TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9216" 【題型1 辨別位似圖形】 PAGEREF _Tc9216 \h 2
\l "_Tc28031" 【題型2 確定位似中心】 PAGEREF _Tc28031 \h 3
\l "_Tc12171" 【題型3 由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】 PAGEREF _Tc12171 \h 4
\l "_Tc25089" 【題型4 求位似圖形的相似比】 PAGEREF _Tc25089 \h 5
\l "_Tc9279" 【題型5 畫位似圖形】 PAGEREF _Tc9279 \h 6
\l "_Tc18002" 【題型6 求位似圖形的線段長度】 PAGEREF _Tc18002 \h 8
\l "_Tc1192" 【題型7 求位似圖形的周長】 PAGEREF _Tc1192 \h 9
\l "_Tc32552" 【題型8 求位似圖形的面積】 PAGEREF _Tc32552 \h 10
\l "_Tc17808" 【題型9 求位似圖形的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc17808 \h 11
\l "_Tc3408" 【題型10 與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】 PAGEREF _Tc3408 \h 13
知識點：圖形的位似變換
1．位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
2．性質(zhì)：在平面直角體系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形的對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
b．兩個位似圖形的位似中心只有一個；
c．兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；
d．位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；
e．位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。
f．根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。
【題型1 辨別位似圖形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學(xué)的觀點如下：
嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；
淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（ ）

A．兩人都對B．兩人都不對C．嘉嘉對，淇淇不對D．嘉嘉不對，淇淇對
【變式1-1】（2024·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機(jī)手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（ ）

A．平移B．軸對稱C．旋轉(zhuǎn)D．位似
【變式1-2】（23-24九年級·山東煙臺·期末）視力表用來測試一個人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的“ ”均是相似圖形，其中不是位似圖形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【變式1-3】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列圖形中，△ABC與△A'B'C'不存在位似關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
【題型2 確定位似中心】
【例2】（23-24九年級·遼寧葫蘆島·期末）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A'B'C'位似，則位似中心是（ ）
A．點DB．點EC．點FD．點G
【變式2-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）用作位似圖形的辦法，可以將一個圖形放大或縮小，位似中心位置可選在（ ）
A．原圖形的外部B．原圖形的內(nèi)部C．原圖形的邊上D．任意位置
【變式2-2】（2024·四川樂山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

【變式2-3】（2024九年級·浙江·專題練習(xí)）下列圖形中位似中心在圖形上的是（ ）
A．B．C．D．
【題型3 由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】
【例3】（2024·浙江金華·一模）如圖，已知△ABC，任取一點O，連結(jié)AO、BO、CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，則下列說法錯誤的是（ ）
A．△ABC與△DEF是位似圖形B．△ABC與△DEF是相似圖形
C．△ABC與△DEF的面積之比為4：1D．△ABC與△DEF的周長之比為4：1
【變式3-1】（23-24九年級·河南洛陽·期中）下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于相似比；⑤位似多邊形的對應(yīng)邊平行．其中正確命題的序號是（ ）
A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④
【變式3-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，已知BC∥DE，則下列說法中不正確的是 （ ）
A．兩個三角形是位似圖形
B．點A是兩個三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．點B與點E、點C與點D是對應(yīng)位似點
【變式3-3】（23-24九年級·安徽·期中）如圖，△ABC的三個頂點A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原點O為位似中心，將△ABC擴(kuò)大得到△A1B1C1,且△ABC 與△A1B1C1的位似比為1 :3.則下列結(jié)論錯誤的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周長為6+32
C．△A1B1C1的面積為3D．點B1的坐標(biāo)可能是(6，6)
【題型4 求位似圖形的相似比】
【例4】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x、y軸的正半軸上，正方形A'B'C'D'與正方形ABCD是以AC的中點O'為中心的位似圖形，已知AC=32，若點A'的坐標(biāo)為(1,2)，則正方形A'B'C'D'與正方形ABCD的相似比是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【變式4-1】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點O為位似中心，△ABC的位似圖形是 （用圖中字母表示），△ABC與該三角形的位似比為 ．
?
【變式4-2】（23-24九年級·山西臨汾·期中）△ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,2)，B'2,23，C'23,?13，則△A'B'C'與△ABC的位似比是 ．
【變式4-3】（23-24九年級·湖南長沙·期末）如圖，點O是等邊三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點，則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形．此時，△P'Q'R'與△PQR的位似比為 ．
【題型5 畫位似圖形】
【例5】（23-24九年級·江蘇鹽城·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ΔABC的頂點坐標(biāo)分別為A(?2,2)，B(?4,0)，C(?4,?4)，在y軸右側(cè)，以原點O為位似中心畫一個△A'B'C'，使它與△ABC位似，且相似比是1:2．
(1)請畫出△A'B'C'；
(2)請直接寫出△A'B'C'各頂點的坐標(biāo)；
(3)若△ABC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為（a,b），則點M的對應(yīng)點M'的坐標(biāo)是___________．
【變式5-1】（23-24九年級·廣東深圳·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）
(1)在圖1中，以C為位似中心，位似比為1:2；請畫出放大后的△A1B1C1．
(2)在圖2中，線段AB上作點M，利用格點作圖使得AMBM=32．
(3)在圖3中，利用格點在AC邊上作－個點D，使得△ABD∽ACB．
【變式5-2】（23-24九年級·陜西渭南·期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點O和點A1在格點上，△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格線交點上）．
(1)畫出△ABC以點O為位似中心的位似圖形△A1B1C1，點A、B、C的對應(yīng)點分別為點A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1與△ABC的周長之比為______．
【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．A,B,C都是格點，點P在BC上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖1中，將線段AB沿BC的方向平移，使點B與點C重合，畫出平移后的線段CD，再將PC繞AC的中點順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到GA，畫出線段GA；
(2)在圖2中，將△APC以點C為位似中心縮小為原來的12得到△EFC，畫出△EFC；
(3)在圖3中，在AC上畫一點M，在AB上畫一點N，使得PM+MN最?。?br>【題型6 求位似圖形的線段長度】
【例6】（2024·浙江溫州·三模）如圖，矩形ABCD與矩形EFGH位似，點O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，則AD的值為（ ）

