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(進群送往屆全部資料)增分微練6 推理、想象之創(chuàng)新思維試題 (時間:45分鐘)
1.設數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+an2,n=2,3,…,其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù).若an被正整數(shù)p除所得的余數(shù)為k,則記an≡k(md p),若數(shù)列中不同的兩項ai,aj被p除所得余數(shù)相同,則記ai≡aj(md p).
(1)直接寫出a2,a3,a4,a5;
(2)若an≡0(md 7),證明:a2n+1≡a2n≡a2n-1(md 7);
(3)證明:數(shù)列{an}中有無窮多項是7的倍數(shù).
2.[2023·北京清華附中期中] 設k是正整數(shù),集合A至少有2個元素,且A?N*.若對于A中的任意2個不同的元素x,y,都有|x-y|≠k,則稱A具有性質(zhì)P(k).
(1)試判斷集合B={1,2,3,4}和C={1,4,7,10}是否具有性質(zhì)P(2),并說明理由;
(2)若集合A={a1,a2,…,a12}?{1,2,…,20},求證:A不可能具有性質(zhì)P(3).
3.對于三維向量ak=(xk,yk,zk)(xk,yk,zk∈N,k=0,1,2,…),定義“F變換”:ak+1=F(ak),其中,xk+1=|xk-yk|,yk+1=|yk-zk|,zk+1=|zk-xk|.記=xkykzk,‖ak‖=xk+yk+zk.
(1)若a0=(3,1,2),求及‖a2‖;
(2)證明:對于任意a0,經(jīng)過若干次F變換后,必存在k∈N*,使得=0.

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