一、單選題
1．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A．B．C．D．
2．某公園有東、南、西、北共4個大門供游客出入，小軍、小明從不同的大門進入公園游玩，游玩結束后，他們隨機地從其中一個大門離開，則他們恰好從同一個大門出去的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，且與夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命題中正確的是（ ）
A．點關于平面對稱的點的坐標是
B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則
C．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為
D．已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，若，則
6．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，設“甲中靶”，“乙中靶”，則（ ）
A．A與B，A與，與B，與都相互獨立
B．與是對立事件
C．
D．
7．已知平面和平面的夾角為，，已知A，B兩點在棱上，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，則的長度為（ ）
A．B．C．D．或
8．正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面上，且平面.線段長度的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A．與垂直B．與共線
C．與所成角為銳角D．，，，可作為空間向量的一組基底
10．已知事件，滿足，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．如果，那么
C．如果與互斥，那么D．如果與相互獨立，那么
11．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．是平面的一個法向量B．四點共面
C．D．
第II卷（非選擇題）
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三、填空題
12．已知，，點在軸上，且，則點的坐標為 .
13．在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為 .
14．某高校的入學面試中有3道難度相當?shù)念}目，李華答對每道題目的概率都是，若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的，則李華最終通過面試的概率為 .
四、解答題
15．已知正四面體的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點G為線段AF的中點.
(1)用，，表示；
(2)求的值.
16．已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍球的概率是．
(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；
(2)設置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．
17．已知空間三點，設．
(1)若，，求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與互相垂直，求k．
18．第22屆亞運會已于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行．為慶祝這場體育盛會的勝利召開，某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，a，b，通過初賽后，甲、乙、丙3位選手通過決賽的概率均為，假設他們之間通過與否互不影響．其中，甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為，乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為.
(1)求a，b的值；
(2)求這3人至少一人參加市知識競賽的概率；
(3)某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了獎勵方案：只參加了初賽的選手獎勵200元，通過了初賽并參加了決賽的選手獎勵500元．求三人獎金總額為1200元的概率．
19．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點.

(1)求證：.
(2)已知點在平面內(nèi)，且平面，試確定點的位置.
2023級二部高二10月份月考試題 數(shù)學參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件的概率關系即可計算求解.
【詳解】由題可知，，
又，所以，解得，
所以.
故選：D.
2．C
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，可求得小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的情況，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
【詳解】如圖，