A．2B．4C．6D．8
【變式6-1】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，則AO:AA'的值為（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【變式6-2】（23-24九年級·福建泉州·期末）如圖，DE是△ABC的中位線，D'E'是△A'B'C'的中位線，連結(jié)AA'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．則D'E'的長度為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【變式6-3】（23-24九年級·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點C、F之間的距離為 ．
【題型7 求位似圖形的周長】
【例7】（23-24九年級·陜西咸陽·期末）如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的周長之比為（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【變式7-1】（2024·重慶·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若OCOF=2，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【變式7-2】（23-24九年級·重慶南岸·期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長為2，則△DEF的周長為（ ）
A．4B．6C．8D．18
【變式7-3】（2024·四川成都·二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知OAA'A=25，若四邊形ABCD的周長為8，則四邊形A'B'C'D'的周長為 ．
【題型8 求位似圖形的面積】
【例8】（23-24九年級·浙江·期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心．若OEEA=23，四邊形ABCD的面積是25，則四邊形EFGH的面積是（ ）
A．4B．10C．1009D．503
【變式8-1】（23-24九年級·陜西西安·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以C為位似中心，作平行四邊形ABCD的位似平行四邊形PECF，且與原圖形的位似比為2:3，連接BP，DP，若平行四邊形ABCD的面積為20，則△PBE與△PDF的面積之和為
【變式8-2】（2024·重慶九龍坡·一模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA：AD＝1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【變式8-3】（23-24九年級·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖1，正方形ABCD繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'C'D'，現(xiàn)將整個圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為12，若整個圖形的外圍周長為16，則圖中的陰影部分面積為（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【題型9 求位似圖形的坐標(biāo)】
【例9】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖， Rt△ABC與Rt△EFG是關(guān)于y軸上一點的位似圖形，若B?4,4，F(xiàn)2,1則位似中心的坐標(biāo)為（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【變式9-1】（23-24九年級·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 E ??4, 2?, F ??2, ?2 ?，以 O 為位似中心，按 2：1 的相似比把?EFO 縮小為?E?F ?O ，則點 E 的對應(yīng)點 E? 的坐標(biāo)為 .
【變式9-2】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，點P是位似中心．若點B的坐標(biāo)為2，3，點E的橫坐標(biāo)為?1，則點P的坐標(biāo)為 ．

【變式9-3】（2024·山東青島·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的頂點O0,0，B2,0，已知△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA'B'的面積是△OAB面積的4倍，則點A對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為（ ）

A．12,32B．23,2或?23,?2
C．4,43D．2,23或?2,?23
【題型10 與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】
【例10】（23-24九年級·全國·單元測試）如圖，在平面直角標(biāo)系xOy中，以O(shè)為位似中心，將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換，經(jīng)第一次變換后得到等邊三角形OA1B1，其邊長OA1縮小為OA的12，經(jīng)第二次變換后得到等邊三角形OA2B2，其邊長OA2縮小為OA1的12，經(jīng)第三次變換后得到等邊三角形OA3B3，其邊長OA3縮小為OA2的12，…按此規(guī)律，經(jīng)第n次變換后，所得等邊出角形OAnBn．的頂點An的坐標(biāo)為（128，0），則n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【變式10-1】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標(biāo)分別為P?3,0，A1?2,1，A2?1,0，A3?2,?1，則頂點A2024的坐標(biāo)為（ ）
【變式10-2】（23-24九年級·山東青島·課后作業(yè)）如圖，正方形A1B1C1D1可看成是分別以A、B、C、D為位似中心將正方形ABCD放大一倍得到的圖形（正方形ABCD的邊長放大到原來的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我們稱之作了一次變換，再將正方形A1B1C1D1作一次變換就得到正方形A2B2C2D2，…，依此下去，作了2005次變換后得到正方形A2005B2005C2005D2005，若正方形ABCD的面積是1，那么正方形A2005B2005C2005D2005的面積是多少（ ）

