
新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
25．（16分）在△中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，如果，求證：；
（2）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度為半徑作，交線段于點(diǎn)．
①如圖2，如果點(diǎn)是△的重心，求的值；
②如圖3，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)，如果平分，，，求的半徑長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
，
（2）解：①過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：
，
點(diǎn)是△的重心，
是△的中線，且，
，，
設(shè)，則有，，
，，
；
②平分，
，
，且，
△△，
，
，
，
，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示：
，
，
，
，
△△，
，，
，
，
△△，
，
設(shè)，則有，，
，，
，
，
，
解得：或（舍去），
，
即的半徑長(zhǎng)為．
解：去分母得：
①
去括號(hào)得：②
移項(xiàng)得：③
合并同類項(xiàng)得：④
兩邊同除以得：．⑤
兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不能全等嗎？
在學(xué)完全等三角形的判定后，我們知道判定兩個(gè)三角形全等的方法有：、、、以及共五種，而、都不能判定兩個(gè)三角形全等．那么符合“”條件的兩個(gè)三角形一定不能全等嗎？下面我們來進(jìn)行一下探究．
【提出問題】
在△與△中，，，，判斷△與△是否全等？
【探究1】
填空：如圖，如果，那么△與△ （填“一定”、“不一定”或“一定不” 全等，理由是： ．
【探究2】
如圖，如果，那么△與△是否一定全等？如果全等，請(qǐng)證明；如果不全等，請(qǐng)畫出反例．
【探究3】
如圖，已知，
①如果，，那么這時(shí)△與△不一定全等，請(qǐng)利用尺規(guī)及圖中給定的長(zhǎng)度為4的線段，在圖中直接畫出滿足條件且兩個(gè)不全等的三角形；（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）
②填空：在①的條件下，改變、的長(zhǎng)度，設(shè)，如果△與△一定全等，那么的取值范圍是 ．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
答案
C．
A
D
A
D
C
解：去分母得：
①
去括號(hào)得：②
移項(xiàng)得：③
合并同類項(xiàng)得：④
兩邊同除以得：．⑤
兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不能全等嗎？
在學(xué)完全等三角形的判定后，我們知道判定兩個(gè)三角形全等的方法有：、、、以及共五種，而、都不能判定兩個(gè)三角形全等．那么符合“”條件的兩個(gè)三角形一定不能全等嗎？下面我們來進(jìn)行一下探究．
【提出問題】
在△與△中，，，，判斷△與△是否全等？
【探究1】
填空：如圖，如果，那么△與△ 一定 （填“一定”、“不一定”或“一定不” 全等，理由是： ．
【探究2】
如圖，如果，那么△與△是否一定全等？如果全等，請(qǐng)證明；如果不全等，請(qǐng)畫出反例．
【探究3】
如圖，已知，
①如果，，那么這時(shí)△與△不一定全等，請(qǐng)利用尺規(guī)及圖中給定的長(zhǎng)度為4的線段，在圖中直接畫出滿足條件且兩個(gè)不全等的三角形；（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）
②填空：在①的條件下，改變、的長(zhǎng)度，設(shè)，如果△與△一定全等，那么的取值范圍是 ．

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