一、選擇題：本題共11小題，每小題5分，共55分。
1.已知某扇形的圓心角為80°，半徑為6cm，則該圓心角對應(yīng)的弧長為( )
A. 480cmB. 240cmC. 8π3cmD. 4π3cm
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=?i2+i?1?i3，則z?的虛部是( )
A. 1B. ?1C. iD. ?i
3.已知函數(shù)f(x)是(?∞,+∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2x?1，則f(2017)+f(2018)的值為( )
A. ?2B. ?1C. 0D. 1
4.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
①圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形； ②圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形；
③圓臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)梯形； ④棱錐的側(cè)面為三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知向量a，b滿足b=( 3,1)，b=λa(λ∈R)，且a?b=1，則λ=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
6.已知AB是圓O：x2+y2=1的直徑，C、D是圓O上兩點(diǎn)，且∠COD=60°，則(OC+OD)?AB的最小值為( )
A. 0B. ? 3C. ?3D. ?2 3
7.函數(shù)f(x)=1?ex1+ex?sinx的部分圖象大致形狀是( )
A. B.
C. D.
8.已知四邊形ABCD為矩形，AB=2AD=4，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，連接A1B，A1C，得到四棱錐A1?DEBC，M為A1C的中點(diǎn)，在翻折過程中，下列四個(gè)命題正確的序號是( )
①M(fèi)B//平面A1DE；
②三棱錐M?DEC的體積最大值為2 23；
③|MB|= 5；
④一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C；
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①②③④
9.已知向量a=(sinωx,sinωx?csωx)，b=(2 3csωx,sinωx+csωx)(ω>0).設(shè)函數(shù)f(x)=a?b(x∈R)，且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π2，則( )
A. f(x)=2sin(2x?π6)
B. (π3,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱中心
C. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?2π3,?π6)上單調(diào)遞減
D. 使f(x)>0成立的x的取值區(qū)間為[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z
10.已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的側(cè)棱長為3，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=π3,M為棱DD1上的一點(diǎn)，且MD=1,P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列命題正確的是( )
A. 若PM與平面ABCD所成的角為π4，則點(diǎn)P的軌跡與直四棱柱的交線長為2π3
B. 若點(diǎn)A到平面PDM的距離為 3，則三棱錐M?PAD 的體積的最大值為2 33
C. 若以D為球心的球經(jīng)過點(diǎn)M，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為4π9
D. 經(jīng)過B,C,M三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為4
11.若復(fù)數(shù)z=21+i，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是( )
A. z的虛部為?iB. |z|=2
C. z2為純虛數(shù)D. z的共軛復(fù)數(shù)為?1?i
二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若銳角α滿足1 tanα2= 2 3 tan10°+ tanα2，則角α的度數(shù)為______．
13.已知α∈(0,3π2),csα=35，tanα2= ______．
14.如圖，已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱長等于1，∠ABC=60°，O和O1分別是上下底面對角線的交點(diǎn)，H在線段OB1上，OH=3HB1，點(diǎn)M在線段BD上移動(dòng)，則三棱錐M?C1O1H的體積最小值為______．
三、解答題：本題共5小題，共60分。
15.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E、F分別為棱AD、SB的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：AF//平面SEC
(Ⅱ)求證：平面ASB⊥平面CSB
(Ⅲ)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，請說明理由．
16.已知函數(shù)f(x)=ln(e2x+1)?x．
(1)當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)?x?a存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)?(x)=ln(m?ex?2m)，若函數(shù)f(x)與?(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．
17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四邊形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB= 2,E,F是棱PD上的兩點(diǎn)，且PF=13PD．
(1)證明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若再從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求平面EAC與平面ACD所成二面角的大?。?br>①BF//平面ACE；
②三棱錐C?ABE的體積V= 336．
18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2a，2bsinA=asinC．
(Ⅰ)求csC的值；
(Ⅱ)求sin(2C?π3)的值．
19.在銳角△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=4，csA=35．
(1)若c=4，求△ABC的面積;
(2)求5b?3ccsC的值;
(3)求|AB+AC|?AB?AC的取值范圍．
參考答案
1.C
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.C
8.B
9.AC
10.AD
11.C
12.50°
13.12
14. 348
15.(I)證明：取SC中點(diǎn)G，連結(jié)FG，AF，EG，
∵F，G分別是SB，SC的中點(diǎn)，
∴FG//BC，F(xiàn)G=12BC，
∵底面ABCD是菱形，E是AD的中點(diǎn)，
∴AE//BC，AE=12BC，
∴FG//AE，F(xiàn)G=AE，
∴四邊形AFGE是平行四邊形，
∴AF//EG，又AF?平面SEC，EG?平面SEC，
∴AF//平面SEC．
(II)證明：∵△SAD是等邊三角形，E是AD的中點(diǎn)，
∴SE⊥AD，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是等邊三角形，又E是AD的中點(diǎn)，