A．32005B．32004C．34010D．34009
【變式10-3】（23-24九年級·湖南永州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為12，點A1，A2，A3在x軸上，延長A3C2交射線OB1與點B3，以A3B3為邊作正方形A3B3C3A4；延長A4C3，交射線OB1與點B4，以A4B4為邊作正方形A4B4C4A5；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若OA1=1，則正方形A2022B2022C2022A2023的面積為 ．
專題22.5 圖形的位似變換【十大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9216" 【題型1 辨別位似圖形】 PAGEREF _Tc9216 \h 2
\l "_Tc28031" 【題型2 確定位似中心】 PAGEREF _Tc28031 \h 4
\l "_Tc12171" 【題型3 由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】 PAGEREF _Tc12171 \h 6
\l "_Tc25089" 【題型4 求位似圖形的相似比】 PAGEREF _Tc25089 \h 9
\l "_Tc9279" 【題型5 畫位似圖形】 PAGEREF _Tc9279 \h 12
\l "_Tc18002" 【題型6 求位似圖形的線段長度】 PAGEREF _Tc18002 \h 17
\l "_Tc1192" 【題型7 求位似圖形的周長】 PAGEREF _Tc1192 \h 20
\l "_Tc32552" 【題型8 求位似圖形的面積】 PAGEREF _Tc32552 \h 23
\l "_Tc17808" 【題型9 求位似圖形的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc17808 \h 28
\l "_Tc3408" 【題型10 與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】 PAGEREF _Tc3408 \h 31
知識點：圖形的位似變換
1．位似圖形：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
2．性質(zhì)：在平面直角體系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形的對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k。
注意：
a．位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
b．兩個位似圖形的位似中心只有一個；
c．兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；
d．位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；
e．位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。
f．根據(jù)一個位似中心可以作兩個關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對稱。
【題型1 辨別位似圖形】
【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學(xué)的觀點如下：
嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；
淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（ ）

A．兩人都對B．兩人都不對C．嘉嘉對，淇淇不對D．嘉嘉不對，淇淇對
【答案】A
【分析】根據(jù)相似與位似的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由題意知，嘉嘉向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長為3，且仍為正方形，
故新正方形與原正方形相似，同時也位似，位似中心為正方形對角線的交點．
淇淇向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長為2+1，且仍為正方形，
故新正方形與原正方形相似，同時也位似，位似中心為正方形對角線的交點．
故兩人說法正確，
故選：A．
【點睛】本題考查了相似與位似．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【變式1-1】（2024·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機(jī)手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（ ）

A．平移B．軸對稱C．旋轉(zhuǎn)D．位似
【答案】D
【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．
【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．
故選：D．
【點睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似的定義．
【變式1-2】（23-24九年級·山東煙臺·期末）視力表用來測試一個人的視力，如圖是視力表的一部分，圖中的“ ”均是相似圖形，其中不是位似圖形的是（ ）

A．①和②B．②和③C．①和④D．②和④
【答案】B
【分析】位似圖形必須同時滿足兩個條件：（1）兩個圖形是相似圖形；（2）兩個相似圖形每組對應(yīng)點連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應(yīng)邊互相平行（或共線），據(jù)此逐項判斷即可得．
【詳解】解：A、①和②是位似圖形，則此項不符合題意；
B、②和③對應(yīng)點的連線不在同一個點，不是位似圖形，則此項符合題意；
C、①和④是位似圖形，則此項不符合題意；
D、②和④是位似圖形，則此項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了位似圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．
【變式1-3】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）已知：△ABC∽△A'B'C'，下列圖形中，△ABC與△A'B'C'不存在位似關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，進(jìn)而判斷得出答案．
【詳解】解：A、△ABC與△A'B'C'是位似關(guān)系，故此選項不合題意；
B、△ABC與△A'B'C'是位似關(guān)系，故此選項不合題意；
C、△ABC與△A'B'C'是位似關(guān)系，故此選項不合題意；
D、△ABC與△A'B'C'對應(yīng)邊BC和B'C'不平行，故不存在位似關(guān)系，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵．
【題型2 確定位似中心】
【例2】（23-24九年級·遼寧葫蘆島·期末）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A'B'C'位似，則位似中心是（ ）
A．點DB．點EC．點FD．點G
【答案】A
【分析】本題考查了位似中心的確定，位似對應(yīng)點連線的交點即為位似中心即可．
【詳解】根據(jù)題意，得位似中心為點D，
故選A．
【變式2-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）用作位似圖形的辦法，可以將一個圖形放大或縮小，位似中心位置可選在（ ）
A．原圖形的外部B．原圖形的內(nèi)部C．原圖形的邊上D．任意位置
【答案】D
【分析】畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選取是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．
【詳解】畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選取是任意的.故選D.
【點睛】本題考查圖形的位似，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的性質(zhì)和畫法.
【變式2-2】（2024·四川樂山·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為 ．

【答案】2，1
【分析】連接各組對應(yīng)點，它們在兩個正方形之間相交于點P，則P點為位似中心，然后寫出P點坐標(biāo)即可．
【詳解】解：如圖，點P為位似中心，P2，1．

