西安中學(xué)2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)(理科)試題一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在低小題詒出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，（    ）A.  B.  C.  D. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 給出如下四個命題：①若“ p且”為假命題，則p、q均為假命題；②命題若a > b ，則”的否命題為“若，則”；③的否定是；④“ a = 1 "是“函數(shù)的最小正周期為”的充要條件；其中正確的命題的個數(shù)是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，則（    ）A. 35 B. 40 C. 45 D. 505. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減的函數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)經(jīng)過五年產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和優(yōu)化，經(jīng)濟(jì)收入比調(diào)整前翻了兩翻，為了更好的了解該開發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該開發(fā)區(qū)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前后的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅狀圖，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）①產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后節(jié)能環(huán)保的收入與調(diào)整前的總收入一樣多②產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后科技研發(fā)的收入增幅最大③產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后紡織服裝收入相比調(diào)整前有所降低④產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工收入超過調(diào)整前紡織服裝的收入A. ②③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④7. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征，函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 8. 已知，則=（    ）A.  B.  C.  D. 9. 已知函數(shù)，有兩個相鄰的極值點(diǎn)分別為和，為了得到函數(shù)的圖象，只需將圖象A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度10. 實(shí)數(shù)中的最大值和最小值分別為（    ）A ， B. ， C. ， D. 11. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是A.  B.  C.  D. 12. 如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)，分別在邊，上，且，．若有，則在正方形的四條邊上，使得成立的點(diǎn)有（    ）個．A. 2 B. 4 C. 6 D. 0二、填空題:本大題共4小題，每小題5分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.13. 已知向量，，若與垂直，則m=______14. 設(shè).則值為______15. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問畢業(yè)會考數(shù)學(xué)成績，老師說：“你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，”看后甲對大家說：“我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則可以知道自己成績的同學(xué)是________.16. 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三解答題:木大題共6小題，一共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算陟驟17. 在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程(為常數(shù))，以O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與圓C的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長.18. 已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．19. 已知函數(shù)，.（1）解不等式；（2）對于，使得成立，求的取值范圍.20. 在銳角三角形ABC中，分別為角A，B，C的對邊，且.(1)求角C；(2)若，求的周長的取值范圍.21. 2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?/span>.某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值質(zhì)量指標(biāo)等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位：元）的關(guān)系如下表：質(zhì)量指標(biāo)值利潤（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）.22. 已知函數(shù)f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e為自然對數(shù)底數(shù)．（1）當(dāng)x＞0時，求證：f(x)≥g(x)＋2；（2）是否存在直線與函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象均相切？若存在，這樣的直線最多有幾條？并給出證明．若不存在，請說明理由．               西安中學(xué)2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)(理科)試題一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在低小題詒出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D3. 給出如下四個命題：①若“ p且”為假命題，則p、q均為假命題；②命題若a > b ，則”的否命題為“若，則”；③的否定是；④“ a = 1 "是“函數(shù)的最小正周期為”的充要條件；其中正確命題的個數(shù)是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C4. 已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，則（    ）A. 35 B. 40 C. 45 D. 50【答案】C5. 下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減的函數(shù)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A6. 某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)經(jīng)過五年產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和優(yōu)化，經(jīng)濟(jì)收入比調(diào)整前翻了兩翻，為了更好的了解該開發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該開發(fā)區(qū)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整前后的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的餅狀圖，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）①產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后節(jié)能環(huán)保的收入與調(diào)整前的總收入一樣多②產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后科技研發(fā)的收入增幅最大③產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后紡織服裝收入相比調(diào)整前有所降低④產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工的收入超過調(diào)整前紡織服裝的收入A. ②③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④【答案】D7. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征，函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D8. 已知，則=（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A9. 