1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 2x+y＝1B. x2+3xy＝6C. x+＝4D. x2＝3x﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定義判斷即可．
【詳解】解：A、原方程為二元一次方程，不符合題意；
B、原式方程為二元二次方程，不符合題意；
C、原式為分式方程，不符合題意；
D、原式為一元二次方程，符合題意，
故選：D．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的識別，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程的定義.
2.下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（ ）
A. x2﹣x﹣1＝0B. x2+x+1＝0C. x2+1＝0D. x2+2x+1＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
逐項計算方程的判別式，根據(jù)根的判別式進行判斷即可．
【詳解】解：
在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故A符合題意；
在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故該方程無實數(shù)根，故B不符合題意；
在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故該方程無實數(shù)根，故C不符合題意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故該方程有兩個相等實數(shù)根，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是記住判別式，△＞0有兩個不相等實數(shù)根，△＝0有兩個相等實數(shù)根，△＜0沒有實數(shù)根，屬于中考?？碱}型．
3.如果兩個相似多邊形的面積比為4:9，那么它們的周長比為（）
A. ：B. 2：3C. 4：9D. 16：81
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)面積比為相似比的平方即可求得結(jié)果.
【詳解】解：∵兩個相似多邊形的面積比為4：9，
∴它們的周長比為：=.
故選B.
【點睛】本題主要考查圖形相似知識點，解此題的關(guān)鍵在于熟記兩個相似多邊形的面積比為其相似比的平方.
4.有9名同學參加歌詠比賽，他們的預賽成績各不相同，現(xiàn)取其中前4名參加決賽，小紅同學在知道自己成績的情況下，要判斷自己能否進入決賽，還需要知道這9名同學成績的（ ）
A. 平均數(shù)B. 方差C. 中位數(shù)D. 極差
【答案】C
【解析】
【分析】
9人成績的中位數(shù)是第5名的成績．參賽選手要想知道自己是否能進入前4名，只需要了解自己的成績以及全部成績的中位數(shù)，比較即可．
【詳解】由于總共有9個人，且他們的分數(shù)互不相同，
第5的成績是中位數(shù)，要判斷是否進入前5名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．
故選C．
【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差的意義，掌握相關(guān)知識點是解答此題的關(guān)鍵．
5.二次函數(shù)y＝x2﹣6x圖象的頂點坐標為（ ）
A. （3，0）B. （﹣3，﹣9）C. （3，﹣9）D. （0，﹣6）
【答案】C
【解析】
【分析】
將二次函數(shù)解析式變形為頂點式，進而可得出二次函數(shù)的頂點坐標．
【詳解】解：∵y＝x2﹣6x＝x2﹣6x+9﹣9＝（x﹣3）2﹣9，
∴二次函數(shù)y＝x2﹣6x圖象的頂點坐標為（3，﹣9）．
故選：C．
【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的頂點，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).
6.如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算∠C的度數(shù)．
【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝400，
∴∠C＝1800－400＝1400，
故選D.
【點睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補
7.如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（ ）
A. 3cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm
【答案】B
【解析】
【分析】
先過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，由垂徑定理可知AD＝AB，設(shè)OA＝r，則OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值．
【詳解】解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4cm，
設(shè)OA＝r，則OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴該輸水管的半徑為5cm；
故選：B．
【點睛】此題主要考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理及勾股定理的運用.
8.在半徑為3cm的⊙O中，若弦AB＝3，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（ ）
A. 30°B. 45°C. 30°或150°D. 45°或135°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意畫出圖形，連接OA和OB，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出即可．
【詳解】解：如圖所示，
連接OA，OB，
則OA＝OB＝3，
∵AB＝3，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度數(shù)是90°，優(yōu)弧AB的度數(shù)是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB對的圓周角的度數(shù)是45°或135°，
故選：D．
【點睛】此題主要考查圓周角的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形求出圓心角，再得到圓周角的度數(shù).
9.如圖，等邊三角形ABC的邊長為5，D、E分別是邊AB、AC上的點，將△ADE沿DE折疊，點A恰好落在BC邊上的點F處，若BF＝2，則BD的長是（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)折疊得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，設(shè)BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB＝∠FEC，證△DBF∽△FCE，進而利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，
∵沿DE折疊A落在BC邊上的點F上，
∴△ADE≌△FDE，
∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，
設(shè)BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y(tǒng)，AE＝5﹣y，
∵BF＝2，BC＝5，
∴CF＝3，
∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，
∴∠DFB＝∠FEC，
∵∠C＝∠B，
∴△DBF∽△FCE，
∴，
即，
解得：x＝，
即BD＝，
故選：C．
【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定定理.