故答案為：2，1．
【點睛】本題考查位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2024九年級·浙江·專題練習(xí)）下列圖形中位似中心在圖形上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分別得出位似中心位置即可．
【詳解】A、 ，位似中點在圖形內(nèi)部，不合題意；
B、 ，位似中點在圖形上，符合題意；
C、 ，位似中點在圖形外部，不合題意；
D、 ，位似中點在圖形外部，不合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【題型3 由位似圖形的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】
【例3】（2024·浙江金華·一模）如圖，已知△ABC，任取一點O，連結(jié)AO、BO、CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，則下列說法錯誤的是（ ）
A．△ABC與△DEF是位似圖形B．△ABC與△DEF是相似圖形
C．△ABC與△DEF的面積之比為4：1D．△ABC與△DEF的周長之比為4：1
【答案】D
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出△ABC與△DEF是位似圖形進(jìn)而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出△ABC與△DEF是相似圖形，再根據(jù)周長比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)位似性質(zhì)可得：A、△ABC與△DEF是位似圖形，故本選項正確，不符合題意；
△ABC與△DEF是相似圖形，故B選項正確，不符合題意；
∵將△ABC的三邊縮小到原來的12，
∴△ABC與△DEF的周長之比為2：1，故D選項不正確，符合題意；
∵面積比等于相似比的平方，
∴△ABC與△DEF的面積之比為4：1，故C選項正確，不符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（23-24九年級·河南洛陽·期中）下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于相似比；⑤位似多邊形的對應(yīng)邊平行．其中正確命題的序號是（ ）
A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④
【答案】A
【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；③對應(yīng)邊平行．根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，①錯誤，不符合題意；
位似圖形一定有位似中心，②正確，符合題意；
如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，這兩個圖形是位似圖形，③正確，符合題意；
位似圖形上對應(yīng)兩點與位似中心的距離之比等于位似比，④錯誤，不符合題意．
位似多邊形的對應(yīng)邊平行，⑤錯誤，不符合題意．
故選：A．
【變式3-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，已知BC∥DE，則下列說法中不正確的是 （ ）
A．兩個三角形是位似圖形
B．點A是兩個三角形的位似中心
C．AE︰AD是位似比
D．點B與點E、點C與點D是對應(yīng)位似點
【答案】C
【詳解】∵BC∥DE，且CD與BE相交于點A，
∴A、兩個三角形是位似圖形，正確，不合題意；
B、點A是兩個三角形的位似中心，正確，不合題意；
C、AE：AC是位似比，故此選項錯誤，符合題意；
D、點B與點E，點C與點D是對應(yīng)位似點，正確，不合題意，
故選C．
【變式3-3】（23-24九年級·安徽·期中）如圖，△ABC的三個頂點A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原點O為位似中心，將△ABC擴(kuò)大得到△A1B1C1,且△ABC 與△A1B1C1的位似比為1 :3.則下列結(jié)論錯誤的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周長為6+32
C．△A1B1C1的面積為3D．點B1的坐標(biāo)可能是(6，6)
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖的性質(zhì)可知，位似圖形也是相似圖形，周長比等于位似比，面積比等于位似比的平方，對應(yīng)邊之比等于位似比，據(jù)此判斷即可.
【詳解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正確；
B. 由圖可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=2，所以△ABC的周長為2+2，由周長比等于位似比可得△A1B1C1的周長為△ABC周長的3倍，即6+32，故B正確；
C. S△ABC=12×1×1=12,由面積比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面積為△ABC周長的9倍，即12×9=4.5，故C錯誤；
D. 在第一象限內(nèi)作△A1B1C1時，B1點的橫縱坐標(biāo)均為B的3倍，此時B1的坐標(biāo)為（6,6），故D正確；
故選C.
【點睛】本題考查位似三角形的性質(zhì)，熟練掌握位似的定義，以及位似三角形與相似三角形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
【題型4 求位似圖形的相似比】
【例4】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x、y軸的正半軸上，正方形A'B'C'D'與正方形ABCD是以AC的中點O'為中心的位似圖形，已知AC=32，若點A'的坐標(biāo)為(1,2)，則正方形A'B'C'D'與正方形ABCD的相似比是（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】B
【分析】延長A′B′交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比．
【詳解】解：延長A′B′交BC于點E，如圖．
∵在正方形ABCD中，AC＝32，
∴BC＝AB＝3，
∵點A′的坐標(biāo)為（1，2），
∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，
∴CE：BC＝2：3，
∵A′E∥AB，
∴△A′CE∽△ACB，
∴CA′：AC＝2：3，
∵正方形A'B'C'D'與正方形ABCD是以AC的中點O'為中心的位似圖形，
∴AA′＝CC′，
∴AA′＝CC′＝A′C′，
∴A′C′：AC＝1：3，
∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是13．
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長．
【變式4-1】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點O為位似中心，△ABC的位似圖形是 （用圖中字母表示），△ABC與該三角形的位似比為 ．
?
【答案】 △GEH 12/0.5
【分析】利用兩個位似圖形的對應(yīng)頂點的連線相交于一點可判斷△ABC的位似圖形是△GEH，然后計算OB與OE的比得到位似比．
【詳解】解：以點O為位似中心，△ABC的位似圖形是△GEH，△ABC與△GEH的位似比為OBOE=12．
故答案為：△GEH，12．
【點睛】本題考查了位似變換：兩個位似圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行或共線．
【變式4-2】（23-24九年級·山西臨汾·期中）△ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,2)，B'2,23，C'23,?13，則△A'B'C'與△ABC的位似比是 ．
【答案】1：3/13
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)．由△ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,2)，B'2,23，C'23,?13，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得△A'B'C'與△ABC的位似比．
【詳解】解：∵△ABC三個頂點A(3,6)、B(6,2)、C(2,?1)，以原點為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個頂點分別為A'(1,2)，B'2,23，C'23,?13，
∴AB=3?62+6?22=5, BC=2?62+?1?22=5, AC=2?32+?1?62=52，
A'B'=1?22+2?232=53，B'C'=23?22+?13?232=53，A'C'=23?12+?13?22=523，
∴A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=13，
∴△A'B'C'∽△ABC，
∴△A'B'C'與△ABC的位似比是：1：3．
故答案為：1：3．
【變式4-3】（23-24九年級·湖南長沙·期末）如圖，點O是等邊三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點，則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形．此時，△P'Q'R'與△PQR的位似比為 ．
【答案】1:2/12
【分析】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的判定、位似圖形與位似中心，熟記位似圖形與位似中心的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形中位線定理可得P'Q'∥PQ，P'R'∥PR，Q'R'∥QR，P'Q'PQ=P'R'PR=Q'R'QR=12，得出△P'Q'R'∽△PQR，再根據(jù)位似中心的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，對應(yīng)邊互相平行（或共線），那么這樣的兩個圖形叫位似圖形，這個點叫做位似中心，從而即可求解．
【詳解】解：∵P'，Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點，
∴P'Q'∥PQ，P'R'∥PR，Q'R'∥QR，P'Q'PQ=P'R'PR=Q'R'QR=12，
∴△P'Q'R'∽△PQR，
又∵P'，Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點，
∴點P'與點P，點Q'與點Q，點R'與點R的連線都經(jīng)過點O，
∴△P'Q'R'與△PQR是位似三角形，其位似中心是點O，
