（時間：120分鐘 滿分：150分 命題人：趙昕媛）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式化簡集合B，然后利用交集運算求解即可.
【詳解】因為，所以，解得或，
故或，又，所以.
故選：C
2. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復合函數(shù)“同增異減”的判斷法則求得對應(yīng)的的取值范圍即可得出結(jié)論.
【詳解】易知的定義域為，且函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；
根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得，解得；
顯然是的真子集，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.
故選：B
3. 函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【詳解】，
又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故選：B.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判斷出，，，即可求解.
【詳解】
，故；
，故，故.
故選：B.
5. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由條件推得函數(shù)的周期為4，結(jié)合函數(shù)的周期，即可求解.
【詳解】由，可得，
所以的周期為4，則．
故選：C.
6. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有2個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個交點，分、和，三種情況討論，結(jié)合導數(shù)的幾何意義與函數(shù)的圖象，即可求解.
【詳解】由題意，關(guān)于的方程有2個不相等的實數(shù)解，
即與的圖象有2個交點，如圖所示，

當，直線與圖象交于點，
又當時，，故直線與（）的圖象無公共點，
故當時，與的圖象只有一個交點，不合題意；
當，直線與曲線（）相切時，
此時與的圖象有2個交點，
設(shè)切點，則，又由過點，
所以，解得，所以；
當時，若，則，由，可得，
所以當時，直線與的圖象相切，
由圖得當時，直線與的圖象有2個交點．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
7 已知函數(shù)，則（ ）
A. 有三個極值點B. 有三個零點
C. 點是曲線的對稱中心D. 直線是曲線的切線
【答案】C
【解析】
【分析】求導后判斷單調(diào)性，從而求得極值點即可判斷A；利用單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理即可判斷B；令，得到是奇函數(shù)，是的對稱中心，再結(jié)合圖象的平移規(guī)律即可判斷C；由導數(shù)的幾何意義求得切線方程即可判斷D.
【詳解】對于A，由題，，
令得或，令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
所以是極值點，故A不正確；
對應(yīng)B，因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
對于C，令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
對于D，令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：C
8. 已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（ ）
A. B. 28C. D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計算即可.
【詳解】先作出的大致圖象，如下

令，則，
根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個不等根，
且有兩個整數(shù)根，有三個整數(shù)根，
結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時符合題意，
因為，當且僅當時取得等號，
又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
即，此時有兩個整數(shù)根或，
而要滿足有三個整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，
顯然只有符合題意，當時有，則，
解方程得的另一個正根為，
又，
此時五個整數(shù)根依次是，
顯然最大根和最小的根和為.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列導數(shù)運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用求導公式逐項判斷即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：ACD
10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓練，則（ ）
A. 甲乙不相鄰的不同排法有48種
B. 甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種
C. 甲乙不排在兩端的不同排法有36種
D. 甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合捆綁法逐一判斷即可.
【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項不正確；
B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有種，所以本選項正確；
C：甲乙不排在兩端的不同排法有種，所以本選項正確；
D：甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有種，所以本選項正確.
故選：BCD
11. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項ABD，利用不等式的性質(zhì)計算即可，選項C，因為可正可負，所以不容易化簡解決，一般當乘或除以一個不知正負的數(shù)，基本上錯誤，我們只需要找反例即可.
【詳解】因為，所以，故A正確；
因為，所以，故B正確；
因為，不妨令，得，此時，故C錯誤；
因為，所以，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某學校組織學生參加數(shù)學測試，成績的頻率分布直方圖如下，數(shù)據(jù)的分組依次是，則可估計這次數(shù)學測試成績的第40百分位數(shù)是_________．
【答案】65
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的定義求解.
【詳解】解：成績在的頻率是，
成績在的頻率為，
所以第40百分位數(shù)一定在內(nèi)，
所以這次數(shù)學測試成績的第40百分位數(shù)是，
故答案為：65
13. 若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.
【詳解】由得，，
故曲線在處的切線方程為；
由得，
設(shè)切線與曲線相切的切點為，
由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，
切線方程為，
根據(jù)兩切線重合,所以，解得.
故答案為：
14. 展開式中，的系數(shù)為__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.
【詳解】二項式的通項公式為，
所以的系數(shù)為，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】（1）極小值為，極大值為
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）對求導，分析單調(diào)性，再根據(jù)極值定義即可求解；
（2），對分，和討論單調(diào)性即可.
【小問1詳解】
.
所以x2時，，時，，
則在上遞減，在遞增，
所以的極小值為，極大值為.
【小問2詳解】
，
當時，，所以在上遞增，
當時，或時，；時，，
所以在上遞增，在上遞減，
當時，或時，；時，，
所以在上遞增；在上遞減．
16. 為踐行“更快更高更強”的奧林匹克格言，落實全民健身國家戰(zhàn)略.某校高三年級發(fā)起了“發(fā)揚奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動，經(jīng)過一段時間后，學生的身體素質(zhì)明顯提高.為了解活動效果，該年級對開展活動以來近6個月體重超重的人數(shù)進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如圖，根據(jù)上面的散點圖可以認為散點集中在曲線的附近，請根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)求出
（1）該年級體重超重人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗回歸方程系數(shù)的最終結(jié)果精確到；
（2）預(yù)測從開展活動以來第幾個月份開始該年級體重超標的人數(shù)降至10人以下.
附：經(jīng)驗回歸方程：中，，；參考數(shù)據(jù)：，，，
【答案】（1）
（2）從第十個月開始
【解析】
【分析】（1）由計算公式與參考數(shù)據(jù)，求出則可得回歸方程；
（2）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程建立不等式，解出不等式則可預(yù)測.
【小問1詳解】
由得，
由題意得，，
所以，
，
所以，
即y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為
【小問2詳解】
令，
所以，
又由于，所以解得，且，
所以從第十個月開始，該年級體重超標的人數(shù)降至10人以下.
17. 已知函數(shù)，，，且
（1）當且時，求不等式的解集；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求t的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）當時，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合一元二次不等式求解即可；
（2）解法一：分離參數(shù)，將原函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為且有根，設(shè)且，則，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解值域即可求解；
解法二：先判斷時，不合題意，當時，根據(jù)二次函數(shù)零點分布分類討論，列不等式組求解即可.
【小問1詳解】
當時，，又012?120Δ>0?10或t0?1

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