已知函數(shù)，有兩個相鄰的極值點(diǎn)分別為和，為了得到函數(shù)的圖象，只需將圖象A. 向左平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度 D. 向右平移個單位長度【答案】C10. 實(shí)數(shù)中的最大值和最小值分別為（    ）A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A11. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點(diǎn)，若，且，則面積的最大值是A.  B.  C.  D. 【答案】A12. 如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)，分別在邊，上，且，．若有，則在正方形的四條邊上，使得成立的點(diǎn)有（    ）個．A. 2 B. 4 C. 6 D. 0【答案】B二、填空題:本大題共4小題，每小題5分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.13. 已知向量，，若與垂直，則m=______【答案】714. 設(shè).則的值為______【答案】15. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問畢業(yè)會考數(shù)學(xué)成績，老師說：“你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，”看后甲對大家說：“我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則可以知道自己成績的同學(xué)是________.【答案】乙和丁16. 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】三解答題:木大題共6小題，一共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算陟驟17. 在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程(為常數(shù))，以O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與圓C的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為，求線段的長.【答案】（1）；（2）.（1）利用，把圓C的參數(shù)方程(為參數(shù))化為，即，∴，即.（2）設(shè)為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由，解得.設(shè)為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由，解得.∵，∴.∴.18. 已知函數(shù)．求函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．【答案】（1）；（2）函數(shù)，當(dāng)時,解得：，因此，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，，，的值域?yàn)?/span>．19. 已知函數(shù)，.（1）解不等式；（2）對于，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）解析：（1）由或或，解得或，∴的解集為.（2）當(dāng)時，；.由題意，得，即，即，∴，解得.∴的取值范圍是.20. 在銳角三角形ABC中，分別為角A，B，C的對邊，且.(1)求角C；(2)若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理可得到結(jié)果；（2）利用正弦定理將周長表示關(guān)于內(nèi)角A的三角函數(shù)，最后根據(jù)銳角三角形中角的范圍及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】(1)由已知及正弦定理可得，即，則，因?yàn)?/span>，所以． (2)因?yàn)?/span>，，所以由正弦定理得，則，的周長，在銳角三角形ABC中得，所以所以，所以，所以的周長．21. 2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻團(tuán)隊(duì)迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實(shí)現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當(dāng)?shù)鼐用袷杖?/span>.某企業(yè)引進(jìn)一條先進(jìn)食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進(jìn)行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值為，其質(zhì)量指標(biāo)等級劃分如下表：質(zhì)量指標(biāo)值質(zhì)量指標(biāo)等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)效益并及時調(diào)整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進(jìn)行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，將其質(zhì)量指標(biāo)值的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若從質(zhì)量指標(biāo)值的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（單位：元）的關(guān)系如下表：質(zhì)量指標(biāo)值利潤（元）試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大（參考數(shù)值：，）.【答案】（1）0.973；（2）分布列見解析，；（3）能盈利，當(dāng)時，每件產(chǎn)品的平均利潤達(dá)到最大【詳解】（1）設(shè)事件的概率為，則由頻率分布直方圖可得，1件產(chǎn)品為廢品的概率為，則.（2）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于85的產(chǎn)品中，的頻率為；的頻率為；的頻率為.故利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，的有4件，的有2件，的有1件.從這件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品，質(zhì)量指標(biāo)值的件數(shù)的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為012所以.（3）由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與利潤（元）的關(guān)系如下表所示（）：質(zhì)量指標(biāo)值利潤0.050.10.150.40.3故每件產(chǎn)品的利潤.則，令得，故當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得最大值，為.所以生產(chǎn)該產(chǎn)品能夠盈利，當(dāng)時，每件產(chǎn)品的利潤取得最大值元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是讀懂頻率分布直方圖，每個小矩形的面積代表每一組的頻率，準(zhǔn)確利用分層抽樣的特點(diǎn)，計算出質(zhì)量指標(biāo)值的有件，第三問的關(guān)鍵是讀懂題意，求出每件產(chǎn)品的平均利潤與的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求最值.22. 已知函數(shù)f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)x＞0時，求證：f(x)≥g(x)＋2；（2）是否存在直線與函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象均相切？若存在，這樣的直線最多有幾條？并給出證明．若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在兩條，證明見解析.【解析】【分析】（1）首先設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間得到，即證.（2）首先設(shè)直線與切于，與切于，，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線，又因?yàn)榍芯€又與相切，整理得到，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)即可證明有兩條直線與函數(shù)及的圖象均相切.【詳解】（1）設(shè)，，.因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，且，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).所以，，即證.（2）設(shè)直線與切于，與切于，.，，，所以切線為.因?yàn)?/span>，即，即.又因?yàn)?/span>，將，代入，得：，整理得.設(shè)，，因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，且時，，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).，又因?yàn)?/span>，，所以在上有兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，所以有兩條直線與函數(shù)及的圖象均相切.
   

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