2023.10
本試卷共4頁，100分.考試時長90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定義可求得集合.
【詳解】因為集合，，則.
故選：D.
2. 命題“”的否定為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩種特殊命題的否定即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定知，命題“”的否定為，
故選：A.
3. 已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，即方程組的解的個數(shù)，再聯(lián)立方程求解即可.
【詳解】由題意，即方程組的解的個數(shù)，即，解得或.故，則中元素的個數(shù)為2.
故選：B
4. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.
【詳解】或或；
；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 已知命題.若為假命題，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意為真命題，再根據(jù)一次函數(shù)恒成立性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意為真命題，故，恒成立，故，即.
故選：C
6. 設(shè)，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為對應(yīng)關(guān)系即可求解.
【詳解】因為，，又是的必要不充分條件，
所以，解得，經(jīng)檢驗滿足題意.
故選：D.
7. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原方程等價于，求解即可.
【詳解】解：因為，
解得或(舍)，
由，解得或，
所以原方程的解集為.
故選：C.
8. 要使二次三項式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解，為正整數(shù)，那么的取值可以有（ ）
A. 2個B. 3個C. 5個D. 6個
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)得，從而得到，再利用為正整數(shù)，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題可設(shè)，則，
所以，
又為正整數(shù)，所以都是負整數(shù)，
故或，此時；
或，此時；
，此時；
所以滿足題意的的取值有3個，
故選：B.
9. 已知，且，則的值為（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
分析】利用條件，得到，從而求出，進而求出集合，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，，所以，得到，
當時，由，解得或，所以，
故，得到，所以，
故選：C.
10. 設(shè)非空數(shù)集同時滿足條件：①中不含元素；②若，則.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 集合中至多有2個元素
B. 集合中至多有3個元素
C 集合中有且僅有4個元素
D. 集合中至少有5個元素
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可求出都在中，然后計算這些元素是否相等，繼而判斷的元素個數(shù)的特點.
【詳解】因若，則，所以，，
則，
當時，4個元素中，任意兩個元素都不相等，
所以集合中有且僅有4個元素，
故選：C
二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 已知集合有且只有兩個子集，則實數(shù)________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得為單元素集合，就分類討論后可得實數(shù)的值.
【詳解】因為有且只有兩個子集，故為單元素集合.
當時，，符合；
當時，則有即.
綜上，或.
故答案為：或.
【點睛】本題考查集合中元素個數(shù)與其子集個數(shù)之間的關(guān)系以及集合含義的正確理解，一般地，如果有限集中元素的個數(shù)為，那么其子集的個數(shù)為，對于集合，它表示方程的解的集合，討論含參數(shù)的方程的解的時，要考慮二次項系數(shù)是否為零.
12. 集合，，，則實數(shù)的取值范圍是___________
【答案】
【解析】
【分析】由，易得。
【詳解】由，可知。
故答案為：
【點睛】此題考查通過集合的并集求參數(shù)，屬于簡單題目。
13. 設(shè)、，則“”是“”的__________條件.（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可的結(jié)論.
【詳解】當時，；當時，.
所以，，
由可得，即“”“”，
取，，此時，，即“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要條件.
14. 若關(guān)于的方程組與的解集相等，則__________；__________.
【答案】 ①. ②. ##-0.5
【解析】
【分析】根據(jù)條件得的解，也是兩個方程組的解集，從而得到，進而可求出結(jié)果.
【詳解】因為方程組與的解集相等，
所以的解集也是它們的解集，
由，得到，
所以，解得，
故答案為：.
15. 1881年英國數(shù)學(xué)家約翰?維恩發(fā)明了Venn圖，用來直觀表示集合之間的關(guān)系.全集，集合的關(guān)系如圖所示，其中區(qū)域I，II構(gòu)成，區(qū)域II，III構(gòu)成.若區(qū)域I，II，III表示的集合均不是空集，則實數(shù)的取值范圍是__________.

【答案】
【解析】
【分析】由題意與交集不為空，且互不為包含關(guān)系，進而可得在與時的正負即可求解.
【詳解】由題意與交集不為空，且互不為包含關(guān)系，
故或，即無解或.
綜上有.
故答案為：
三?解答題：本大題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在①；②這兩個條件中任選一個，補充在橫線上，并解答．
已知集合．
（1）若，求；
（2）若________，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）化簡集合，根據(jù)集合的運算直接計算即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)條件分集合為空集與集合不為空集分別討論計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
，
當時，，所以或
所以或
【小問2詳解】
由(1)知，
若選①：由，得
當，即時，，符合題意；
當時，，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是
若選②：當時，，即；
當時，或
解得或不存在.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是
17. 已知命題：方程有兩個不相等的負實數(shù)根，命題：方程無實數(shù)根.
