1. 已知，其中i為虛數(shù)單位，則（ ）
A 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則求，然后求模即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
故選：B.
2. 已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開目標(biāo)式，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.
【詳解】由題設(shè)，.
故選：B.
3. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，根據(jù)交集概念求出答案.
【詳解】，
又，所以.
故選：B
4. 設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，若，可得，故充分性成立?br>由，即，，可得，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5. 已知函數(shù)，若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最小值D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得出的圖象，再結(jié)合條件及圖象，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
圖象如圖所示，由，得到或（舍），
又在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，由圖知，，，
所以選項(xiàng)A，B和C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于利用基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求作出的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求解.
6. 函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】令，可解得，根據(jù)解的個(gè)數(shù)可得.
【詳解】，
令可得或(舍去)，
因?yàn)閰^(qū)間有2個(gè)根，所以在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
故選：A.
7. 在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據(jù)正弦定理得，
所以，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.
故選：C.
8. 石景山游樂園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約. “夢(mèng)想之星”摩天輪直徑約為86米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為18分鐘，配有42個(gè)球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙，甲、乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差6分鐘，這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為( )
A. 79米B. 157米C. 113米D. 189米
【答案】B
【解析】
【分析】先求摩天輪的角速度，從而得到兩人相差的角度，再建立人距離地面的高度關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)角之間的函數(shù)關(guān)系，從而得到所在的高度之和的函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最值.
【詳解】因?yàn)槟μ燧唲蛩傩D(zhuǎn)一周時(shí)間為18分鐘，所以摩天輪的角速度為，
又因?yàn)榧滓覂扇诉M(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差6分鐘，
所以兩人相差的角度為，
設(shè)第二個(gè)人進(jìn)倉(cāng)后轉(zhuǎn)動(dòng)角時(shí)對(duì)應(yīng)的高度為，
因?yàn)槟μ燧喼睆郊s為86米，總高約100米，
所以摩天輪底部距離地面高度為14米，摩天輪半徑約為43米，
所以，
因?yàn)榧滓覂扇讼嗖畹慕嵌葹椋?br>所以甲乙兩人所在的高度之和為：，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)可得，
又根據(jù)題意可知，所以，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.
故選：B.
二、多選題（每題5分，共15分．全部選對(duì)分，選對(duì)但不全的得部分分，錯(cuò)選0分）
9. （多選）關(guān)于平面向量，，，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. B.
C. 若，則與的夾角為鈍角D.
【答案】AD
【解析】
【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積定義，運(yùn)算律,夾角概念逐個(gè)計(jì)算驗(yàn)證即可.
【詳解】
故選：AD.
10. 對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A. 與有相同的零點(diǎn)B. 與有相同的最大值
C. 與有相同的最小正周期D. 與的圖象有相同的對(duì)稱軸
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，
令，解得，即為零點(diǎn)，
顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸滿足，
的對(duì)稱軸滿足，
顯然圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對(duì)于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)?，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即?br>可得，即，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
三、填空題（每題5分，共15分．）
12. 已知向量，，滿足，，且，則____．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件依次求出、、，接著求出、和即可結(jié)合向量夾角余弦公式求解.
【詳解】由題，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案為：.
13. 若，，則___________
【答案】
【解析】
【分析】先由已知條件求出，然后利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可得到答案．
【詳解】，，
，
故答案為：．
14. 函數(shù)，其中表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．若，則函數(shù)的的值域?yàn)開_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①可由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域取整的概念即可直接求得答案；
②可得，再令，則，通過(guò)分析可得，則答案可求.
【詳解】①：由題意可得x2>0，所以，
解得或，即的定義域?yàn)椋?br>②：由題意得，，
令，則，
，，
而，
因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，由于，
所以，因此，
故答案為：；.
四、解答題（第15題10分，第16題10分，第17題12分，第18題12分，第19題14分)
15. 已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且．
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）求復(fù)數(shù)；
（3）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值，并求出方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根．
【答案】（1）
（2）
（3），，另一根為
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算求解；
（3）將代入方程運(yùn)算求出，代回方程求解.
