時間：120分鐘 分值：150分 命題人：張政政 審題人：益利敏
一?單選題：本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先將集合、化簡，然后再利用交集、補集的概念求解．
【詳解】解：∵，
，，
∴，∴，
故選：.
【點睛】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題.
2. 小明?小紅兩人同時相約兩次到同一水果店購買葡萄，小明每次購買3千克葡萄，小紅每次購買50元葡萄，若這兩次葡萄的單價不同，則（ ）
A. 小明兩次購買葡萄的平均價格比小紅低
B. 小紅兩次購買葡萄的平均價格比小明低
C. 小紅與小明兩次購買葡萄的平均價格一樣
D. 兩次購買葡萄的平均價格無法比較
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意計算出兩人兩次購買葡萄的平均價格，再用均值不等式來比較大小即可.
【詳解】設(shè)兩次葡萄的單價分別為元/千克和元/千克，且，
則小明兩次購買3千克葡萄，平均價格為元/千克，
小紅兩次購買50元葡萄，平均價格為元/千克，
根據(jù)均值不等式有：，
由于，可知：，
所以有小紅兩次購買葡萄的平均價格比小明低，
故選：B.
3. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則在上的表達式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性求對稱區(qū)域解析式，再利用絕對值的意義，把分段函數(shù)又寫成含絕對值的函數(shù)即可.
【詳解】當(dāng)時，，即有，
再由是定義在上的奇函數(shù)，所以，
即有，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上可得：，
故選：C.
4. 設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的判別式求解二次不等式有解的充要條件，然后再分析充分條件是一個子集，從而作出判斷.
【詳解】由有解，可知：，解得，
由關(guān)于的不等式有解的一個充分不必要條件是的子集，
所以在四個選項中只有滿足，
故選：A.
5. 已知函數(shù)，設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后比較大小即可.
【詳解】顯然單調(diào)遞增，
，
故
所以
故選：B
6. 溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標(biāo)，在化學(xué)中，常用值來表示溶液的酸堿度．的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知A溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的值約為（參考數(shù)據(jù)：，）
A. 0.268B. 0.87C. 1.13D. 1.87
【答案】B
【解析】
【分析】由的計算公式及對數(shù)的基本運算求解即可.
【詳解】解：由題意得
.
.
故選：B
7. 若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.
【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以滿足的的取值范圍是，
故選：D.
【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.
8. 已知，若方程恰好有三個互不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】作出圖象，令，則結(jié)合圖象將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實根，且，或方程有兩個相等的根，從而可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
當(dāng)時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，
當(dāng)時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，
的圖象如圖所示，
令，則可化為，
要使方程恰好有三個互不相等的實根，
則方程有兩個不同的實根，且，或方程有兩個相等的根，
令，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，得，
綜上，或，
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問題，解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題自要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 若，則
C. 的最小值為
D. 若正數(shù)滿足，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題（特稱命題）的否定即可判斷A；根據(jù)集合間的包含關(guān)系可得，進而求解即可判斷B；由，令，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可判斷C；根據(jù)基本不等式即可求解判斷D.
【詳解】對于A，“”的否定是“”，故A正確；
對于B，令，解得或2，
當(dāng)時，，不滿足元素的互異性，不符合題意，
當(dāng)時，，滿足題意.
綜上所述，，故B正確；
對于C，由，
令，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則時，取得最小值為，
即的最小值為，故C錯誤；
對于D，由，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進而判斷各選項即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
而，則函數(shù)為奇函數(shù)，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由，則，所以，
即，，故AC正確，BD錯誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，，，，下列選項中正確的有（ ）
A. 函數(shù)、、都是偶函數(shù)
B. 若且，則
C. 若且，則+=1
D. 若，則
【答案】CD
【解析】
【分析】首先求出、、的解析式，再對各選項一一計算即可判斷；
【詳解】因為，，，，
所以，，，
所以的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不具有奇偶性，故A錯誤；
當(dāng)時，，即，即，
同理可得，所以，
當(dāng)時，，故B錯誤；
當(dāng)，即，
所以或，解得，（且），
，故C正確；
設(shè)，
因為，
所以，當(dāng)時，則，，，，
所以，，，則
當(dāng)時，同理可知，，故D正確.
故選：CD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題D選項的關(guān)鍵在于，解出、、、的值進行求解.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 化簡式子的值為__________.
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.
詳解】
.
故答案為：.
13. 有同學(xué)在研究函數(shù)的奇偶性時發(fā)現(xiàn)，命題“函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”可推廣為：“函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”.據(jù)此，對于函數(shù)，可以判定：（1）函數(shù)的對稱中心是_____；
（2）______．
【答案】 ①. ②. 3033
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，得到，令，判斷其是奇函數(shù)，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果；由解析式，先得到，推出所求式子等價于，即可得出結(jié)果.
【詳解】由得，
令，則，
即為奇函數(shù)；由題中命題可得，函數(shù)的對稱中心是；
由得，
則；
所以.
故答案為：；3033.
14. 已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用單調(diào)函數(shù)來求值域，再利用等式恒成立來研究值域的包含關(guān)系，從而可求參數(shù)范圍.
【詳解】由在區(qū)間單調(diào)遞增，可知此時函數(shù)值域為，
再由，
當(dāng)時，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時函數(shù)值域為，
因為，使得，
所以有，
即，解得，
由于此時，所以有，
當(dāng)時，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時函數(shù)值域為，
因為，使得，
所以有，
即，解得，
由于此時，所以有，
當(dāng)時，可知，
因為，所以對，總能使得，
即，滿足題意，
綜上所述可得：的取值范圍是.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知全集，集合，集合，集合.