∵P'Q'PQ=P'R'PR=Q'R'QR=12，
∴△P'Q'R'與△PQR的位似比為1:2，
故答案為：1:2．
【題型5 畫位似圖形】
【例5】（23-24九年級·江蘇鹽城·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ΔABC的頂點坐標(biāo)分別為A(?2,2)，B(?4,0)，C(?4,?4)，在y軸右側(cè)，以原點O為位似中心畫一個△A'B'C'，使它與△ABC位似，且相似比是1:2．
(1)請畫出△A'B'C'；
(2)請直接寫出△A'B'C'各頂點的坐標(biāo)；
(3)若△ABC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為（a,b），則點M的對應(yīng)點M'的坐標(biāo)是___________．
【答案】(1)見解析
(2)A'(1,?1)，B'(2,0)，C'(2,2)
(3)(?a2,?b2)
【分析】本題考查作圖?位似變換，熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．
（2）由圖可得答案．
（3）由位似變換可得，點M的橫縱坐標(biāo)分別除以?2，即可得點M'的橫縱坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，△A'B'C'即為所求．
（2）解：由圖可得，A'(1,?1)，B'(2,0)，C'(2,2)．
（3）解：由題意可得，點M'的坐標(biāo)為(?a2,?b2)．
故答案為：(?a2,?b2)．
【變式5-1】（23-24九年級·廣東深圳·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，（要求僅用無刻度的直尺，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡）
(1)在圖1中，以C為位似中心，位似比為1:2；請畫出放大后的△A1B1C1．
(2)在圖2中，線段AB上作點M，利用格點作圖使得AMBM=32．
(3)在圖3中，利用格點在AC邊上作－個點D，使得△ABD∽ACB．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】本題考查了作位似圖形，平行線分線段成比例定理在作圖中的應(yīng)用，相似三角形在作圖中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)位似圖形的定義，延長CA到點A1，使得CA1=2CA，延長CB到點B1，使得CB1=2CB，連結(jié)A1B1，可證明△ABC與△A1B1C1位似，位似比為1:2，所以△A1B1C1即為所求；
（2）在點C的左側(cè)作水平線段BC=5個單位長度，連結(jié)AC，在BC上取點N，使BN=2個單位長度，過點N沿格點線作NM∥AC，交AB于點M，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AMBM=32，所以點M就是所求的點；
（3）過點A作AE⊥AC，使得AE=AC，點E恰為格點，過點B作BF∥AE，使得BF=AE，點F恰為格點，BF與AC交于點D，則AC⊥BF，同時可證得∠ABC=90°，由此即可證明△ABD∽△ACB，所以點D就是所求的點．
【詳解】（1）如圖，△A1B1C1即為所求作的三角形；
（2）如圖，點M就是所求的點；
（3）如圖，點D就是所求的點．
【變式5-2】（23-24九年級·陜西渭南·期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點O和點A1在格點上，△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格線交點上）．
(1)畫出△ABC以點O為位似中心的位似圖形△A1B1C1，點A、B、C的對應(yīng)點分別為點A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1與△ABC的周長之比為______．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)3∶1
【分析】（1）由點A、A1可得△ABC與△A1B1C1的位似比為1∶3，再根據(jù)位似圖形的性質(zhì)作圖即可；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求解；
本題考查了作位似圖形，位似圖形的性質(zhì)，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）解：∵OA1∶OA=3∶1，
∴△A1B1C1與△ABC的位似比為3∶1，
∴△A1B1C1與△ABC的周長之比為3∶1，
故答案為：3∶1．
【變式5-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．A,B,C都是格點，點P在BC上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖1中，將線段AB沿BC的方向平移，使點B與點C重合，畫出平移后的線段CD，再將PC繞AC的中點順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到GA，畫出線段GA；
(2)在圖2中，將△APC以點C為位似中心縮小為原來的12得到△EFC，畫出△EFC；
(3)在圖3中，在AC上畫一點M，在AB上畫一點N，使得PM+MN最小．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）利用平移性質(zhì)可畫出CD，利用平行四邊形的性質(zhì)，連接P和AC的中點并延長交AD于點G，即可得到答案；
（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到CE=12AC，CF=12CP，取AC中點E和AP上一點G，連接EG并確定其中點Q，取AP上一點H，連接HQ并延長，根據(jù)“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”可作平行四邊形EHGM，連接EM并延長交BC于點F，根據(jù)平行線分線段成比例得到點F為CP的中點，則△EFC即為所求作；
（3）首先確定點P關(guān)于AC的對稱點P'：取格點B'，連接CB'，B'P，B'P交AC于點K，連接BK并延長交CB'于點P'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的判定，可知點P、P'關(guān)于AC對稱；過點P'作AB的垂線，確定點M、N：取格點C'，使得△B'CC'為等腰三角形，連接C'P'確定點J，連接CJ并延長確定點T，連接P'T并延長，交AC于點M，交AB于點N，連接PM，即可獲得答案．
【詳解】（1）
（2）
（3）
【點睛】本題考查基本作圖，涉及平移性質(zhì)、位似圖形性質(zhì)、中心對稱圖形性質(zhì)、軸對稱圖形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例性質(zhì)、垂線段最短等知識，熟知網(wǎng)格特點，熟練掌握基本作圖所涉及到的知識點的運用是解答的關(guān)鍵．
【題型6 求位似圖形的線段長度】
【例6】（2024·浙江溫州·三模）如圖，矩形ABCD與矩形EFGH位似，點O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，則AD的值為（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形ABCD與矩形EFGH位似可得EHAD=OHOD=13，最后代入計算即可．
【詳解】解：∵OH:HD=1:2，
∴OHOD=13，
∵矩形ABCD與矩形EFGH位似，
∴EHAD=OHOD=13
∵EH=2，
∴AD=6．
故選C．
【點睛】本題主要考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)題意得到EHAD=OHOD=13是解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，則AO:AA'的值為（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．3:2
【答案】B
【分析】此題考查了位似變換，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可判斷，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，
∴△ABC∽△A'B'C'，點C、點O、點C'三點在同一直線上， AO:OA'=1:2，
∴AO:AA'=1:3，
故選：B．
【變式6-2】（23-24九年級·福建泉州·期末）如圖，DE是△ABC的中位線，D'E'是△A'B'C'的中位線，連結(jié)AA'、BB'、CC'．已知BC=4，2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'．則D'E'的長度為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本題主要考查了中位線的性質(zhì)和位似圖形的判定與性質(zhì)，通過中位線的性質(zhì)得出DE=12BC=2，再證明△ABC∽△A'B'C'，得出相似比為12，即可得到DE=12D'E'，從而得出答案，熟練掌握位似圖形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵ DE是△ABC的中位線，D'E'是△A'B'C'的中位線，
∴ DE=12BC=2，D'E'=12B'C'，
∵ 2OA=OA'，2OB=OB'，2OC=OC'，
∴ △ABC∽△A'B'C'，
∴相似比為12，
∴ BC=12B'C'，
∴ DE=12D'E'，
∴ D'E'=4，
故選：B．
【變式6-3】（23-24九年級·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點C、F之間的距離為 ．
【答案】5
【分析】連接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根據(jù)矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，得AFAC=34，即可求出AF長，然后由CF=AC-A即可求解．
【詳解】解：如圖，連接AC，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°
∴AC=AB2+BC2=82+42=45，
∵矩形AEFG與矩形ABCD位似，點F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，
∴點F在AC上，
∴AFAC=34，即AF45=34，
∴AF=35，
∴CF=AC-AF=45-35=5，
故答案為：5．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型7 求位似圖形的周長】
【例7】（23-24九年級·陜西咸陽·期末）如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的周長之比為（ ）