10.已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可得m＜0，n＞0，則y的最小值為2m為負數(shù)，最大值為2n為正數(shù)．最大值為2n分兩種情況：①結(jié)合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，求出n＝2.5，結(jié)合圖象最小值只能由x＝m時求出；②結(jié)合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，圖象最大值只能由x＝n求出，最小值只能由x＝m求出．
【詳解】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+5的大致圖象如下：
．
①當m＜0≤x≤n＜1時，當x＝m時y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
當x＝n時y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，
解得：n＝2或n＝﹣2（均不合題意，舍去）；
②當m＜0≤x≤1≤n時，當x＝m時y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，
解得：m＝﹣2．
當x＝1時y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，
解得：n＝2.5，
或x＝n時y取最小值，x＝1時y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝2.5，
∴m＝，
∵m＜0，
∴此種情形不合題意，
所以m+n＝﹣2+2.5＝0.5．
故選：A．
【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論.
二．填空題（共8小題）
11.一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
【答案】x=±2
【解析】
移項得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
12.一個不透明的口袋中裝有若干只除了顏色外其它都完全相同的小球，若袋中有紅球6只，且摸出紅球的概率為，則袋中共有小球_____只．
【答案】10．
【解析】
【分析】
直接利用概率公式計算．
【詳解】解：設(shè)袋中共有小球只，
根據(jù)題意得，解得x＝10，
經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案為10．
【點睛】此題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是熟知概率公式的運用.
13.某一時刻，一棵樹高15m，影長為18m．此時，高為50m的旗桿的影長為_____m．
【答案】60
【解析】
【分析】
設(shè)旗桿的影長為xm，然后利用同一時刻物高與影長成正比例列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)旗桿的影長BE為xm，
如圖：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴，
由題意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，，
解得x＝60，
經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解，
即高為50m的旗桿的影長為60m．
故答案為：60．
【點睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知同一時刻物高與影長成正比例.
14.已知一個圓錐底面圓的半徑為6cm，高為8cm，則圓錐的側(cè)面積為_____cm2．（結(jié)果保留π）
【答案】60π
【解析】
試題分析：先根據(jù)勾股定理求得圓錐的母線長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.
由題意得圓錐的母線長
∴圓錐的側(cè)面積．
考點：勾股定理，圓錐的側(cè)面積
點評：解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的側(cè)面積公式：圓錐的側(cè)面積底面半徑×母線.
15.在?ABCD中，∠ABC的平分線BF交對角線AC于點E，交AD于點F．若＝，則的值為_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出邊的關(guān)系，進而利用相似三角形的性質(zhì)求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，
∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠EBC＝∠ABE＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理.
16.已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．
【答案】x3＝0，x4＝﹣3．
【解析】
【分析】
把后面一個方程中的x+2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0變形為a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案為：x3＝0，x4＝﹣3．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟知整體法的應(yīng)用.
17.如圖，若一個半徑為1的圓形紙片在邊長為6的等邊三角形內(nèi)任意運動，則在該等邊三角形內(nèi)，這個圓形紙片能接觸到的最大面積為_____．
【答案】6+π．
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形的面積和扇形面積公式先求出圓形紙片不能接觸到的面積，再用等邊三角形的面積去減即可得能接觸到的最大面積．
【詳解】解：如圖，
當圓形紙片運動到與∠A的兩邊相切的位置時，
過圓形紙片的圓心O作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，
連接AO，
則Rt△ADO中，∠OAD＝30°，OD＝1，AD＝，
∴S△ADO＝OD?AD＝，
∴S四邊形ADOE＝2S△ADO＝，
∵∠DOE＝120°，
∴S扇形DOE＝，
∴紙片不能接觸到的部分面積為：
3（﹣）＝3﹣π
∵S△ABC＝×6×3＝9
∴紙片能接觸到的最大面積為：
9﹣3+π＝6+π．
故答案為6+π．
【點睛】此題主要考查圓的綜合運用，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)、扇形面積公式.
18.如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則線段A′C長度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【詳解】解：如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，
過點M作MF⊥DC于點F，
∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=1，
∴FM=DM×cs30°=，
∴，
∴A′C=MC﹣MA′=．
故答案為．
【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A′點位置是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共10小題）
19.解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）．
【答案】（1）x＝2±；（2）x＝或x＝．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)配方法即可求出答案．
（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．
【詳解】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
∴x＝2±．
（2）∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1），
∴（2x﹣1﹣4）（2x﹣1）＝0，
∴x＝或x＝.
【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程的解法.
20.已知關(guān)于方程，若方程的一個根是–4，求另一個根及的值.
【答案】1，-2
【解析】
【分析】
把方程的一個根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【詳解】
【點睛】考察一元二次方程的根的定義，及應(yīng)用因式分解法求解一元二次方程的知識.
