第五單元 平面向量與復(fù)數(shù)
第32講 平面向量的綜合問(wèn)題
會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.
1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用_______表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為_(kāi)___________;
(2)通過(guò)____________,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
2.三角形 “四心”的概念與性質(zhì)(1)重心——三角形的三條中線的交點(diǎn).(2)垂心——三角形的三條垂線的交點(diǎn).(3)內(nèi)心——三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心).(4)外心——三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心).
3.向量在物理中的應(yīng)用
(1)向量有著豐富的物理背景,如物理學(xué)中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量數(shù)量積的物理背景;向量加法的三角形和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成、速度的合成有著密切的聯(lián)系.
(2)用向量法解決物理問(wèn)題的一般步驟:①問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.②模型的建立:建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型.③參數(shù)的獲取:求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解.④問(wèn)題的答案:利用建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型,解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.
2.平面向量與平面幾何綜合的有關(guān)結(jié)論
◆ 索引:不理解各心的概念致誤.
探究點(diǎn)一 平面向量與三角形的“四心”
A.重心,外心,內(nèi)心B.重心,外心,垂心C.外心,重心,內(nèi)心D.外心,重心,垂心
[思路點(diǎn)撥](1)由三角形“四心”的性質(zhì)即可判斷出答案.
A.垂心B.外心C.內(nèi)心D.重心
探究點(diǎn)二 平面向量基本定理與數(shù)量積綜合問(wèn)題
(2)建立坐標(biāo)系,引入坐標(biāo)運(yùn)算,即把數(shù)量積通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求得最值.(3)基底表示,即把所求數(shù)量積的向量分別用已知“基底向量”來(lái)表示,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“基底向量”的數(shù)量積.
(4)通過(guò)幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的思想求得最值或范圍.
探究點(diǎn)三 平面向量數(shù)量積與構(gòu)圖
[總結(jié)反思]條件中的向量運(yùn)算結(jié)果如果可構(gòu)成特殊的幾何圖形(如直線或圓等),且所求向量問(wèn)題與幾何圖形中的某條線段或角相關(guān),可考慮利用幾何意義處理.
【備選理由】例1考查三角形垂心、外心的判斷與性質(zhì),考查平面向量的內(nèi)積運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及化歸轉(zhuǎn)化能力;例2考查平面向量基本定理、內(nèi)積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決具體問(wèn)題的能力;例3考查平面向量的模、內(nèi)積運(yùn)算、數(shù)形轉(zhuǎn)化等知識(shí),考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力.
A.矩形B.等腰梯形C.正方形D.菱形
A.14B.15C.16D.17
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