由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的有4種等可能結果，
所以小軍、小明恰好從同一個出口出該公園的概率為，
故選：C．
3．B
【分析】運用空間向量平行坐標結論，結合坐標運算即可解.
【詳解】向量，則，
因，于是得，解得，
所以.
故選：B.
4．D
【分析】由題意且與不共線，利用向量共線和數(shù)量積的坐標運算求解.
【詳解】，
當時，有，解得，此時，與夾角為，
所以與夾角不可能為，
與夾角為銳角時，有，解得，
則實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
5．C
【分析】由空間點關于平面的對稱點的特點可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.
【詳解】對于A，點關于平面對稱的點的坐標是，A選項錯誤；
對于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，
，有，則或，B選項錯誤；
對于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，
則直線l與平面所成的角為，C選項正確；
對于D，已知O為空間任意一點，A，B，C，P四點共面，且任意三點不共線，
若，則，解得，D選項錯誤.
故選：C.
6．A
【分析】由獨立事件的定義以及乘法公式判斷AC，由對立事件的定義、互斥事件的概率公式判斷D.
【詳解】對于A：由于兩人射擊的結果沒有相互影響，
則A與B，A與，與B，與都相互獨立，故A正確；
對于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即與不是對立事件，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：
，故D錯誤；
故選：A
7．D
【分析】由題意可得二面角的大小為或，則或，將用，結合空間向量數(shù)量積的運算律即可得解.
【詳解】平面和平面的夾角為，則二面角的大小為或，
因為，所以或，
由題可知，
，
故或，
或．
故選：D.
8．C
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.
【詳解】
以為坐標原點，以分別為軸的正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，
則，則，
因為平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以當時，即是的中點時，取得最小值，
當或，即與點或重合時，取得最大值，
所以線段長度的取值范圍為.
故選：C
9．BC
【分析】對A：計算出即可得；對B：由向量共線定理計算即可得；對C：計算并判斷與是否共線即可得；對D：借助空間向量基本定理即可得.
【詳解】對A：，故與不垂直，故A錯誤；
對B：由、，有，故與共線，故B正確；
對C：，且與不共線，
故與所成角為銳角，故C正確；
對D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯誤.
故選：BC.
10．BCD
【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判斷各選項.
【詳解】A選項：當與相互獨立時，，A選項錯誤；
B選項：若，則，B選項正確；
C選項：與互斥，那么，C選項正確；
D選項：如果與相互獨立，那么，D選項正確；
故選：BCD.
11．AD
【分析】根據(jù)向量垂直，即可結合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長公式即可求解D.
【詳解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；
設，則，無解，所以四點不共面，故B錯誤；
，所以與不平行，故C錯誤；
，故D正確；
故選：AD.
12．
【分析】設出點P的坐標，利用兩點間距離公式列出方程即可得解.
【詳解】設點P的坐標為，
依題意得，解得，
所以點P的坐標為.
故答案為：
13．
【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計算，即可求解.
【詳解】由條件可得，，
所以在方向上的投影向量的坐標為
.
故答案為：
14．
【分析】利用相互獨立事件以及對立事件的概率公式計算即可.
【詳解】依題意，李華3道題都沒有答對的概率為，
所以李華最終通過面試的概率為.
故答案為：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)空間向量的基本定理，結合向量運算求得答案.
（2）利用空間向量的數(shù)量積運算律計算即得.
【詳解】（1）在正四面體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點G為線段AF的中點，
，
所以
.
（2）正四面體的棱長為1，則，
所以.
16．(1)盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；
(2)不公平，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題設的概率可得關于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.
（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.
【詳解】（1）設盒中紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍球為事件B，
則，
由己知得，解得，
所以盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2，1，1；
（2）由（1）知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2個，1個，1個，
用，表示紅球，用表示黃球，用表示藍球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗的樣本點，
則樣本空間，．
可得，
記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，
則，所以，
所以，
因為，所以此游戲不公平．
17．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)向量共線設出向量的坐標，由模長公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐標公式和向量的夾角公式即可得出；
（3）根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，結合向量的平方即為模的平方，計算即可得到k．
【詳解】（1）因為，
所以，又因為，
所以，又因為，
所以，
因此或；
（2）因為
所以與的夾角的余弦值為；
（3）因為與互相垂直，
所以
或.
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先計算出這三人各自能參加市亞運知識競賽的概率，再利用相互獨立事件的概率乘法公式計算即可；
（2）結合（1）問，利用對立事件的概率公式計算即可；
（3）計算出三人中有兩人通過初賽的概率，再利用概率的加法公式計算即可.
【詳解】（1）甲能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為；
乙能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為；
丙能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為；
由于他們之間通過與否互不影響,
所以甲乙兩人都能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率，
解得：，
乙丙都不能代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽的概率為，解得：，
（2）結合（1）問可知：這3人都不能代表A社區(qū)參加市知識競賽的概率:
，
所以這3人至少一人參加市知識競賽的概率為：.
（3）由題意可得：要使獎金之和為1200元，則只有兩人參加決賽，記“甲，乙，丙三人獲得的獎金之和為1200元”為事件B,
則.
19．(1)證明見解析
(2)點為的中點
【分析】（1）以D為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，再根據(jù)即可證明.
（2）設，根據(jù)平面PCB得到，，即可得到答案.
【詳解】（1）以D為坐標原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系（如圖），

設，則，，，，，，
所以，，
所以，
所以.
（2）因為平面PAD，設，
所以.
由（1），知，.
因為平面PCB，
所以，
，
所以，，
所以點G的坐標為，即點G為AD的中點.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
C
A
D
C
BC
BCD
題號
11









答案
AD









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