1.拋物線x=?2y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (0,?12)B. (?12,0)C. (?18,0)D. (0,?18)
2.已知經(jīng)過(guò)橢圓x225+y216=1的右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，則△AF1B的周長(zhǎng)為( )
A. 10B. 20C. 30D. 40
3.已知平面α的一個(gè)法向量n1=(1,2,x)，平面β的一個(gè)法向量n2=(?2,y,4)，若α//β，則x?y=( )
A. ?2B. ?4C. 2D. 4
4.已知圓C1：(x+1)2+(y?1)2=1與圓C2：x2+y2?4x?2y+5?a2=0(a>0)外切，則a的值為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.拋物線C：x2=4y的準(zhǔn)線為l，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到l與到直線2x?y?5=0的距離之和的最小值為( )
A. 3 55B. 4 55C. 5D. 6 55
6.已知橢圓y29+x24=1與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P(?1,1)為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是( )
A. 9x+4y?13=0B. 9x?4y+13=0
C. 4x?9y+13=0D. 4x?9y+3=0
7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為C在第一象限上的一點(diǎn).若△PF1F2為直角三角形，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，則C的離心率為( )
A. 32B. 3C. 2D. 52
8.已知點(diǎn)P是橢圓x29+y25=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. △F1PF2的面積為 3
B. 若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則MF1?MF2的最大值為9
C. 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為5 36
D. △F1PF2內(nèi)切圓的面積為π3
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知雙曲線Γ：x216?y29=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，M為Γ上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. 雙曲線Γ的離心率為45B. 雙曲線Γ的漸近線方程為y=±34x
C. 點(diǎn)F到漸近線的距離為4D. 直線MA與直線MB的斜率乘積為916
10.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ADC=120°，PD=AD，M，N分別是棱DC，PB的中點(diǎn)，則( )
A. MN= 3
B. AB?BP=?2
C. 平面PMN⊥平面PCD
D. 直線PB與平面PAD所成角的正弦值為 64
11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=? 3(x?1)過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，若直線l為C的準(zhǔn)線，則( )
A. p=4B. |MN|=163
C. 以MN為直徑的圓與l相切D. △OMN為等腰三角形
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知雙曲線C的方程為x27?m?y2m?3=1，則m的取值范圍為_(kāi)_____．
13.已知向量a=(x,1,?1)，b=(2,1,0)，|a|= 2，則a?b= ______．
14.已知P是橢圓x23+y2=1上動(dòng)點(diǎn)，則P點(diǎn)到直線l：x+y?2 3=0的距離的最大值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離和P到定直線l：x=8的距離的比是常數(shù)12，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)(4,3)，(?3, 152)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
16.(本小題15分)
已知直線l1：x+y?1=0與圓C：x2+y2?2ax?2y=0(a>0)交于A，B兩點(diǎn)，且∠CAB=30°．
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值；
(Ⅱ)若點(diǎn)P為直線l2：x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB的面積．
17.(本小題15分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，且AB=2，PA⊥PB.四棱錐P?ABCD的體積為43．
(I)證明：平面PAB⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
18.(本小題17分)
已知雙曲線C：x24?y2=1，M(m,2)，斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)M．
(1)若m=0，且直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；
(2)雙曲線C上有一點(diǎn)P，∠F1PF2的夾角為120°，求三角形PF1F2的面積．
