注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．測試范圍：北京版九年級上冊第18章-第19章。
5．難度系數(shù)：0.85。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．拋物線的頂點坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：拋物線的頂點坐標是，
拋物線的頂點坐標是，
故選：．
2．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該函數(shù)的圖象不經(jīng)過的點是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：，故該函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
，故該函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
，故該函數(shù)的圖象經(jīng)過點；
，故該函數(shù)的圖象經(jīng)不過點．
故選：D．
3．如圖，已知，那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：，
，
A、添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；
B、添加，可用兩角法判定，故本選項錯誤；
C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項錯誤；
D、添加，不能判定，故本選項正確；
故選：D．
4．如圖，在菱形中，點E在邊上，射線交的延長線于點F，若，，則的長為（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【詳解】解：四邊形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故選C．
5．若，，三點都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，
∴正好是拋物線的頂點坐標，
∴是二次函數(shù)的最大值，
∵在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，
又∵，
∴．
故選：A．
6．如圖，點是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過點作軸，垂足為．點為軸上一點，連接，．若的面積為3，則的值是（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】B
【詳解】如圖，連接，
∵軸，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
7．如圖，和都是等腰直角三角形，．連接BD，CE．則的值為（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
故選B．
8．某小區(qū)有一塊綠地如圖中等腰直角所示，計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，其中點P，M，N分別在邊，，上，記，，圖中陰影部分的面積為S，當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（ ）

A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
C．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系
【答案】B
【詳解】解：設(shè) (m為常數(shù))，
在中，，，
∴為等腰直角三角形，
，
∵四邊形是矩形，
，
，即，
∴y與x成一次函數(shù)關(guān)系，
，
∴S與x成二次函數(shù)關(guān)系．
故選 B．
第Ⅱ卷
二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。
9．頂點是，形狀、開口方向與拋物線都相同的二次函數(shù)的表達式為 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，且該拋物線的形狀與開口方向和拋物線相同，
∴，
∵頂點是，
∴，
∴這個函數(shù)解析式為，
故答案為：．
10．在平面直角坐標系中，若點和在反比例函數(shù)的圖象上，則 （填“”“”或“”）．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，
∵，
∴點，在第四象限，y隨x的增大而增大，
∴．
故答案為：．
11．將二次函數(shù)向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的函數(shù)表達式是 ．
【答案】
【詳解】解：，
由題意得，新圖象函數(shù)的表達式為：
.
故答案為：．
12．如圖，在中，于點，，則 ．