（1）求；
（2）若，求實數(shù)m的取值范圍
【答案】（1）或；；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）解不等式確定集合．再由并集定義計算；
（2）由，得，根據(jù)包含關(guān)系按是否為空集分類討論求解．
【小問1詳解】
，
或．
∴或；
【小問2詳解】
由，得，
，即時，，滿足題意，
時，或，得或 ，即或，
綜上，或．
16. 已知函數(shù).
（1）若對任意，都有，則的解析式；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）若，求最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列出等量關(guān)系，由此求解出的值，則解析式可知；
（2）根據(jù)區(qū)間與對稱軸的關(guān)系列出不等式，由此求解出的取值范圍；
（3）分析對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解出.
【小問1詳解】
因為，
所以，
化簡得，且不恒為，
所以，所以，
所以；
【小問2詳解】
因為的對稱軸為，又在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，所以，
所以的取值范圍為；
【小問3詳解】
的對稱軸為，
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，所以，
綜上可知，.
17. 某科研機構(gòu)對某病毒的變異毒株在特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間T進行一次記錄，用x表示經(jīng)過單位時間的個數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個，得到如下觀測數(shù)據(jù)：
若該變異毒株的數(shù)量y（單位：萬個）與經(jīng)過x（）個單位時間T的關(guān)系有兩個函數(shù)模型（）與（，）可供選擇.
（1）判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
（2）求至少經(jīng)過多少個時間單位，該變異毒株的數(shù)量不少于一億個.
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】（1）（，）更合適，
（2）11
【解析】
【分析】（1）將和分別代入兩種模型求解析式，再根據(jù)的值，即可判斷.
（2）設(shè)至少需要x個單位時間，則令，解出不等式即可判斷.
【小問1詳解】
若選（），
將和代入可得，解得
所以，將代入，得；
若選（，），
將和代入可得，解得
所以，將代入，得；
所以選擇（，）更合適，解析式為.
【小問2詳解】
設(shè)至少需要x個單位時間，則令，即
兩邊同時取常用對數(shù)可得，
則.
，所以x的最小值為11.
故至少經(jīng)過11個單位時間該病毒的數(shù)量不少于1億個.
18. 設(shè)定義在上的奇函數(shù)且，
（1）求的值
（2）已知，函數(shù)，，求的值域；
（3）若，，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)即可.
（2）對給定函數(shù)合理變形，將其利用換元法變?yōu)槎魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.
（3）利用題意結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為絕對值不等式恒成立問題，再利用同時平方法化為一元二次不等式恒成立問題，求解參數(shù)范圍即可.
【小問1詳解】
是定義域為上奇函數(shù)，
，得到，解得，
經(jīng)檢驗，滿足題意，即的值為.
【小問2詳解】
，，即，
或舍去，
，
令，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上為增函數(shù)，
，，
由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，，
而，，的值域是，
故的值域是.
【小問3詳解】
由于，，
因為是奇函數(shù)，所以，
故，且定義域關(guān)于原點對稱，可得是偶函數(shù)，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
對任意恒成立，
即對任意恒成立，
左右同時平方得對恒成立.
，
解得，綜上可得取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)，解題關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對給定不等式化簡，然后將其化為一元二次不等式恒成立問題，再得到所要求的參數(shù)范圍即可.
19. 若函數(shù)與區(qū)間同時滿足：①區(qū)間為的定義域的子集，②對任意，存在常數(shù)，使得成立，則稱是區(qū)間上的有界函數(shù)，其中稱為的一個上界.（注：涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求最值可直接使用單調(diào)性，不需要證明）
（1）試判斷函數(shù)，是否為上的有界函數(shù)？并說明理由.
（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的有界函數(shù)，設(shè)在區(qū)間上的上界為，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)，問：在區(qū)間上是否存在上界？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）不是上的有界函數(shù)，是上的有界函數(shù)
（2）
（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義，分別計算出及的值域即可判斷；
（2）先求解函數(shù)的值域，進而求解的取值范圍，再根據(jù)有界函數(shù)的定義確定上界M的取值范圍；
（3）先求解函數(shù)及，再根據(jù)有界函數(shù)的定義，討論m取不同數(shù)值時，函數(shù)是否存在上界，并求解出對應(yīng)的上界范圍.
【小問1詳解】
，的值域為
不是上的有界函數(shù)；
，則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，
綜上可得，，
即有在上恒成立，
是上的有界函數(shù)；
【小問2詳解】
，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，∴，
所以上界構(gòu)成的集合為；
【小問3詳解】
，
當(dāng)時，，，此時的取值范圍是，
當(dāng)時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
其值域為，故，
此時的取值范圍是，
當(dāng)時，，若在上是有界函數(shù)，
則區(qū)間為定義域的子集，所以不包含0，
所以或，解得：或，
時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
此時的值域為，
①，即或時，
，此時的取值范圍是，
②，即時，
，此時的取值范圍是，
綜上：當(dāng)時，存在上界，；
當(dāng)或時，存在上界，；
當(dāng)時，存在上界，，
當(dāng)時，此時不存在上界．
【點睛】關(guān)鍵點點睛，本題關(guān)鍵點在于求出所給函數(shù)在對應(yīng)定義域范圍內(nèi)的值域，從而可結(jié)合定義，得到該函數(shù)是否為有界函數(shù).
X（T）
1
2
3
4
5
6
…
Y（萬個）
…
10
…
50
…
250
…

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