A．1:6B．1:5C．1:4D．1:2
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出△ABC與△DEF的位似比，得到相似比，周長之比等于相似比．
【詳解】解：以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，
∴AB∥DE，
∵AD=OA，
∴AB:DE=OA:OD=1:2，
∴△ABC與△DEF的位似比為1:2，
∴△ABC與的周長之比為1:2．
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似變換，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的周長之比等于相似比．
【變式7-1】（2024·重慶·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，若OCOF=2，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質(zhì)得△ABC∽△DEF，ACDF=OCOF=2，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解決問題，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似圖形必須是相似形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；對應(yīng)邊平行或共線．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．
∴△ABC∽△DEF，
∴ACDF=OCOF=2，
∴△ABC的周長:△DEF的周長=2:1，
∵△ABC的周長為8
∴△DEF的周長為4．
故選：D．
【變式7-2】（23-24九年級·重慶南岸·期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長為2，則△DEF的周長為（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3，從而得出△ABC周長：△DEF周長=1:3，由此即可解答．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC與△DEF的位似比是1:3．
則△ABC周長：△DEF周長=1:3，
∵△ABC的周長為2，
∴△DEF周長=2×3=6
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換：位似圖形的任意一對對應(yīng)點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的周長比等于相似比．
【變式7-3】（2024·四川成都·二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知OAA'A=25，若四邊形ABCD的周長為8，則四邊形A'B'C'D'的周長為 ．
【答案】28
【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)，得到AB∥A'B'，推出△OAB∽△OA'B'，進(jìn)而求出四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的相似比，利用周長比等于相似比，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵OAAA'=25，
∴OAOA'=27，
∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'是位似圖形，
∴四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，AB∥A'B'，
∴△OAB∽△OA'B'，
∴ABA'B'=OAOA'=27，
∴四邊形ABCD的周長∶四邊形A'B'C'D'的周長=2:7，
∵四邊形ABCD的周長是8，
∴四邊形A'B'C'D'的周長為28，
故答案為：28．
【點睛】本題考查位似圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
【題型8 求位似圖形的面積】
【例8】（23-24九年級·浙江·期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心．若OEEA=23，四邊形ABCD的面積是25，則四邊形EFGH的面積是（ ）
A．4B．10C．1009D．503
【答案】A
【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)；先根據(jù)位似的性質(zhì)得到EFAB=OEOA，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，，再利用比例的性質(zhì)得EFAB=25，然后根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求解即可；掌握性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)求出相似比是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，點O是位似中心，
∴EFAB=OEOA，
四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，
∵OEEA=23，
∴OEOA=25，
∴EFAB=25，
∴S四邊形EFGHS四邊形ABCD=OEOA2，
∴S四邊形EFGH25=252
解得：S四邊形EFGH=4；
故選：A．
【變式8-1】（23-24九年級·陜西西安·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，以C為位似中心，作平行四邊形ABCD的位似平行四邊形PECF，且與原圖形的位似比為2:3，連接BP，DP，若平行四邊形ABCD的面積為20，則△PBE與△PDF的面積之和為
【答案】8027/22627
【分析】此題考查了位似的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先求出S△ACD，由PF∥AD證得△CPF∽△CAD，求出CFCD=23，據(jù)此求解即可得到答案．
【詳解】解：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，面積為20，
∴S△ACD=12×20=10，
∵?ABCD和?ECFP是以B為位似中心的位似圖形，
∴點A、P、C在同一條直線上，PF∥AD，
∴△CPF∽△CAD，
∴CFCD=23，
∴S△CPF=49S△CAD=409，
∴S△DPF=13S△CPF=4027，
同理S△BPE=13S△CPE=4027，
∴△PBE與△PDF的面積之和為8027．
故答案為：8027．
【變式8-2】（2024·重慶九龍坡·一模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA：AD＝1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【答案】D
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，得到答案．
【詳解】解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC與△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△OBA∽△OED，
∴ABDE=OAOD=13，即△ABC與△DEF的相似比為13，
∴△ABC與△DEF的面積比＝(13)2＝19，
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（23-24九年級·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖1，正方形ABCD繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'C'D'，現(xiàn)將整個圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為12，若整個圖形的外圍周長為16，則圖中的陰影部分面積為（ ）
A．2+2B．4+22C．6+32D．8+42
【答案】C
【分析】由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DF=DG=D'F=C'G=1，且△DFG為等腰直角三角形，可以推出FG=2，可以計算出圖2中整個圖形面積為S正方形ABCD+4S△DFG，通過位似圖形的性質(zhì)可得圖2中間空白部分面積為：148+42=2+2，最后求出陰影部分的面積即可．
【詳解】如圖，
∵正方形ABCD繞中心O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A'B'C'D'，整個圖形的外圍周長為16，
∴DF=DG=D'F=C'G=1，且△DFG為等腰直角三角形，
∴FG=2，
∴圖2中整個圖形面積：S正方形ABCD+4S△DFG=2+22+4×12×1×1=8+42
∵將整個圖形的外圍以O(shè)為位似中心得到位似圖形如圖2所示，位似比為12，
∴圖2中間空白部分面積為：148+42=2+2
圖2中陰影部分面積為：8+42?2+2=6+32
故選：C
【點睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、位似圖形等幾何知識點及其應(yīng)用；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識點，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．
【題型9 求位似圖形的坐標(biāo)】
【例9】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖， Rt△ABC與Rt△EFG是關(guān)于y軸上一點的位似圖形，若B?4,4，F(xiàn)2,1則位似中心的坐標(biāo)為（ ）
A．0,1B．0,2C．0,3D．0,32
【答案】B
【分析】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，直接利用位似圖形的性質(zhì)得出PCPG=2，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：如圖所示，連接BF，交CG于點P，
∵對應(yīng)點B和F的坐標(biāo)分別為?4,4，2,1，
∴C0,4，G0,1，CB=4，F(xiàn)G=2，CG=3，
由題意可得：△BCP∽△FGP，
∴CBGF=PCPG=2，
∴2GP=3?GP，
解得：GP=1，
∴位似中心到點G的距離是1，
∴位似中心的坐標(biāo)為0,2，
故選：B．
【變式9-1】（23-24九年級·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 E ??4, 2?, F ??2, ?2 ?，以 O 為位似中心，按 2：1 的相似比把?EFO 縮小為?E?F ?O ，則點 E 的對應(yīng)點 E? 的坐標(biāo)為 .
【答案】（2，-1）或（-2，1）．
【分析】由在直角坐標(biāo)系中，點E（-4，2），F(xiàn)（-2，-2），以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O，利用位似圖形的性質(zhì)，即可求得點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵點E（-4，2），以O(shè)為位似中心，按2：1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O，
∴點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)為：（2，-1）或（-2，1）．
故答案為（2，-1）或（-2，1）．
【點睛】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，點P是位似中心．若點B的坐標(biāo)為2，3，點E的橫坐標(biāo)為?1，則點P的坐標(biāo)為 ．

