(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；
(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；
(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請(qǐng)說明理由．
2.（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3.(2022·山東省泰安市)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-4），其對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的另一交點(diǎn)為C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段OC上，且MN=3NC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
4.（2021·安徽中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．
5.（2021·四川資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．
6.（2021·江蘇中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；
（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
7.（2021·河南中考真題）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)．
（1）求和的值；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
8.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接，在第一象限內(nèi)將沿翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．
①若點(diǎn)在內(nèi)部（不包括邊），求的取值范圍；
②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使最大？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
9.（2021·青海中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

10.（2021·湖南中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
（3）判斷的形狀，試說明理由；
（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．
11.（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；
（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
12.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=43，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求35PC+PB的最小值．
13.（2020?達(dá)州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=12x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A、B兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點(diǎn)C（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，求MN+12ON的最小值．
專題19二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與線段問題）
1.（2022·江蘇揚(yáng)州）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為軸，高度dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：
(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；
(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；
(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1) ；
(2)20dm；
(3)能切得半徑為3dm的圓．
【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，表示在二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；
（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的周長(zhǎng)求最大值即可；
（3）為了保證盡可能截取圓，應(yīng)保證圓心H坐標(biāo)為（0，3），表示出圓心H到二次函數(shù)上個(gè)點(diǎn)之間的距離與半徑3進(jìn)行比較即可．
(1)
由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，
∵對(duì)稱軸為y軸，
∴b=0，將A、C代入得，a=，c=8
則二次函數(shù)解析式為，
如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為2m，
則P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為（m，2m）
代入二次函數(shù)解析式得，
，解得（舍去），
∴2m=，
則正方形的面積為；
(2)
如下如所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）
將x=n代入二次函數(shù)解析式，得
，
則EF=，
矩形DEFG的周長(zhǎng)為：2（DE+EF）=2（2n+）=，
當(dāng)n=2時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大周長(zhǎng)為20dm；
(3)
如下圖所示，為了保證盡可能截取圓，應(yīng)保證圓心H坐標(biāo)為（0，3），
則圓心H到二次函數(shù)上個(gè)點(diǎn)之間的距離為，
∴能切得半徑為3dm的圓．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
2.（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，從而可得與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．
(1)解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為．
(2)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，即，
將點(diǎn)代入得：，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(3)解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)，
這時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，
，即，恰好在對(duì)稱軸直線上，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)的值最小，即的值最小，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3.(2022·山東省泰安市)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，-4），其對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的另一交點(diǎn)為C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段OC上，且MN=3NC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，-4），
∴c=-4，
∵對(duì)稱軸為直線x=1，經(jīng)過A（-2，0），
∴?b2a=14a?2b?4=0，
解得a=12b=?1，
∴拋物線的解析式為y=12x2-x-4；
（2）①如圖1中，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，
∵A（-2，0），B（0，-4），
∴?2k+n=0n=?4，
解得k=?2n=?4，
∴直線AB的解析式為y=-2x-4，
∵A，C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴C（4，0），
設(shè)N（m，0），
∵M(jìn)N⊥x軸，
∴M（m，-2m-4），
∴NC=4-m，
∵M(jìn)N=3NC，
∴2m+4=3（4-m），
∴m=85，
∴點(diǎn)M（85，-365）；
②如圖2中，連接PQ，MN交于點(diǎn)E．設(shè)M（t，-2t-4），則點(diǎn)N（t，0），

∵四邊形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE=EP，NE=12MN，
∴PQ∥x軸，
∴E（t，-t-2），
∴NE=t+2，
∴ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2，
∴P（2t+2，-t-2），
∵點(diǎn)P在拋物線y=12x2-x-4上，
∴12（2t+2）2-（2t+2）-4=-t-2，
解得t1=12，t2=-2，
∵點(diǎn)P在第四象限，
∴t=-2舍去，
∴t=12，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（12，-5）．
4.（2021·安徽中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且，．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與拋物線交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）
【分析】
（1）根據(jù)對(duì)稱軸，代值計(jì)算即可
（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果
（3）先根據(jù)求根公式計(jì)算出，再表示出，=，即可得出結(jié)論
【詳解】
解：（1）由題意得：
（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，且
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
當(dāng)時(shí)，y1隨x1的增大而減小，
時(shí)，，時(shí)，
同理：時(shí)，y2隨x2的增大而增大
時(shí)，．
時(shí)，

