向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．
【典例】1 (1)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(A B,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，則△ABM與△ABC的面積之比等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
(2)在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．
【典例】2 (1)(2020·河北省石家莊一中質(zhì)檢)在△ABC中，D 為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝eq \f(1,2)EC，AE與BD交于點(diǎn)O，則eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))
(2)在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則4x＋y的最小值是________．
【方法總結(jié)】
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
(2)使用條件“兩條線段的交點(diǎn)”時(shí)，可轉(zhuǎn)化成兩次向量共線，進(jìn)而確定交點(diǎn)位置．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\專題二\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展訓(xùn)練】
1.如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，則(x，y)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,2)))
2．(2020·河北省石家莊二中調(diào)研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D為邊BC上一點(diǎn)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值為________．
3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均為正實(shí)數(shù))，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值為________．
培優(yōu)點(diǎn)8 向量共線定理的應(yīng)用
【方法總結(jié)】
向量共線定理可以解決一些向量共線，點(diǎn)共線問題，也可由共線求參數(shù)；對(duì)于線段的定比分點(diǎn)問題，用向量共線定理求解則更加簡(jiǎn)潔．
【典例】1 (1)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(A B,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，則△ABM與△ABC的面積之比等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案】 C
【解析】 ∵|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，∴3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up 6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→)).
設(shè)BC的中點(diǎn)為G，則eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up 6(→))＝2eq \(AG,\s\up6(→))，
∴3eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AG,\s\up6(→))，即eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AG,\s\up6(→))，
∴點(diǎn)M在線段AG上，且eq \f(\(|A M,\s\up6(→))|,\(|A G,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3).
∴eq \f(S△ABM,S△ABG)＝eq \f(|\(AM,\s\up6(→))|,|\(AG,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3)，易得eq \f(S△ABG,S△ABC)＝eq \f(|\(BG,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(S△ABM,S△ABG)·eq \f(S△ABG,S△ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，
即△ABM與△ABC的面積之比等于eq \f(1,3).
(2)在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為________．
【答案】 eq \f(1,4)
【解析】 方法一 ∵B，P，N三點(diǎn)共線，
∴eq \(BP,\s\up6(→))∥eq \(PN,\s\up6(→))，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(PN,\s\up6(→))(λ>0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))，
∵λ>0，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ) eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up 6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋λ)＝m，,\f(λ,1＋λ)＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,m＝\f(1,4).))
方法二 ∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up 6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵B，P，N三點(diǎn)共線，∴m＋eq \f(3,4)＝1，∴m＝eq \f(1,4).
【典例】2 (1)(2020·河北省石家莊一中質(zhì)檢)在△ABC中，D 為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝eq \f(1,2)EC，AE與BD交于點(diǎn)O，則eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))
【答案】 A
【解析】 如圖，設(shè)eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))(λ>0)，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)λeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)λeq \(AD,\s\up6(→)).
又B，O，D三點(diǎn)共線，∴eq \f(2,3)λ＋eq \f(2,3)λ＝1，
∴λ＝eq \f(3,4)，∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)在△ABC中，過中線AD的中點(diǎn)E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，設(shè)eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，則4x＋y的最小值是________．
【答案】 eq \f(9,4)
【解析】 由D為BC的中點(diǎn)知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，E為AD的中點(diǎn)，
故eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4x)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,4y)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M(jìn)，E，N三點(diǎn)共線，∴eq \f(1,4x)＋eq \f(1,4y)＝1，
∴4x＋y＝(4x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4x)＋\f(1,4y)))＝eq \f(y,4x)＋eq \f(x,y)＋eq \f(5,4)
≥2eq \r(\f(y,4x)·\f(x,y))＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4)，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(y,4x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \f(3,8)，y＝eq \f(3,4)時(shí)取等號(hào)．
∴4x＋y的最小值為eq \f(9,4).
【方法總結(jié)】
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
(2)使用條件“兩條線段的交點(diǎn)”時(shí)，可轉(zhuǎn)化成兩次向量共線，進(jìn)而確定交點(diǎn)位置．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飛燕\\e\\周飛燕\\2020\\二輪\\數(shù)學(xué)\\wrd\\專題二\\跟蹤演練.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展訓(xùn)練】
1.如圖，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，則(x，y)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,2)))
【答案】 C
【解析】 由題意得，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AE,\s\up6(→))，
∵B，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴x＋2y＝1，①
同理，eq \(AF,\s\up6(→))＝2xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
∵D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，∴2x＋y＝1，②
由①②得x＝y(tǒng)＝eq \f(1,3)，∴(x，y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))).
2．(2020·河北省石家莊二中調(diào)研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D為邊BC上一點(diǎn)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值為________．
【答案】 eq \f(9,2)
【解析】 ∵D為邊BC上一點(diǎn)，可設(shè)eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(A D,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋Beq \(D,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＝?1－λ?×9＋λ\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝6， ①,\(AC,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＝?1－λ?×\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＋9λ＝\f(15,2) ， ②))
①＋②得，9＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(27,2)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(9,2).
3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均為正實(shí)數(shù))，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值為________．
【答案】 eq \f(7＋4\r(3),4)
【解析】 設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，則eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,4)b＝－eq \f(3,4)a＋b.
設(shè)eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，則eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)λ))a＋λb.
因?yàn)閑q \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，所以1－eq \f(3,4)λ＝m，λ＝n，
消去λ得m＋eq \f(3,4)n＝1，
eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,4)n))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝1＋eq \f(3n,4m)＋eq \f(m,n)＋eq \f(3,4)≥eq \f(7,4)＋2eq \r(\f(3n,4m)·\f(m,n))＝eq \f(7＋4\r(3),4)，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝4－2eq \r(3)，n＝eq \f(8\r(3),3)－4時(shí)等號(hào)成立．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值為eq \f(7＋4\r(3),4).

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