江蘇省連云港高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題(每題5分，共40分）
1. 已知直線的斜率為0，且直線，則直線的傾斜角為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率定義可判斷直線與軸平行，再由直線得解．
【詳解】因為直線的斜率為0，所以直線與軸平行，又直線，故直線的傾斜角為．
【點睛】本題考查了直線斜率與傾斜角的定義．
2. 已知直線和之間的距離是（）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行線間距離公式即可求解.
【詳解】直線可以轉(zhuǎn)化為，
由兩條平行直線間的距離公式可得.
故選：D
3. 圓和圓的位置關(guān)系是（）
A. 外離B. 相交C. 外切D. 內(nèi)含
【答案】C
【解析】
【分析】計算兩圓圓心之間的距離和半徑比較，即得答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑為3，
圓的圓心為0,3，半徑為2，
兩圓的圓心距為，所以兩圓外切.
故選：C
4. 已知圓與軸相切，則（）
A. 1B. 0或C. 0或1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一般式得圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，即可根據(jù)相切得求解.
【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)式為：，
故圓心為半徑為，且或，
由于與軸相切，故，
解得，或（舍去），
故選：D
5. 已知點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)中點在對稱直線上及與對稱直線垂直列方程求解.
【詳解】設(shè)，則，解得，.
故選：B
6. 已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（）
A. 8B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得的周長為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.
【詳解】橢圓的方程為，則，，，
連接，，
則由橢圓的中心對稱性可知，
可知為平行四邊形，則，
可得的周長為，
當(dāng)AB位于短軸的端點時，AB取最小值，最小值為，
所以周長為．
故選：C.
7. 已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．
【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．
故選：B．
8. 已知直線與曲線有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點，以及曲線，畫出直線與曲線的圖象，結(jié)合直線與圓相切和圖象，即可求解.
【詳解】由直線過定點，
又由曲線，可得，
作出曲線與直線的圖象，如圖所示，
因為直線，可得，
又由，解得，
若直線與曲線有公共點，則，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
二、多選題(每小題6分，本題18分)
9. 以下四個命題敘述正確的是（）
A. 直線在軸上的截距是1
B. 直線和的交點為，且在直線上，則的值是
C. 設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2
D. 直線，若，則或2
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.
【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；
對于B，由解得，即，則，解得，B正確；
對于C，依題意，，C正確；
對于D，當(dāng)時，直線重合，D錯誤.
故選：BC
10. 已知是圓上任一點，，則下列說法正確的是（）
A. 圓心的坐標(biāo)為B. 點在圓內(nèi)
C. 的最大值為D. 過的最短弦長是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由圓標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A，由點和圓的位置關(guān)系可判斷B，由圓外一點到圓的距離的最值可判斷C，由圓的幾何性質(zhì)可判斷D.
【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
圓心，如圖所示：
對于A：圓心C的坐標(biāo)為，故A正確；
對于B：因為，所以點在圓C外，故B錯誤；
對于C：因為，
所以，即，故C正確；
對于D：因為，所以點在圓內(nèi)，
當(dāng)弦垂直于時弦長最短，又，
最短弦長為，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（）
A. C的離心率為B.
C. 的最大值為D. 使為直角的點P有4個
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出，由離心率定義判斷A，由橢圓定義判斷B，由橢圓的幾何性質(zhì)判斷C，根據(jù)以線段為直徑的圓與橢圓交點個數(shù)判斷D.
【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，，故A錯誤；
由橢圓定義可知，故B正確；
由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；
易知以線段為直徑的圓（因為）與C有4個交點，故滿足為直角的點有4個，故D正確.
故選：BCD
三、填空題(每小題5分，本題15分)
12. 已知三點A，B，C在同一直線上，則實數(shù)的值是________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用三點共線與斜率的關(guān)系，斜率的計算公式.
【詳解】三點A，B，C在同一直線上，
，，解得.
故答案為：3.
13. 已知橢圓C的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，若為等腰三角形，則C的離心率為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用橢圓的性質(zhì)計算即可.
【詳解】不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為，
則，且根據(jù)橢圓的性質(zhì)易知，
所以，
顯然若為等腰三角形，則只能有，
即，
則.
故答案為：
14. 如果實數(shù)滿足等式，那么的最大值是________；的最大值是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合，以及直線與圓的位置關(guān)系、所求代數(shù)式的幾何意義逐一求解即可.
【詳解】由，得的幾何意義為圓上的動點到原點距離的平方．
因為圓心到原點的距離為，所以圓上的動點到原點距離的最大值為，
則的最大值是．
令，則是直線在軸上的截距，
當(dāng)直線與圓相切時，直線在軸上的截距，一個是最大值，一個是最小值，
此時，圓心到直線的距離，解得，
所以的最大值為．
故答案為：；.
四、解答題
15. 已知點和直線.
（1）若直線經(jīng)過點P，且，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過點P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）和
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由點斜式求解，
（2）根據(jù)分類討論，結(jié)合截距式即可代入點求解.
【小問1詳解】
由直線l的方程可知它的斜率為，因為，所以直線的斜率為2.
又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為：，即；
【小問2詳解】
若直線經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為，
代入可得，
若直線不經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為，
代入可得，故直線方程為.
綜上，直線的方程為和.
16. （1）橢圓C與橢圓C1:有相同的焦點，且經(jīng)過點M，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知橢圓的焦點分別是，，點在橢圓上，且，求點到軸的距離.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）確定橢圓焦點坐標(biāo)，根據(jù)橢圓定義求得，即得答案；
（2）設(shè)，可得，；由得，結(jié)合橢圓方程求出，即得答案.
【詳解】（1）橢圓C1：的焦點坐標(biāo)為，
所以橢圓C的焦點坐標(biāo)也為，即得焦距為，
∵橢圓C過點M，∴，
∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由橢圓方程得，，，

設(shè)，則，；
由得：（1）；
又點在橢圓上，可得（2）；
（1）（2）聯(lián)立消去得，，即；
故點到軸的距離是．
17. （1）已知點A，B的坐標(biāo)分別為，2,0，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程；
（2）如圖，已知圓和定點，P為圓O外一點，直線PQ與圓O相切于點Q，若，求點P的軌跡方程．
【答案】（1）；（2）0.
【解析】
【分析】設(shè)動點坐標(biāo)為，用坐標(biāo)表示動點滿足的條件，列出方程，化簡即可.
【詳解】（1）設(shè)Mx,y，則，，
，
化簡整理得，，
所以點的軌跡方程為：.
（2）設(shè)Px,y，依題意，則，
即，即，
整理得.
18. （1）求圓心在直線上，與直線相切于點的圓C的方程.
（2）若過點作圓的切線，求切線的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由圓的切線性質(zhì)求出直線的方程，進(jìn)而求出圓心的坐標(biāo)及圓半徑即可得解.
（2）按切線斜率存在與否分類討論，借助點到直線距離公式列式計算即得.
【詳解】（1）依題意，，則直線的斜率為，方程為，即，
由，解得，則圓圓心，，
所以所求圓的方程為：.
（2）圓的圓心，半徑，
當(dāng)切線的斜率不存在時，，點到切線的距離為2，不等于半徑，不滿足題意；
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)，即，
則，解得，
所以切線的斜率為.
19. 如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求的方程；
（3）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得的方程；
（3）將韋達(dá)定理代入中計算結(jié)果為定值.
【小問1詳解】
由題意得解得，
故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
由得，
由，得，
則.
，
解得或
當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去；
當(dāng)時，直線的方程為.
小問3詳解】
直線，均不與軸垂直，所以，則且，
所以
為定值.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多