（3）令

令

AB與CD的比值為
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對(duì)稱軸、函數(shù)的交點(diǎn)、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點(diǎn)的特點(diǎn)解題是重點(diǎn)
5.（2021·四川資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法即可得；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；
（3）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短求解即可得．
【詳解】
解：（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，解得，
，
則平移后的二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
，
軸，
，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短得：的最小值為，
由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
即，解得，
則，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．
6.（2021·江蘇中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸交于點(diǎn)F，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；
（3）已知點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)
【分析】
（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；
（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或，
設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
（3）∵l∥y軸，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，
∴∠EFC=∠NCG，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠CNE=∠EFC，
∴∠CNE=∠NCG，
∴NE∥FC，
∴四邊形NCFE是平行四邊形，
∵點(diǎn)N、F關(guān)于直線對(duì)稱，
∴∠NCE=∠FCE，
∵l∥y軸，
∴∠NCE=∠FEC，
∴∠FCE=∠FEC，
∴FE=FC，
∴=，解得：或（舍去），
∴CN=EF=，
∴ON=+3=，
∴N(0，)．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
7.（2021·河南中考真題）如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)．
（1）求和的值；
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集為或；（3）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．
【分析】
（1）把A(2，0)分別代入兩個(gè)解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，3)，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（3）畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．
【詳解】
解：（1）∵點(diǎn)A(2，0)同時(shí)在與上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得拋物線的解析式為，直線的解析式為，
解方程，得：．
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，3)，
觀察圖形知，當(dāng)或時(shí)，拋物線在直線的上方，
∴不等式>的解集為或；
（3）如圖，設(shè)A、B向左移3個(gè)單位得到A1、B1，
∵點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(-1，3)，
∴點(diǎn)A1 (-1，0)，點(diǎn)B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN為A A1、BB1相互平行的線段，
對(duì)于拋物線，
∴頂點(diǎn)為(1，-1)，
如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，
當(dāng)線段MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)(1，-1)時(shí)，線段MN與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)點(diǎn)M1的縱坐標(biāo)為-1，則，解得，
綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；能夠畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖象，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵
8.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接，在第一象限內(nèi)將沿翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．
①若點(diǎn)在內(nèi)部（不包括邊），求的取值范圍；
②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使最大？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
【分析】
（1）令x=0，令y=0分別代入，即可得到A，B的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出P的坐標(biāo)，即可；
（2）過點(diǎn)作于，易得，，又點(diǎn)，可得，，進(jìn)而即可求解；
（3）①把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，進(jìn)而即可求解；②作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接E交直線于點(diǎn)C，則CQ=C，此時(shí)最大．求出(4，1)，E(5，5)，從而得E的解析式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：（1）令x=0代入，y=6，
令y=0代入，x=4，
∴，，
∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
∴；
（2）過點(diǎn)作于，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)，
∴，，
∴，
∵點(diǎn)，
∴
∴，
即的長(zhǎng)為1；
（3）①，
∴其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，
又∵點(diǎn)在直線上
∴當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊）時(shí)，的取值范圍是；
②作點(diǎn)Q關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接E交直線于點(diǎn)C，則CQ=C，此時(shí)==E，最大．
∵，，P是Q的中點(diǎn)，
∴(4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
設(shè)E的解析式為：y=kx+b，則，解得：，
∴E的解析式為：y=4x-15，
聯(lián)立，解得：，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為．
答：存在點(diǎn)使最大，此時(shí)C的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一次函數(shù)，二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用軸對(duì)稱性，作出線段差的最大值，是解題的關(guān)鍵．
9.（2021·青海中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解集；
（3）點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線段，垂足為點(diǎn),當(dāng)時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）；（3）坐標(biāo)有或或
【分析】
(1)先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線中即可求出解析式；
(2)將不等式變形為,進(jìn)而得到二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方即可求解；
(3)先證明△PDQ為等腰直角三角形，進(jìn)而求出 ，再分類討論P(yáng)點(diǎn)在直線AB上方或下方進(jìn)而求解．
【詳解】
解：(1)當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)，點(diǎn)，
把，，，分別代入得
解得：，，，
∴該拋物線的解析式為．
(2)由不等式，
得，
由圖像可知，二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，
則不等式的解集為；
(3)如圖，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，
，
即，解得，
則，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，
，
即解得，
∴，
∴或，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有或或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圖像法解不等式及等腰直角三角形的性質(zhì)等，第(3)問中需要分類討論P(yáng)點(diǎn)位于直線AB上方或下方的情況．
10.（2021·湖南中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
（3）判斷的形狀，試說明理由；
（4）若點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且的半徑為，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由見解析；（4）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用待定系數(shù)法直接列方程組求解即可；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式，直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即可，再根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出AB解析式即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知為等腰三角形，再根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，求出三條線段的長(zhǎng)，利用勾股定理驗(yàn)證即可；