【小問(wèn)1詳解】
，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
所以
【小問(wèn)3詳解】
若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則，
即，
所以
解得：，，
則，即，
所以方程另一根為．
16. 已知函數(shù).
（1）某同學(xué)利用五點(diǎn)法畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象.他列出表格，并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，請(qǐng)你幫他把表格填寫完整，并在坐標(biāo)系中畫出圖象；
（2）已知函數(shù).
①若函數(shù)的最小正周期為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；
②若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍(直接寫出結(jié)論).
【答案】（1）答案見詳解
（2）①； ②
【解析】
【分析】（1）令為可完善表格，描點(diǎn)可得圖象；
（2）①先求出的解析式，根據(jù)周期可得，然后可得單調(diào)區(qū)間；
②先求的范圍，再根據(jù)沒有零點(diǎn)列出限制條件，可得范圍.
【小問(wèn)1詳解】
表格填寫如下：
圖象如下：
【小問(wèn)2詳解】
①由題意，
，，即.
令,解得.
所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
②， 時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)零點(diǎn)，所以，解得，
所以的取值范圍為(0，1) .
17. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
（1）求的面積；
（2）若，求b．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
【小問(wèn)2詳解】
由正弦定理得：，則，則，.
18. 在銳角中，，，為角，，所對(duì)邊，且．
（1）求角；
（2）求周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；
（2）化邊為角，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)后，根據(jù)正切函數(shù)求值域即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
由正弦邊角關(guān)系，
即，
所以，
即，
可得，由可得，
由知．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，．
由正弦定理知，，
可得，，
故周長(zhǎng)為
．
由是銳角三角形知，，，即，．
又，故，，
，
故，，
所以，
故周長(zhǎng)的取值范圍是．
19. 我們學(xué)過(guò)二維的平面向量，其坐標(biāo)為，那么對(duì)于維向量，其坐標(biāo)為.設(shè)維向量的所有向量組成集合.當(dāng)時(shí)，稱為的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.設(shè)和為的“特征向量”， 定義.
（1）若，，且，，計(jì)算，的值；
（2）設(shè)且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；
（3）設(shè)，且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，且時(shí)，.寫出一個(gè)集合，使其元素最多，并說(shuō)明理由.
【答案】（1），；（2）4；（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義直接計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)題意，得僅有1個(gè)1或3個(gè)1，再分僅有1個(gè)1時(shí)，僅有3個(gè)1時(shí)，時(shí)，三種情況分類討論即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)時(shí)，，則，得只有3種情況，，且成對(duì)出現(xiàn)，從而可得出答案.
【詳解】解：（1），
；
（2）設(shè)，，，
時(shí)，為奇數(shù)，則僅有1個(gè)1或3個(gè)1，
時(shí)，為偶數(shù)，
①當(dāng)僅有1個(gè)1時(shí)，，為使為偶數(shù)，
則，即不同時(shí)為1，
此時(shí)，共4個(gè)元素，
②當(dāng)僅有3個(gè)1時(shí)，，為使為偶數(shù)，
則，即不同時(shí)為0，
此時(shí)，共4個(gè)元素，
③當(dāng)時(shí)，則，不符題意，舍去，
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為4；
（3），，
時(shí)，，則，
則只有3種情況，，且成對(duì)出現(xiàn)，
所以B中最多有個(gè)元素，.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的新定義及集合間的關(guān)系，考查了分類討論思想及分析問(wèn)題的能力，難度較大.
A
√
根據(jù)向量的運(yùn)算律可知，A正確
B
×
表示與向量共線的向量，表示與向量共線的向量，則與不一定相等
C
×
當(dāng)兩個(gè)非零向量與的方向相反時(shí)，，此時(shí)與的夾角為，不是鈍角
D
√
若與中至少有一個(gè)零向量，則，此時(shí)與共線；
若與均為非零向量，設(shè)與的夾角為，則，可得．
又，所以或，即與共線，反之也成立．
綜上，
聲源
與聲源的距離
聲壓級(jí)
燃油汽車
10
混合動(dòng)力汽車
10
電動(dòng)汽車
10
40
x
0
0
2
0
0
x
0
0
2
0
-2
0

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