一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.數(shù)列{an}中，a1=?14，an=1?1an?1(n≥2)，則a2023的值為( )
A. ?14B. 45C. 5D. 54
2.已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a7=32，a6?a4=6，則a1=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
3.已知直線過點(1,2)，且在縱坐標上的截距為橫坐標上的截距的兩倍，則直線l的方程為( )
A. 2x?y=0B. 2x+y?4=0
C. 2x?y=0或x+2y?2=0D. 2x?y=0或2x+y?4=0
4.已知圓C1：x2+y2+4x?2y?4=0，圓C2：x2+y2+3x?3y?1=0，則這兩圓的公共弦長為( )
A. 2 3B. 2 2C. 2D. 1
5.已知方程y2m?3+x22?m=1表示焦點在x軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A. (?∞,2)B. (2,52)C. (3,+∞)D. (52,3)
6.若直線y=x+b與曲線x= 1?y2恰有一個公共點，則b的取值范圍是( )
A. [? 2, 2]B. [?1, 2]C. (?1.1]∪{ 2}D. (?1,1]∪{? 2}
7.設m∈R，圓M：x2+y2?2x?6y=0.若動直線l1：x+my?2?m=0與圓M交于點A，C，動直線l2：mx?y?2m+1=0與圓M交于點B，D，則|AC|+|BD|的最大值是( )
A. 30 3B. 2 30C. 20 3D. 3 30
8.“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈(射出的光錐視為圓錐)在墻上投影出兩個相同的橢圓(圖1)，光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面APB是等邊三角形，橢圓O1所在平面為α，PB⊥α，則橢圓O1的離心率為( )
A. 32
B. 63
C. 22
D. 33
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，且S9=S100C. S80)位于第一象限上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，∠F1PF2=2π3，點Q在∠F1PF2的平分線上，∠F1PF2的平分線與x軸交于點M，O為原點，OQ//PF1，且|OQ|=b，則下列結(jié)論正確的是( )
A. △PF1F2的面積為 3b2B. C的離心率為 55
C. 點P到x軸的距離為 3b2D. |OM|=2 5b5
12.已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和雙曲線x2a22?y2b22=1(a2>b2>0)的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=π3，則以下結(jié)論正確的是( )
A. b12=3b22B. a12?b12=a22?b22
C. e12+e22的最小值為1+ 32D. 14e12+14e22=1
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10=10，S20=30，則S40= ______．
14.已知直線l1：mx+3y?1=0，l2：2x+(m?1)y+1=0，若l1//l2，則實數(shù)m= ______．
15.設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且傾斜角為60°的直線與橢圓C交于A，B兩點，若|AB|=3|F1B|，則橢圓C的離心率為______．
16.已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，若C上存在三點P1，P2，P3，且F為△P1P2P3的重心，則△P1P2P3三邊中線長之和為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2=11，S10=40．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)當n為何值時，Sn最大，并求出Sn的最大值．
18.(本小題12分)
已知圓C的圓心在直線x+y?2=0上，且經(jīng)過點A(4,0)，B(2,2)．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線l過點P(4,3)且與圓C相切，求直線l的方程．
19.(本小題12分)
在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點A的坐標為(?4,2)，∠ACB的角平分線所在的直線方程為x?y+1=0，AC邊上中線BM所在的直線方程為2x+y?2=0．
(1)求點C的坐標；
(2)求直線BC的方程．
20.(本小題12分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線右支(且不在坐標軸上)，
(1)若雙曲線C與橢圓x24+y2=1有共同的焦點，且雙曲線C過點Q(2,1)，求該雙曲線的標準方程；
(2)若b=1，∠F1PF2=π3，求△F1PF2的面積．
21.(本小題12分)
已知動點M(x,y)到直線x=?3的距離比它到定點(2,0)的距離多1，記M的軌跡為Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)若過點D(4,4)的直線l與Γ相交于A，B兩點，且OA⊥OB，求直線l的方程．
22.(本小題12分)
已知A(?2,0)，B(2,0)，直線AM，BM交于點M，且直線AM，BM的斜率之積為?14，點M的軌跡記為曲線C．
(1)求C的方程．