21.在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點及點O都在格點上（每個小方格的頂點叫做格點）．
（1）以點O為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC位似（A′、B′、C′分別為A、B、C的對應(yīng)點），且位似比為2：1；
（2）△A′B′C′的面積為 個平方單位；
（3）若網(wǎng)格中有一格點D′（異于點C′），且△A′B′D′的面積等于△A′B′C′的面積，請在圖中標出所有符合條件的點D′．（如果這樣的點D′不止一個，請用D1′、D2′、…、Dn′標出）
【答案】（1）詳見解析；（2）10；（3）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）依據(jù)點O為位似中心，且位似比為2：1，即可得到△A′B′C′；
（2）依據(jù)割補法進行計算，即可得出△A′B′C′的面積；
（3）依據(jù)△A′B′D′的面積等于△A′B′C′的面積，即可得到所有符合條件的點D′．
【詳解】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；
（2）△A′B′C′的面積為4×6﹣×2×4﹣×2×4﹣×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10；
故答案為：10；
（3）如圖所示，所有符合條件的點D′有5個．
【點睛】此題主要考查位似圖形的作圖，解題的關(guān)鍵是熟知位似圖形的性質(zhì)及網(wǎng)格的特點.
22.某射擊隊教練為了了解隊員訓練情況，從隊員中選取甲、乙兩名隊員進行射擊測試，相同條件下各射靶5次，成績統(tǒng)計如下：
（1）根據(jù)上述信息可知：甲命中環(huán)數(shù)的中位數(shù)是_____環(huán)，乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是______環(huán)；
（2）試通過計算說明甲、乙兩人的成績誰比較穩(wěn)定？
（3）如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，那么乙射擊成績的方差會變?。ㄌ睢白兇蟆?、“變小”或“不變”）
【答案】 (1). （1）8， (2). 6和9；
（2）甲的成績比較穩(wěn)定；（3）變小
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的定義先求出甲和乙的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式求出甲和乙的方差，然后進行比較，即可得出答案；
（3）根據(jù)方差公式進行求解即可．
【詳解】解：（1）把甲命中環(huán)數(shù)從小到大排列為7，8，8，8，9，最中間的數(shù)是8，則中位數(shù)是8；
在乙命中環(huán)數(shù)中，6和9都出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)是6和9；
故答案為8，6和9；
（2）甲的平均數(shù)是：（7+8+8+8+9）÷5=8，
則甲的方差是： [（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，
乙的平均數(shù)是：（6+6+9+9+10）÷5=8，
則甲的方差是： [2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，
所以甲的成績比較穩(wěn)定；
（3）如果乙再射擊1次，命中8環(huán)，那么乙的射擊成績的方差變?。?br>故答案為變?。?br>【點睛】本題考查了方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差．方差通常用s2來表示，計算公式是：s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]；方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．也考查了算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．
23.“2020比佛利”無錫馬拉松賽將于3月22日鳴槍開跑，本次比賽設(shè)三個項目：A．全程馬拉松；B．半程馬拉松；C．迷你馬拉松．小明和小紅都報名參與該賽事的志愿者服務(wù)工作，若兩人都已被選中，屆時組委會隨機將他們分配到三個項目組．
（1）小明被分配到“迷你馬拉松”項目組的概率為 ；
（2）請利用樹狀圖或列表法求兩人被分配到同一個項目組的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
分析】
（1）直接利用概率公式計算；
（2）先利用畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人被分配到同一個項目組的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【詳解】解：（1）小明被分配到“迷你馬拉松”項目組的概率為；
（2）畫樹狀圖為：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人被分配到同一個項目組的結(jié)果數(shù)為3，
所以兩人被分配到同一個項目組的概率＝＝．
【點睛】此題主要考查概率的求解，解題的關(guān)鍵是熟知樹狀圖的畫法.
24.如圖，已知直線l切⊙O于點A，B為⊙O上一點，過點B作BC⊥l，垂足為點C，連接AB、OB．
（1）求證：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半徑．
【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑是．
【解析】
【分析】
（1）連接OA，求出OA∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD＝AC＝1，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)垂徑定理求出BD，再根據(jù)勾股定理求出OB即可．
【詳解】（1）證明：連接OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：過O作OD⊥BC于D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
∵OD⊥BC，OD過O，
∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，
即⊙O的半徑是．
【點睛】此題主要考查切線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵熟知等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理及切線的性質(zhì).
25.如圖，在?ABCD中，點E是邊AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC＝∠DCE，且FB與AD相交于點G．
（1）求證：∠D＝∠F；
（2）用直尺和圓規(guī)在邊AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP，并加以證明．（作圖要求：保留痕跡，不寫作法．）
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根據(jù)已知∠FBC＝∠DCE，進而可得結(jié)論；
（2）作三角形FBC的外接圓交AD于點P即可證明．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如圖所示：
點P即為所求作的點．
證明：作BC和BF的垂直平分線，交于點O，
作△FBC的外接圓，
連接BO并延長交AD于點P，
∴∠PCB＝90°
∵AD∥BC
∴∠CPD＝∠PCB＝90°
由（1）得∠F＝∠D
∵∠F＝∠BPC
∴∠D＝∠BPC
∴△BPC∽△CDP．
【點睛】此題主要考查圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、外接圓的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).
