雙數(shù)列問(wèn)題一般是指兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間有著緊密關(guān)系的問(wèn)題,其呈現(xiàn)類(lèi)型主要有奇偶項(xiàng)型、插項(xiàng)(公共項(xiàng)、去項(xiàng))型、雙交替遞推型等.
1.奇偶項(xiàng)型:一般是指數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)下標(biāo)為奇數(shù)、偶數(shù)而有所不同,即奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式不同.主要體現(xiàn)為以下幾種形式:(1)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)積或和問(wèn)題(an+an+1=f(n)或anan+1=f(n));(2)含有(-1)n的類(lèi)型;(3)含有{a2n },{a2n-1 }的類(lèi)型;(4)已知明確條件的奇偶項(xiàng)問(wèn)題.對(duì)于奇偶項(xiàng)問(wèn)題,一般分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究,運(yùn)用新數(shù)列的特征求解原數(shù)列.
2.插項(xiàng)(公共項(xiàng)、去項(xiàng))型:一般是指在一個(gè)給定數(shù)列中插入某些項(xiàng),或去掉(或取出)兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng),使之成為具有某種特征的新數(shù)列.求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),一般要借助原數(shù)列的性質(zhì)研究新數(shù)列的性質(zhì).
3.雙交替遞推型:其特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)由它們的首項(xiàng)和一般項(xiàng)之間相互聯(lián)系、相互制約、相互依存的遞推關(guān)系間接給出.
雙交替遞推數(shù)列問(wèn)題解題策略:
(1)代入消元法:即用兩個(gè)遞推式消去其中一個(gè)數(shù)列,得到另一個(gè)數(shù)列的遞推式;
(2)構(gòu)造法:對(duì)于一次遞推式,引入待定系數(shù)λ,通過(guò)構(gòu)造使得{an+λbn}為等比數(shù)列;
(3)對(duì)于不需要求出通項(xiàng)公式的情況,靈活處理方程組求解.
奇偶項(xiàng)問(wèn)題
例1 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù).
(1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求{an}的前20項(xiàng)和.


總結(jié)反思
解答與奇偶項(xiàng)有關(guān)的求和問(wèn)題的關(guān)鍵
(1)弄清n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)弄清數(shù)列前n項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù).
變式題1 [2023·浙江金麗衢十二校二聯(lián)] 設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=2an,n=2k,an+1,n=2k-1(k∈N*),a2是a1,a3的等比中項(xiàng).
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和.


變式題2 [2023·山東濟(jì)寧二模] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an-1+an+1=2an(n≥2,n∈N*),且a1=1,S5=15.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an,n為奇數(shù),2bn-1,n為偶數(shù),求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.


插項(xiàng)、公共項(xiàng)、去項(xiàng)問(wèn)題
例2 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn+12-Sn2=8n.
(1)求Sn;
(2)在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ak,ak+1(k∈N*)之間依次插入a1,a2,…,ak,得到數(shù)列{bn}:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,…,求{bn}的前20項(xiàng)和T20.


總結(jié)反思
對(duì)于插入項(xiàng)問(wèn)題,首先要弄清楚插入項(xiàng)的特征,插入后所得新數(shù)列是等差還是等比數(shù)列或者是具有其他特征的數(shù)列.若是等差或等比數(shù)列,則利用等差、等比數(shù)列知識(shí)求解;若不具有等差或等比特征,但是有限項(xiàng),則可用列舉法解決.
變式題 已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,公比為q(q為正整數(shù)),且滿(mǎn)足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿(mǎn)足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)試確定t的值,使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(3)當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí),對(duì)每個(gè)正整數(shù)k,在ak與ak+1之間插入bk個(gè)2,得到一個(gè)新數(shù)列{cn},設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,試求T100.


例3 [2023·浙江嘉興二模] 已知{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=4,bn+1=3bn-2n+1.
(1)證明{bn-n}是等比數(shù)列,并求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}與{bn}中有公共項(xiàng),即存在k,m∈N*,使得ak=bm成立,按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項(xiàng)排列,得到一個(gè)新的數(shù)列,記作{cn},求c1+c2+…+cn.


總結(jié)反思
與兩個(gè)數(shù)列“相同項(xiàng)”有關(guān)的問(wèn)題的解題關(guān)鍵是確定好兩個(gè)數(shù)列的“相同項(xiàng)”.此類(lèi)問(wèn)題一般有兩種類(lèi)型:一類(lèi)是去掉“相同項(xiàng)”后,構(gòu)成新數(shù)列;一類(lèi)是由“相同項(xiàng)”構(gòu)成新數(shù)列.
變式題 已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,d≠0,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若S6-S3=6,a3=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列{amn}是以a1為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,且a2=4a1,求數(shù)列{mn}的前n項(xiàng)和Tn.


雙交替遞推數(shù)列
例4 已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列;
(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
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總結(jié)反思
對(duì)于雙交替遞推數(shù)列問(wèn)題,求解時(shí)常將兩個(gè)遞推式相加減(或乘除),用整體思想構(gòu)造兩個(gè)新數(shù)列(等差或等比),通過(guò)解這兩個(gè)新數(shù)列聯(lián)立的方程組加以解決.
變式題 [2023·安徽蚌埠四模] 已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1=2,1bn-1an=1,an+1=2bn.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn.

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