1.半角公式
(1)公式Sα2:sin α2=±1-csα2;
(2)公式Cα2:cs α2=±1+csα2;
(3)公式Tα2:tan α2=±1-csα1+csα(符號(hào)由角的范圍確定).
2.常用的部分三角公式
(1)1-cs α= ,1+cs α= .(升冪公式)
(2)1±sin α= .(升冪公式)
(3)sin α=2tan α21+tan2α2,cs α= ,tan α= .(萬(wàn)能公式)
(4)asin α+bcs α= ,其中sin φ=ba2+b2,cs φ=aa2+b2.(輔助角公式)
3.三角恒等變換的基本技巧
(1)變換函數(shù)名稱:使用誘導(dǎo)公式.
(2)升冪、降冪:使用倍角公式.
(3)常數(shù)代換:如1=sin2α+cs2α=tan π4.
(4)變換角:使用角的代數(shù)變換、各類三角函數(shù)公式.
題組一 常識(shí)題
1.[教材改編] cs 75°-3sin 75°的值是 .
2.[教材改編] 已知f(x)=sin2x-12(x∈R),則f(x)的最小正周期是 .
3.[教材改編] 若cs α=23,α∈(0,π),則csα2的值為 .
題組二 常錯(cuò)題
◆索引:公式的結(jié)構(gòu)套用錯(cuò)誤;已知三角函數(shù)值求角時(shí)范圍不清致誤;asin α+bcs α
=a2+b2sin(α+φ)中φ的值確定錯(cuò)誤.
4.62(cs 15°+sin 15°)的值為 .
5.已知α,β均為銳角,且tan α=7,tan β=43,則α+β= .
6.3sin x-cs x=2sin(x-φ)中的φ= .
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
例1 (1)[2023·重慶巴蜀中學(xué)模擬] 化簡(jiǎn)1-cs160°2+1-sin160°的結(jié)果是( )
A.cs 10°
B.sin 10°
C.2sin 10°+cs 10°
D.2cs 10°-sin 10°
(2)[2023·河北邯鄲一中模擬] 化簡(jiǎn)tanπ4+α·cs2α2cs2π4-α的值為( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
總結(jié)反思
1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循的“三看”原則:
①一看“角”;②二看“函數(shù)名稱”;③三看“結(jié)構(gòu)特征”.
2. 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法:弦切互化,異名化同名,異角化同角,降冪或升冪.在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí),一般需要升次.
變式題 (1)已知α∈(0,π),化簡(jiǎn):
(1+sinα+csα)·csα2-sinα22+2csα= .
(2)化簡(jiǎn):2cs4x-2cs2x+122tanπ4-xsin2π4+x= .
三角函數(shù)式的求值
角度1 給值求值
例2 (1)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷] 已知sin(α-β)=13,cs αsin β=16,則cs(2α+2β)=( )
A.79B.19
C.-19D.-79
(2)[2023·江蘇南通一調(diào)] 已知sinα-π6+cs α=35,則cs2α+π3=( )
A.-725B.725C.-2425D.2425
總結(jié)反思
給值求值是指已知某個(gè)角的三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值)求與該角相關(guān)的其他三角函數(shù)值(或三角函數(shù)式的值)的問(wèn)題,解題關(guān)鍵是“變角”,使角相同或具有某種關(guān)系.
變式題 [2023·遼寧鞍山一模] 已知sinα+π3=13,則cs2α-π3=( )
A.-79B.79C.-29D.29
(2)設(shè)α為銳角,若csα+π6=45,則sinα+π6的值為 ,sin2α+π3的值為 .
角度2 給角求值
例3 (1)[2023·重慶渝中區(qū)六調(diào)] 2sin18°(3cs29°-sin29°-1)cs6°+3sin6°的化簡(jiǎn)結(jié)果為( )
A.12B.1C.2sin 9°D.2
(2)sin10°1-3tan10°=( )
A.1B.14C.12D.32
總結(jié)反思
該類問(wèn)題中給出的角一般都不是特殊角,需要通過(guò)三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?或者能夠正負(fù)相消,或者能夠約分相消,最后得到具體的值.
變式題 (1)計(jì)算:cs20°cs35°1-sin20°=( )
A.1B.2C.2D.3
(2)計(jì)算:cs 20°cs 40°cs 100°= .
角度3 給值求角
例4 已知csα+π3=3314,α∈0,π2.
(1)求cs α的值;
(2)若tan(α+β)=5311,β∈0,π2,求β的值.


總結(jié)反思
通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角,在選取函數(shù)時(shí)有以下原則:
(1)已知正切函數(shù)值,則選正切函數(shù).
(2)已知正、余弦函數(shù)值,則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是0,π2,則選正、余弦函數(shù)皆可;若角的范圍是(0,π),則選余弦函數(shù)較好;若角的范圍為-π2,π2,則選正弦函數(shù)較好.
變式題 (1)已知α,β∈(0,π),tan α與tan β是方程x2+33x+4=0的兩個(gè)根,則α+β=( )
A.π3B.2π3
C.4π3D.π3或4π3
(2)已知 sin α=210,cs β=31010,且α,β為銳角,則α+2β= .
三角恒等變換的綜合應(yīng)用
例5 已知向量m=-12,32,n=(2cs α,2sin α),0

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