19.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，且AF1?AF2=0，動(dòng)直線l與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)；當(dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)，|PQ|=2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)E(1,0)，橢圓的左頂點(diǎn)為B，當(dāng)△BPQ面積為 10時(shí)，求直線l的斜率k．
參考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.BC
12.(3,7)
13.1
14. 2+ 6
15.解：(1)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(2,0)的距離和P到定直線l：x=8的距離的比是常數(shù)12，
(x?2)2+y2|8?x|=12，即2 (x?2)2+y2=|8?x|，
兩邊平方得4(x2?4x+4+y2)=64?16x+x2，
整理得x216+y212=1．
(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1，雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,3)，(?3, 152)，
將(4,3)，(?3, 152)代入得：
16A+9B=19A+154B=1，解得A=14,B=?13，
所以雙曲線方程為x24?y23=1．
16.解：(Ⅰ)將圓C：x2+y2?2ax?2y=0(a>0)可化為(x?a)2+(y?1)2=a2+1，
所以其圓心C(a,1)，半徑r= a2+1，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
由垂徑定理可得D為AB的中點(diǎn)，
由∠CAB=30°可得CD=12AC=12r，
又CD=|a| 1+1=|a| 2= a2+12，
解得a=1；
(Ⅱ)由(1)可知CD= 22，
所以AB=2 3×CD= 6，
又直線l2：x+y+2=0與直線l1：x+y?1=0平行，
所以點(diǎn)P到AB的距離為d=|2+1| 1+1=3 22，
因此S=12AB?d=12× 6×3 22=3 32，
即△PAB的面積為3 32．
17.解：(I)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OP，因?yàn)锳B=2，PA⊥PB，
所以PO=12AB=1，
又四棱錐P?ABCD的底面是正方形，
所以SABCD=22=4，
設(shè)P到平面ABCD的距離為?，
則VP?ABCD=13?SABCD=13×?×4=43，
所以?=1，
所以PO=?，即PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)取CD的中點(diǎn)，連接OE，則OE/?/BC，即OE⊥AB，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(?1,2,0)，
所以DC=(2,0,0)，PC=(1,2,?1)，
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，
則n⊥DCn⊥PC，則n?DC=2x=0n?PC=x+2y?z=0，
取n=(0,1,2)，
又平面PAB的一個(gè)法向量為m=(0,1,0)，
設(shè)平面PAB與平面PCD夾角為θ，
則csθ=|m?n||m|?|n|=11× 5= 55，
所以平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為 55．
18.解：(1)當(dāng)m=0時(shí)，M(0,2)，
則直線l的方程為y=kx+2，
當(dāng)k≠±12時(shí)，聯(lián)立方程組x24?y2=1y=kx+2，
得(1?4k2)x2?16kx?20=0，
由直線和雙曲線相切的條件，可得Δ=(?16k)2?4?(1?4k2)?(?20)=0，
解得k=± 52；
雙曲線C：x24?y2=1的漸近線為y=±12x，
所以當(dāng)k=±12時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k=±12或k=± 52；
(2)由雙曲線C：x24?y2=1，
則F1(? 5,0)，F(xiàn)2( 5,0)，|F1F2|=2 5，
又點(diǎn)P在雙曲線上，即|PF1|?|PF2|=4，即(|PF1|?|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2?2|PF1|?|PF2|=16，
在△PF1F2中，由余弦定理cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2?|F1F2|22|PF1|?|PF2|，
即?12=16+2|PF1|?|PF2|?202|PF1|?|PF2|，
解得|PF1|?|PF2|=43，
所以△PF1F2的面積S△PF1F2=12|PF1|?|PF2|?sin∠F1PF2=12?43? 32= 33．
19.解：(1)易知橢圓C的上頂點(diǎn)A(0,b)，左，右焦點(diǎn)分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
所以AF1=(?c,?b)，AF2=(c,?b)，
因?yàn)锳F1?AF2=0，
所以AF1?AF2=?c2+(?b)2=0，
即b2=c2，
又a2?b2=c2，
所以a= 2b，①
因?yàn)楫?dāng)直線l過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)，|PQ|=2，
所以2b2a=2，②
聯(lián)立①②，
解得a=2，b= 2，
則橢圓方程為x24+y22=1；
(2)不妨設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
聯(lián)立x24+y22=1x=my+1，消去x并整理得(m2+2)y2+2my?3=0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=?2mm2+2，y1y2=?3m2+2，
則S△F1PQ=12|EB|?|y1?y2|=12×3× (?2mm2+2)2?4×?3m2+2= 10，
解得m=±1，
故直線的斜率為±1．

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