∴AD⊥CE，又SE∩CE=E，SE、CE?平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，EG?平面SEC，
∴AD⊥EG，又四邊形AFGE是平行四邊形，
∴四邊形AFGE是矩形，
∴AF⊥FG，
又SA=AB，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，
∴AF⊥SB，
又FG∩SB=F，F(xiàn)G?平面SBC，SB?平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，
又AF?平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB．
(III)設(shè)AC、BD交于O點(diǎn)，假設(shè)棱SB上存在點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC，
連結(jié)MO，BE，
MO?平面MAC，則BD⊥OM，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，SAD為正三角形，
∴由余弦定理得BE= 7，SE= 3，BD=2OB=2 3，SD=2，SE⊥AD，
∵側(cè)面SAD⊥底面ABCD，側(cè)面SAD∩底面ABCD=AD，SE?側(cè)面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴SE⊥BE，∴SB= SE2+BE2= 10，
∴cs∠SBD=SB2+BD2?SD22SB?BD=3 3020，
∵△BOM為直角三角形，∴OBBM=3 3020，∴BM=2 103
∴BMBS=23．
16.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)?x，
當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)?x?a存在零點(diǎn)，
即a=ln(e2x+1)?2x在x∈[0,+∞)時(shí)有解，
設(shè)φ(x)=ln(e2x+1)?2x(x≥0)，
即φ(x)=ln(1e2x+1)，∵x≥0，10)，
得關(guān)于t的方程(m?1)t2?2mt?1=0有一正數(shù)解，
①當(dāng)m=1時(shí)，方程的解為t=?12，不合題意;
②當(dāng)m>1時(shí)，∵t1?t2=?1m?11．
17.(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，
因?yàn)锽D⊥PC，AC，PC?平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)镻A?平面PAC，所以BD⊥PA，
因?yàn)镻A=AB=1，PB= 2，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA，
因?yàn)锳B，BD?平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD，
因?yàn)镻A?平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．
(2)解：若選條件①，
記BD與AC交于點(diǎn)O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OE，
由BF//平面ACE，平面BFD∩平面ACE=OE，則BF//OE，
所以E為FD的中點(diǎn)，PE=23PD，
取棱CD的中點(diǎn)G，連接AG，則AB，AG，AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AG，AP的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(?12, 32,0)，P(0,0,1)，
所以AC=(12, 32,0)，PD=(?12, 32,?1)，AP=(0,0,1)，
因?yàn)镻E=23PD，所以PE=(?13, 33,?23)，
則AE=AP+PE=(?13, 33,13)，
設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，則n?AE=?13x+ 33y+13z=0n?AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,?1,2 3)，
平面ACD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，
設(shè)二面角E?AC?D的大小為θ，則二面角E?AC?D為銳角，
計(jì)算csθ=|cs|=|n?m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E?AC?D的大小為π6．
若選條件②，記點(diǎn)E到平面ABC的距離為?，
由VC?ABE=VE?ABC=13S△ACC??=13× 34×12×?= 336，
解得?=13，
由(1)知PA⊥平面ABCD，所以?=13PA，即PE=23PD，
取棱CD的中點(diǎn)G，連接AG，則AB，AG，AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AG，AP的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(?12, 32,0)，P(0,0,1)．
故AC=(12, 32,0)，PD=(?12, 32,?1)，AP=(0,0,1)．
因?yàn)镻E=23PD，所PE=(?13, 33,?23)，
則AE=AP+PE=(?13, 33,13)，
設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，則n?AE=?13x+ 33y+13z=0n?AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,?1,2 3)，
所以平面ACD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1)，
設(shè)二面角E?AC?D為θ，則二面角E?AC?D為銳角，
計(jì)算csθ=|cs|=|n?m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E?AC?D的大小為π6．

18.解：(1)因?yàn)?bsinA=asinC，
由正弦定理得：2ab=ac，即c=2b，
因?yàn)閎+c=2a，所以a=32b，
由余弦定理得：csC=a2+b2?c22ab=94b2+b2?4b22×32b×b=?14；
(2)由(1)知，csC=?14，因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC= 154，
所以sin2C=2sinCcsC=2× 154×(?14)=? 158，
cs2C=cs2C?sin2C=116?1516=?78，
所以sin(2C?π3)=sin2Ccsπ3?cs2Csinπ3=? 158×12?(?78)× 32=7 3? 1516．
19.解：(1)由余弦定理csA=b2+c2?a22bc=b8=35?b=245，
結(jié)合csA=35，得sinA=45，可知，
△ABC的面積S=12bcsinA=12×245×4×45=19225；
(2)因?yàn)閍=4，sinA=45，所以asinA=5，
由正弦定理b=5sinB，c=5sinC，
所以5b?3ccsC=25sinB?15sinCcsC，①
由于sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=45csC+35sinC，
代入①式可知：5b?3ccsC=(20csC+15sinC)?15sinCcsC=20；
(3)解法1：
設(shè)BC中點(diǎn)為D，則|AB+AC|=|2AD|=2|AD|，
AB?AC=(AD+DB)?(AD+DC)=(AD+DB)?(AD?DB)=AD2?DB2=|AD|2?4，
所以|AB+AC|?AB?AC=?|AD|2+2|AD|+4，
如下圖所示，
設(shè)△ABC的外接圓為圓O，由于△ABC為銳角三角形，
故點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為劣弧A1A2(不含端點(diǎn))，
由正弦定理知圓O的半徑r=52，故OD=rcsA=52×35=32，
設(shè)∠AOD=θ，則π?A

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