【答案】?2,0
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到DEBC=ODAB，求出OD=32，再證明DE∥OP，得到CDCO=DEOP，即可求出OP，得到答案．
【詳解】∵四邊形OABC為矩形，點B的坐標(biāo)為2，3，
∴AB=OC=3，OA=2，
∵點E的橫坐標(biāo)為?1，
∴DE=OF=1
∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，
∴DEBC=ODAB，
∴12=OD3，
∴OD=32，
∵∠COP=∠CDE=90°
∴DE∥OP，
∴△CDE~△COP，
∴CDCO=DEOP，
∴3?323=1OP，
解得：OP=2，
∴點P的坐標(biāo)為?2，0，
故答案為：?2，0．
【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得出DEBC=ODAB是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2024·山東青島·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的頂點O0,0，B2,0，已知△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA'B'的面積是△OAB面積的4倍，則點A對應(yīng)點A'的坐標(biāo)為（ ）

A．12,32B．23,2或?23,?2
C．4,43D．2,23或?2,?23
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得OA=OB=2，如圖：過A作AC⊥x軸于C，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OC=12OB=1,AC=32OA=3，即可確定點A(1,3)，再根據(jù)題意可得△OA'B'與△OAB位似為2比1，然后根據(jù)位似變換的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：∵等邊三角形OAB的頂點O(0,0),B(2,0)，
∴OA=OB=2，
過A作AC⊥x軸于C，

