1.復數(shù)的有關概念
(1)復數(shù)的概念
我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫作復數(shù),其中i叫作 ,a叫作復數(shù)的 ,b叫作復數(shù)的 .若 ,則a+bi為實數(shù);若 ,則a+bi為虛數(shù);若 ,則a+bi為純虛數(shù).
(2)復數(shù)相等:a+bi=c+di? (a,b,c,d∈R).
(3)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛? (a,b,c,d∈R).
(4)復數(shù)的模:向量OZ=(a,b)的模叫作復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的?；蚪^對值,記作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,兩個共軛復數(shù)的模相等,即|z|=|z|.
2.復數(shù)的幾何意義
(1)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)復平面內的點 (a,b∈R).
(2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O為坐標原點).
3.復數(shù)的運算
(1)復數(shù)的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= .(復數(shù)的加法滿足交換律、結合律)
②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= .
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= .(復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律)
④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)= (c+di≠0).
(2)復數(shù)加、減運算的幾何意義
復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義,即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2-OZ1.
常用結論
1.in(n∈N)的周期性:
①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
2.復數(shù)模的性質:
①|z|2=|z|2=z·z;②|z1·z2|=|z1|·|z2|;③z1z2=|z1||z2|(z2≠0);④|zn|=|z|n.
3.復數(shù)模的幾何意義:
①|z-z0|表示復數(shù)z對應的點與復數(shù)z0對應的點之間的距離;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
4.實系數(shù)一元二次方程虛根成對:若實系數(shù)一元二次方程有虛根,則兩根互為共軛復數(shù).
5.復數(shù)z的方程在復平面內表示的圖形
(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心,a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán).
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.
題組一 常識題
1.[教材改編] 若復數(shù)z=m2-1+(m-1)i為純虛數(shù),則m= .
2.[教材改編] 在復平面內,向量AB對應的復數(shù)是2+i,向量CB對應的復數(shù)是-1-3i,則向量CA對應的復數(shù)是 .
3.[教材改編] 已知復數(shù)z滿足2+3iz=1+i,則z= ,|z|= .
題組二 常錯題
◆索引:將復數(shù)a+bi(a,b∈R)的虛部誤認為是bi致誤;將復數(shù)在復平面內對應的點的位置弄錯致誤;錯用虛數(shù)單位i的冪的性質致誤;純虛數(shù)的概念掌握不牢致誤;不理解模的幾何意義致誤.
4.復數(shù)21+3i的虛部為 .
5.若復數(shù)z滿足z-1-i=2i,則z在復平面內對應的點在第 象限,其共軛復數(shù)在復平面內對應的點在第 象限.
6.復數(shù)z滿足(z-1)·i2025=1-2i(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復數(shù)為 .
7.已知復數(shù)z=1+ai3+i為純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位),則實數(shù)a= .
8.滿足1≤|z-1+i|≤3的復數(shù)z在復平面內對應的點構成的圖形的面積為 .
復數(shù)的概念
1.[2022·浙江卷] 已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位),則( )
A.a=1,b=-3
B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3
D.a=1,b=3
2.[2023·蘇州模擬] 已知復數(shù)z與(z+2)2+8i都是純虛數(shù),則z的共軛復數(shù)為( )
A.2B.-2
C.2iD.-2i
3.[2023·廣東惠州一模] 已知復數(shù)z滿足z(1+2i)=|4-3i| (其中i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的虛部為( )
A.-2B.-2i
C.1D.i
4.(多選題)[2024·山西大學附中月考] 若復數(shù)z滿足(-1+i)·z=1+5i(i是虛數(shù)單位),則下列說法正確的是( )
A.z的虛部為-3i
B.z的模為13
C.z的共軛復數(shù)為3-2i
D.z在復平面內對應的點位于第四象限
總結反思
復數(shù)的基本概念有實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)等,在解題時要注意將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),根據(jù)概念的不同,靈活使用條件得出符合要求的答案.
復數(shù)的幾何意義
1.[2023·北京卷] 在復平面內,復數(shù)z對應的點的坐標是(-1,3),則z的共軛復數(shù)z=( )
A.1+3iB.1-3i
C.-1+3iD.-1-3i
2.[2023·新課標Ⅱ卷] 在復平面內,(1+3i)(3-i)對應的點位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3.已知復數(shù)z滿足|z+1-2i|=1,則|z|的最大值為 .
4.設復數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|= .
總結反思
(1)復數(shù)z在復平面內對應的點Z和向量OZ相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),OZ=(a,b)相互一一對應.
(2)復數(shù)的幾何意義:復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標就是向量OZ的坐標,對于復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),其在復平面內對應的點的坐標是(a,b),復數(shù)的模即為其對應向量的模.
復數(shù)的四則運算
1.[2022·新高考全國Ⅱ卷] (2+2i)(1-2i)=( )
A.-2+4iB.-2-4i
C.6+2iD.6-2i
2.[2023·新課標Ⅰ卷] 已知z=1-i2+2i,則z-z=( )
A.-iB.i
C.0D.1
3.[2023·全國甲卷] 5(1+i3)(2+i)(2-i)=( )
A.-1B.1
C.1-iD.1+i
關注公眾號《全元高考》
微信搜索微信公眾號「全元高考」
后臺回復「網(wǎng)盤群」獲取最新最全初高中網(wǎng)盤資源（4000 G+）
掃碼加微信查看朋友圈最新資源
備用聯(lián)系方式QQ：2352064664
群文件全套無水印資料+更多精品網(wǎng)課在網(wǎng)盤群，高考路上必備!
最新最全高一高二高三試卷&九科全新一手網(wǎng)課&學科資料專輯&名校獨家資料
更新速度極快!
進群了就不用到處找資料了，一網(wǎng)打盡!
(進群送往屆全部資料)4.(多選題)[2024·九省聯(lián)考] 已知復數(shù)z,w均不為0,則( )
A.z2=|z|2
B.zz=z2|z|2
C.z-w=z-w
D.zw=|z||w|
5.在復數(shù)范圍內,2+i(i為虛數(shù)單位)是關于x的實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+1=0的一個根,則a+b= .
總結反思
(1)復數(shù)的加減法:在進行復數(shù)加減法運算時,可類比合并同類項,運用法則(實部與實部相加減,虛部與虛部相加減)計算即可.
(2)復數(shù)的乘法:復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可.
(3)復數(shù)的除法:除法的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.

相關試卷

05 第38講　數(shù)列的綜合問題 【正文】聽課高考數(shù)學練習：

這是一份05 第38講　數(shù)列的綜合問題 【正文】聽課高考數(shù)學練習，共8頁。

07 第27講　余弦定理、正弦定理 【正文】聽課高考數(shù)學練習：

這是一份07 第27講　余弦定理、正弦定理 【正文】聽課高考數(shù)學練習，共8頁。試卷主要包含了掌握正弦定理、余弦定理及其變形，面積公式等內容，歡迎下載使用。

05 第25講　三角函數(shù)的圖象與性質 【正文】聽課高考數(shù)學練習：

這是一份05 第25講　三角函數(shù)的圖象與性質 【正文】聽課高考數(shù)學練習，共8頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

05 第5講　一元二次方程、不等式 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習

05 第5講　一元二次方程、不等式 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習
03 第3講　等式與不等式 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習

03 第3講　等式與不等式 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習
02 第2講　常用邏輯用語 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習

02 第2講　常用邏輯用語 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習
01 第1講　集合 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習

01 第1講　集合 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部