（1）若均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若中有一個真命題，一個是假命題，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次方程根的分布分別列式求解即可；
（2）分析“真假”和“真假”兩種情況分別求解即可.
【小問1詳解】
方程有兩個不相等的負實數(shù)根，則，解得.
方程無實數(shù)根，則，解得.
綜上有
【小問2詳解】
由（1），當真假時，，解得；
當真假時，，解得；
綜上有.
18. 已知、是方程的兩個實數(shù)根.
（1）求的取值范圍；
（2）求、.（結(jié)果用表示）
（3）是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2），
（3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得出且，可求出實數(shù)的取值范圍；
（2）根據(jù)韋達定理可得出、關(guān)于的表達式；
（3）根據(jù)結(jié)合韋達定理定理可得出關(guān)于的等式，求出的值，結(jié)合可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：因為、是方程的兩個實數(shù)根，
則，且，解得
所以，實數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
解：因為、是方程的兩個實數(shù)根，
由韋達定理可得，，
所以，，
.
【小問3詳解】
解：若存在實數(shù)，使，
即，解得，不合乎題意，舍去.
因此，不存在實數(shù)的值，使得.
19. 水果市場將120噸水果運往各地商家，現(xiàn)有甲，乙，丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車均滿載）
（1）若全部水果都用甲，乙兩種車型來運送，需運費8200元.問分別需甲，乙兩種車型各幾輛？
（2）市場可以調(diào)用甲，乙，丙三種車型參與運送（每種車型至少1輛），已知它們的總輛數(shù)為16，分別求出三種車型的輛數(shù).
【答案】（1）甲車型8輛，乙車型10輛
（2）甲，乙，丙三種車型分別為或
【解析】
【分析】（1）分別設(shè)出需甲車型輛，乙車型輛，再根據(jù)條件得到方程組，解方程組即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，根據(jù)條件得到，再利用均為整數(shù)這一條件即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，
由題得，解得，
所以需甲車型8輛，乙車型10輛.
【小問2詳解】
設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，丙車型輛，
由題得，，消得到，所以，
又均為正整數(shù)，得到或，
當時，，當時， ，
所以，甲，乙，丙三種車型分別為或.
20. 已知集合中的元素有個且均為正整數(shù)，將集合分成元素個數(shù)相等且兩兩沒有公共元素的三個集合，即，其中.若集合中元素滿足，則稱集合為“完美集合”.
（1）若集合，判斷集合和集合是否為“完美集合”？并說明理由.
（2）若集合為“完美集合”，求正整數(shù)的值以及相應(yīng)的集合.
【答案】（1）集合為“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由見解析.
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“完美集合”的定義判斷集合、，可得出結(jié)論；
（2）分析可知，則，可知集合中的另一個元素為，則為、、、、中的某個數(shù)，求出的可能取值，然后對的取值進行分類討論，結(jié)合“完美集合”的定義判斷即可得解.
【小問1詳解】
解：對于集合，取集合、、，則，
三個集合、、兩兩沒有公共元素，且，故集合為“完美集合”，
對于集合，若集合，則存在集合、、，
使得，，且，
記集合所有元素之和為，集合中所有元素之和為，集合所有元素之和為，
則，可得，
故集合不是“完美集合”.
【小問2詳解】
解：因為集合為“完美集合”，由（1）可知，則，
根據(jù)定義可知，為中的最大元素，故，
又因為集合中各元素之和為，
所以，集合中的另一個元素為，且為、、、、中的某個數(shù)，
所以，的可能取值有、、、、，
當時，則，或，滿足定義要求；
當時，則，或，滿足定義要求；
當時，則，或，滿足定義要求；
當或時，在、、、、中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)之和的最大值為，
此時，集合不是“完美集合”.
綜上所述，當時，或；
當時，或；
當時，或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察集合的新定義，解題時要緊扣“完美集合”的定義，分析集合元素之間的關(guān)系，解本題第（2）問的關(guān)鍵就是找出集合中的兩個元素，確定的可能取值，然后逐一結(jié)合定義分析討論求解.
車型
甲
乙
丙
汽車運載量（噸/輛）
5
8
10
汽車運費（元/輛）
400
500
600

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