（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，在上取點(diǎn)，使，可證明，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系得，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)一步計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，且與軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)
∴，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：
將，代入得：
解這個(gè)方程組得
∵二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為
（2）∵點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，
∴，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：
解之得：
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為
（3）是等腰直角三角形，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，易知其坐標(biāo)為
∵的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，
∴，
且滿足
∴是等腰直角三角形
（4）如圖，以為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在圓周上，依題意知：
動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
在上取點(diǎn)，使，
連接，則在和中，
滿足：，，
∴，
∴，
從而得：
∴
顯然當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，由于，
且為等腰直角三角形，
則有，，
∴動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為：
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值轉(zhuǎn)換為線段長(zhǎng)度的最小值是解題的關(guān)鍵．
11.（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；
（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（34，34），將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式，即可求解；
（3）過點(diǎn)P作y軸額平行線交CD于點(diǎn)H，PH=?3x+3?（233x2?233x）=?233x2?33x+3，即可求解．
【解析】（1）將點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=?233b=?233c=0，
故拋物線的表達(dá)式為：y=233x2?233x；
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負(fù)半軸的夾角為60°，
故設(shè)CD的表達(dá)式為：y=?3x+b，而OB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（34，34），
將該點(diǎn)坐標(biāo)代入CD表達(dá)式并解得：b=3，
故直線CD的表達(dá)式為：y=?3x+3；
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，233x2?233x），則點(diǎn)Q（x，?3x+3），
則PQ=?3x+3?（233x2?233x）=?233x2?33x+3，
∵?233＜0，故PQ有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?14，27316）．
12.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=43，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求35PC+PB的最小值．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對(duì)稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點(diǎn)E（5?34t，t），點(diǎn)F(5?34t，2t?14t2)，可求EF的長(zhǎng)，由三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)可求解；
②根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面積公式可求解．
【解析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴D（2，0），
又∵tan∠CBD=43=CDDB，
∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 a=?49，
∴二次函數(shù)的解析式為 y=?49(x+1)(x?5)=?49x2+169x+209；
（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，
設(shè)直線BC的解析式為 y＝kx+b，
∴0=5k+b，4=2k+b.，
解得 k=?43，b=203.
即直線BC的解析式為 y=?43x+203，
令y＝t，得：x=5?34t，
∴點(diǎn)E（5?34t，t），
把x=5?34t 代入y=?49(x+1)(x?5)，得 y=t(2?t4)，
即F(5?34t，2t?14t2)，
∴EF=(2t?14t2)?t=t?t24，
∴△BCF的面積=12×EF×BD=32（t?t24）=?38(t2?4t)=?38(t?2)2+32，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△BCF的面積最大，且最大值為32；
②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，
∴sin∠ACD=ADAC=35，
過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=35PC，
∴35PC+PB=PG+PB，
過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，
∴線段BH的長(zhǎng)就是35PC+PB的最小值，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×6×4=12，
又∵S△ABC=12×AC×BH=52BH，
∴52BH=12，
即BH=245，
∴35PC+PB的最小值為245．
13.（2020?達(dá)州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y=12x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過A、B兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點(diǎn)C（﹣1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)M為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△MAB的面積最大時(shí)，求MN+12ON的最小值．
【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）分兩種情況討論，利用平行線之間的距離相等，可求OP解析式，EP''的解析式，聯(lián)立方程組可求解；
（3）過點(diǎn)M作MF⊥AC，交AB于F，設(shè)點(diǎn)M（m，12m2?32m﹣2），則點(diǎn)F（m，12m﹣2），可求MF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可求△MAB的面積＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求點(diǎn)M坐標(biāo)，過點(diǎn)O作∠KOB＝30°，過點(diǎn)N作KN⊥OK于K點(diǎn)，過點(diǎn)M作MR⊥OK于R，延長(zhǎng)MF交直線KO于Q，由直角三角形的性質(zhì)可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，則當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)K三點(diǎn)共線，且垂直于OK時(shí)，MN+12ON有最小值，即最小值為MP，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【解析】（1）∵直線y=12x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，﹣2），
設(shè)拋物線解析式為：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴拋物線解析式為：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2?32x﹣2；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)O作OP∥AB，交拋物線與點(diǎn)P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的兩個(gè)三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直線PO的解析式為y=12x，
聯(lián)立方程組可得y=12xy=12x2?32x?2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2?22y=1?2，
∴點(diǎn)P（2+22，1+2）或（2﹣22，1?2）；
當(dāng)點(diǎn)P''在直線AB下方時(shí)，在OB的延長(zhǎng)線上截取BE＝OB＝2，過點(diǎn)E作EP''∥AB，交拋物線于點(diǎn)P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且過點(diǎn)E（0，﹣4），
∴直線EP''解析式為y=12x﹣4，
聯(lián)立方程組可得y=12x?4y=12x2?32x?2，
解得x=2y=?3，
∴點(diǎn)P''（2，﹣3），
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（2+22，1+2）或（2﹣22，1?2）或（2，﹣3）；
（3）如圖2，過點(diǎn)M作MF⊥AC，交AB于F，
設(shè)點(diǎn)M（m，12m2?32m﹣2），則點(diǎn)F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2?32m﹣2）=?12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面積=12×4×[?12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，△MAB的面積有最大值，
∴點(diǎn)M（2，﹣3），
如圖3，過點(diǎn)O作∠KOB＝30°，過點(diǎn)N作KN⊥OK于K點(diǎn)，過點(diǎn)M作MR⊥OK于R，延長(zhǎng)MF交直線KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)K三點(diǎn)共線，且垂直于OK時(shí)，MN+12ON有最小值，即最小值為MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直線OK解析式為y=3x，
當(dāng)x＝2時(shí)，點(diǎn)Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值為3+32．

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