26.某商店購進一批成本為每件30元的商品．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若商店按單價不低于成本價且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，試利用函數(shù)圖象確定銷售單價最多為多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+160；（2）銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元；（3）每天的銷售量最少應(yīng)為20件．
【解析】
【分析】
（1）將點（30，100）、（45，70）代入一次函數(shù)表達式，即可求解；
（2）由題意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；
（3）由題意得（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解不等式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）設(shè)y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，
將點（30，100）、（45，70）代入一次函數(shù)表達式得：，
解得：，
故函數(shù)的表達式為：y＝﹣2x+160；
（2）由題意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故當x＜55時，w隨x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴當x＝50時，w有最大值，此時，w＝1200，
故銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元；
（3）由題意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的銷售量y＝﹣2x+160≥20，
∴每天的銷售量最少應(yīng)為20件．
【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行求解.
27.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點（A在B的左側(cè)），交y軸于點C．一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點A，與y軸交于點D（0，﹣3），與這個二次函數(shù)的圖象的另一個交點為E，且AD：DE＝3：2．
（1）求這個二次函數(shù)表達式；
（2）若點M為x軸上一點，求MD+MA的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先把D點坐標代入y＝﹣x+b中求得b，則一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，于是可確定A（﹣6，0），作EF⊥x軸于F，如圖，利用平行線分線段成比例求出OF＝4，接著利用一次函數(shù)解析式確定E點坐標為（4，﹣5），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）作MH⊥AD于H，作D點關(guān)于x軸的對稱點D′，如圖，則D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再證明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用兩點之間線段最短得到當點M、H、D′共線時，MD+MA的值最小，然后證明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可．
【詳解】解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，
∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，
當y＝0時，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A（﹣6，0），
作EF⊥x軸于F，如圖，
∵OD∥EF，
∴＝＝，
∴OF＝OA＝4，
∴E點的橫坐標為4，
當x＝4時，y＝﹣x﹣3＝﹣5，
∴E點坐標為（4，﹣5），
把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，
∴拋物線解析式為；
（2）作MH⊥AD于H，作D點關(guān)于x軸的對稱點D′，如圖，則D′（0，3），
在Rt△OAD中，AD＝＝3，
∵∠MAH＝∠DAO，
∴Rt△AMH∽Rt△ADO，
∴＝，即＝，
∴MH＝AM，
∵MD＝MD′，
∴MD+MA＝MD′+MH，
當點M、H、D′共線時，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時MD+MA的值最小，
∵∠D′DH＝∠ADO，
∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，
∴＝，即＝，解得D′H＝，
∴MD+MA的最小值為．
【點睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合能力.
28.如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度，沿線段AB方向勻速運動，到達點B停止．連接DP交AC于點E，以DP為直徑作⊙O交AC于點F，連接DF、PF．
（1）求證：△DPF為等腰直角三角形；
（2）若點P的運動時間t秒．
①當t為何值時，點E恰好為AC的一個三等分點；
②將△EFP沿PF翻折，得到△QFP，當點Q恰好落在BC上時，求t的值．
【答案】（1）詳見解析；（2）①1；②﹣1．
【解析】
【分析】
（1）要證明三角形△DPF為等腰直角三角形，只要證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°和同弧所對的圓周角相等，可以證明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）①根據(jù)題意，可知分兩種情況，然后利用分類討論的方法，分別計算出相應(yīng)的t的值即可，注意點P從A出發(fā)到B停止，t≤4÷2＝2；
②根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，所對的圓周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直徑，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①當AE：EC＝1：2時，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝1；
當AE：EC＝2：1時，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴，
∴，
解得，t＝4，
∵點P從點A到B，t的最大值是4÷2＝2，
∴當t＝4時不合題意，舍去；
由上可得，當t為1時，點E恰好為AC的一個三等分點；
②如右圖所示，
∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，
∴∠OPF＝90°，
∴∠DPA+∠QPB＝90°，
∵∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠PDA＝∠QPB，
∵點Q落在BC上，
∴∠DAP＝∠B＝90°，
∴△DAP∽△PBQ，
∴，
∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，
∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，
設(shè)PQ＝a，則PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，
∵△AEP∽△CED，
∴，
即，
解得，a＝，
∴PQ＝，
∴，
解得，t1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，
即t的值是﹣1．
【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì).命中環(huán)數(shù)
6
7
8
9
10
甲命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)
0
1
3
1
0
乙命中相應(yīng)環(huán)數(shù)的次數(shù)
2
0
0
2
1

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