【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴,
∴,
則=．
故答案為：.
13．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，并且過和，則點的坐標為 ．
【答案】
【詳解】解：點和在二次函數(shù)的圖象上，
該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，
點的橫坐標為：，
點的坐標為，
故答案為：．
14．如圖，若點P在反比例函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則矩形PMON的面積為 ．
【答案】3
【詳解】解：設(shè)PN＝a，PM＝b，
∵P點在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝﹣中，得
﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON的面積＝PN?PM＝ab＝3，
故答案為：3．
15．如圖，在矩形中，對角線、交于點O，交于點E，連接交于點F，則 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)，
∵四邊形為矩形，對角線、交于點O，
∴，，，，
∵，則，
∴，則是的中位線，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
16．如圖，在矩形中，，，點在邊上，，垂足為．若，則線段的長為 ．
【答案】4
【詳解】解：四邊形為矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：4.
三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（4分）如圖，，相交于點，．
求證：△∽△.
【詳解】解：∵，，
∴，分
∵，
∴△∽△. 分
18．（5分）已知拋物線經(jīng)過點，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求該拋物線的頂點坐標．
【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，，
，
解得， 分
；分
（2），
頂點坐標為．分
19．（6分）已知二次函數(shù)，過點．
(1)求此二次函數(shù)的表達式；
(2)直接寫出當取何值時，．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，
解得：，
所以二次函數(shù)的表達式為；分
（2）解：令，
解得：或， 分
∴二次函數(shù)的圖象與x軸交于和，
∵，
∴二次函數(shù)的圖象開口向上，
∴當時，x的取值范圍是．分
20．（5分）如圖是一位同學(xué)用激光筆測量某古城墻高度的示意圖．點處放一水平的平面鏡，光線從點出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻的頂端處，若，，測得，，，則該古城墻的高是？
【詳解】解：由題意，結(jié)合鏡面反射原理知：，分
∵，
∴，分
∴，分
∴，即，分
∴，
∴該古城墻的高度是．分
21．（6分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點，且與軸交于點，點A的坐標為．
(1)求及的值；
(2)求的面積．
【詳解】（1）解：由題意可得：點在函數(shù)的圖象上，
，即， 分
在反比例函數(shù)的圖象上，
，
； 分
（2）解：連接、，
由（1）可知一次函數(shù)解析式為，令，得，
點的坐標是， 分
由解得，，
由圖象可得：點的坐標為，
. 分
22．（5分）如圖，在中，，點在上，于點．
(1)求證：；
(2)，且，求的長．
【詳解】（1）證明：于點，，
，
，
； 分
（2）解：，
，
，，，
，
． 分
23．（5分）在平面直角坐標系中，Mx1,y1，Nx2,y2是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為直線．
(1)若點2,1在該拋物線上，求t的值；
(2)當時，對于，都有，直接寫出的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，
∴，
∴，
∴拋物線對稱軸為直線，
∴； 分
（2）解：∵，
∴拋物線開口向上，
∴當時，y隨x增大而增大，當時，y隨x增大而減小，且離對稱軸越遠函數(shù)值越大；
當時，
∵，
∴此時滿足；
當時，
∵，
∴點M到對稱軸的距離小于點N到對稱軸的距離，
∴此時滿足；
當時，一定會有的值滿足，即此時，不符合題意；
當時，若，且時，此時，不符合題意；
綜上所述，. 分
24．（6分）商場經(jīng)銷一種商品，進價為每件40元，售價是每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件．
(1)要想獲得6000元的利潤，該商品應(yīng)定價為多少元？
(2)該商品應(yīng)定價為多少元時，商場能獲得最大利潤？
【詳解】（1）設(shè)漲價x元時，由題意得
， 分
解得（舍去），，
∴（元），
答：要想獲得6000元的利潤，該商品應(yīng)定價為70元；分
（2）設(shè)漲價x時，每周售出商品的利潤為y元，
， 分
∴當時，y有最大值，最大值為6250，
∴定價為（元），
答：每件商品定價為65元時利潤最大，最大利潤為6250元． 分
25．（5分）已知與成正比，當時，．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當時，求函數(shù)的值；5
（3）將所得函數(shù)的圖象向右平移個單位，使它過點，請求出的值．
【詳解】（1）設(shè)，
∵當時，，
∴，解得，
∴，
∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為； 分
（2）當時，； 分
（3）設(shè)平移后的解析式為，
將代入得：，解得：． 分
26．（5分）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高．高度為3m．
(1)在給出的圖中畫出平面直角坐標系；
(2)求出水管的長度．
【詳解】（1）解：以水池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的方向為x軸建立平面直角坐標系；如圖所示：
分
（2）解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，
∴設(shè)這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．
∵該拋物線過點（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3(0≤x≤3)， 分
∵當x=0時，y=-×（0-1）2+3=-+3=，
∴水管的長度為m． 分
27．（8分）如圖，在等腰直角中，，D為平面上一動點，在運動過程上保持于點D，將沿翻折得到，在直線上取點F，作．
(1)如圖，若與相交于點G，求證；
(2)猜想的形狀，并說明理由．
【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∴； 分
（2）為等腰直角三角形，分
理由：由（1）得．
又∵，
∴， 分
∴，
∴，
由翻折得．
∴， 分
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形． 分
28．（8分）在平面直角坐標系中，對于拋物線和直線給出如下定義：過拋物線C上一點作垂直于x軸的直線，交直線l于點，若存在實數(shù)滿足，則稱點是拋物線C的“如意點”，點P關(guān)于直線l的對稱點Q為點P與拋物線C的“稱心點”．
(1)若，
①在點，，，中，拋物線C的“如意點”是______；
②若點D是拋物線C的“如意點”，點E是點D與拋物線C的“稱心點”，直接寫出的最大值______；
(2)若邊長為的正方形邊上的點都是拋物線C的“如意點”或某點與拋物線C的“稱心點”，直接寫出b的最小值______．
【詳解】（1）解：①在中，當時，，時，，時，，時，；
在中，當時，，時，，時，，時，；
∵，，，，
∴只有，是拋物線C的“如意點”，
故答案為：； 分
②點E是點D與拋物線C的“稱心點”，
∴點E和點D關(guān)于直線對稱，
∴的長等于點D到直線的距離的兩倍，
∴當點D到直線的距離最大時，有最大值，
根據(jù)“如意點”的定義可知，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)的所有點到時拋物線C的如意點，
∴當平行于直線的直線與拋物線恰好有一個交點時，且當點D與該交點重合時滿足題意，
設(shè)直線恰好與拋物線有一個交點，
聯(lián)立得，
∴，
解得，
∴，解得，
∴此時點D與原點重合；
如圖所示，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于G、H，則，
∴，
∴，
設(shè)交于F，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：； 分
（2）解：由（1）可得，拋物線C的“如意點”組成的區(qū)域即為直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域（包括邊界），
∴拋物線C的“稱心點”一定在直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域外面，
∵邊長為的正方形邊上的點都是拋物線C的“如意點”或某點與拋物線C的“稱心點”，
∴正方形邊上的點全部是“如意點”時b的值一定要比正方形邊上的點部分是“如意點”，部分時“稱心點”時b的值大，
∴當恰好正方形上的點一半是“如意點”，一半是“稱心點”時b最小，即直線一定經(jīng)過正方形的一條對角線，
此時有軸，
∴此時關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即關(guān)于直線對稱，
∴的橫坐標為，
在中，當時，，
∴，
把代入中得，
∴，
∴b的最小值即為． 分

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