(2)不過點N(0,1)的直線l與C交于P，Q兩點，且直線PN與QN的斜率之和為2，試問直線l是否過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
參考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ACD
12.AC
13.100
14.3
15.23
16.92
17.解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a2=a1+d=11S10=10a1+45d=40，
解得a1=13，d=?2，
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=13?2(n?1)，
即an=?2n+15．
(2)由(1)得Sn=(13?2n+15)n2=?n2+14n，
由二次函數(shù)的性質(zhì)得：
當n=7時，Sn最大，且最大值為49．
18.解：(1)因為圓心C在直線x+y?2=0上，所以設圓C的圓心C(a,2?a)，半徑為r(r>0)，
所以圓的方程為(x?a)2+(y+a?2)2=r2．
因為圓C經(jīng)過點A(4,0)，B(2,2)，
所以(4?a)2+(0+a?2)2=r2，(2?a)2+(2+a?2)2=r2．
解得a=2，r=2，所以圓C的方程為(x?2)2+y2=4；
(2)直線斜率存在時，設直線l的方程為y?3=k(x?4)，即kx?y+3?4k=0，
因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離d=|2k+3?4k| 1+k2=2，解得k=512，此時直線l的方程為5x?12y+16=0；
直線斜率不存在時，則直線l的方程為x=4，此時圓心到直線的距離d=2，符合題意，
綜上：直線l的方程為x=4或5x?12y+16=0．
19.(1)解：由題意可知點C在直線x?y+1=0上，設C(m,m+1)，
則AC中點M(m?42,m+32)，
又點M(m?42,m+32)在直線2x+y?2=0上，
可得m?4+m+32?2=0，解得m=3，
可得C(3,4)；
(2)解：由(1)可知C(3,4)，又A(?4,2)，
設直線BC的方程為：x+ny?3?4n=0，
則直線AC的方程為：2x?7y+22=0，
又∠ACB的角平分線所在的直線方程為x?y+1=0，
在直線x?y+1=0取點P(0,1)，

則點P到直線AC的距離等于點P到直線BC的距離，
即有15 53=|3+3n| 1+n2，整理得14n2+53n+14=0，
解得：n=?72或n=?27，
當n=?72時，所求方程即為直線AC的方程，
可得n=?27，
所求直線BC的方程為：7x?2y?13=0．
20.解：(1)雙曲線C與橢圓x24+y2=1有共同的焦點，可得c= 3，雙曲線C過點Q(2,1)，
可得4a2?1b2=1，a2+b2=3，解得a= 2，b=1，
雙曲線的標準方程為：x22?y2=1．
(2)設|PF1|=m，|PF2|=n，
由雙曲線的定義可得m?n=2a，
在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2=m2+n2?2mncs60°=(m?n)2+mn=4a2+mn，
可得mn=4b2，
則△F1PF2的面積S=12mnsinπ3= 3b2= 3．
21.解：(1)因為動點M(x,y)到直線x=?3的距離比它到定點(2,0)的距離多1，
所以動點M(x,y)到直線x=?2的距離等于它到定點(2,0)的距離，
則動點M(x,y)的軌跡是以(2,0)為焦點，x=?2為準線的拋物線，
故Γ的方程為y2=8x；
(2)設直線l的方程為x=t(y?4)+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立x=t(y?4)+4y2=8x，消去x并整理得y2?8ty+32t?32=0，
此時Δ>0，
由韋達定理得y1+y2=8t，y1y2=32t?32，
因為OA⊥OB，
所以OA?OB=x1x2+y1y2
=y128?y228+y1y2=y1y2(y1y264+1)=0，
解得y1y2=0或y1y2=?64，
則t=±1．
當t=1時，直線l的方程為x?y=0，不符合題意；
當t=?1時，直線l的方程x+y?8=0，符合題意．
故直線l的方程為x+y?8=0．
22.解：(1)由A(?2,0)，B(2,0)，設M(x,y)，
可得kAM=yx+2(x≠?2)，kBM=yx?2(x≠2)，
由題意，得kAM?kBM=yx+2?yx?2=?14，
整理得x24+y2=1(x≠±2)，
所以曲線C的方程為x24+y2=1(x≠±2)；
(2)設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
當直線l斜率不存在時，x1=x2，y1=?y2，
由直線PN與QN的斜率之和為2，
可得y1?1x1+y2?1x2=y1?1x1+?y1?1x1=?2x1=2，所以x1=?1，
此時直線l：x=?1，恒過定點(?1,?1)；
當l斜率存在時，設l：y=kx+m(m≠1)，
由y=kx+mx24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2?4=0，
則Δ=(8km)2?4(4k2+1)(4m2?4)>0，即4k2?m2+1>0，
x1+x2=?8km4k2+1,x1x2=4m2?44k2+1，
因為直線PN與QN的斜率之和為2，
所以y1?1x1+y2?1x2=2，
即(kx1+m?1)x2+(kx2+m?1)x1x1x2=2k+(m?1)(x1+x2)x1x2=2k?(m?1)?2kmm2?1=2，
即m2?km+k?1=0，整理得(m?1)(m+1?k)=0，
因為m≠1，所以m=k?1，
故直線l方程為y=kx+k?1=k(x+1)?1，恒過定點(?1,?1)；
綜上，直線l過定點(?1,?1)．

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