∵△AOB是等邊三角形，
∴OC=12OB=1,AC=32OA=3,
∴A(1,3),
∵△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA'B'的面積是△OAB面積的4倍，
∴△OA'B'與△OAB位似比為2比1，
∴點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是(2,23)或(?2,?23)．
故選：D．
【點睛】本題考查主要考查了位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或?k．
【題型10 與位似圖形相關(guān)的規(guī)律】
【例10】（23-24九年級·全國·單元測試）如圖，在平面直角標(biāo)系xOy中，以O(shè)為位似中心，將邊長為8的等邊三角形OAB作n次位似變換，經(jīng)第一次變換后得到等邊三角形OA1B1，其邊長OA1縮小為OA的12，經(jīng)第二次變換后得到等邊三角形OA2B2，其邊長OA2縮小為OA1的12，經(jīng)第三次變換后得到等邊三角形OA3B3，其邊長OA3縮小為OA2的12，…按此規(guī)律，經(jīng)第n次變換后，所得等邊出角形OAnBn．的頂點An的坐標(biāo)為（128，0），則n的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)總結(jié)規(guī)律，代入計算即可．
【詳解】∵△OAB是等邊三角形，邊長為8，
∴點A的坐標(biāo)為（8，0），
由位似變換的性質(zhì)可知，點A1的坐標(biāo)為（8×12，0），即（4，0），
點A2的坐標(biāo)為（8×122，0），即（2，0），
由題意得，8×12n=128，
解得，n=11，
故選D．
【點睛】本題考查的是位似變換，掌握等邊三角形的性質(zhì)、位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6……按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標(biāo)分別為P?3,0，A1?2,1，A2?1,0，A3?2,?1，則頂點A2024的坐標(biāo)為（ ）
A．1347,0B．672,?675C．672,675D．1350,0
【答案】A
【分析】本題考查的是位似變換、點的變化規(guī)律．根據(jù)當(dāng)A1、A2、A3的坐標(biāo)的變化情況，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：∵A2?1,0，A51,0，A83,0，A115,0，…，
∴A3n?12n?3,0，
∵2024=3×675?1，
∴A2024的坐標(biāo)為2×675?3,0，即1347,0，
故選：A．
【變式10-2】（23-24九年級·山東青島·課后作業(yè)）如圖，正方形A1B1C1D1可看成是分別以A、B、C、D為位似中心將正方形ABCD放大一倍得到的圖形（正方形ABCD的邊長放大到原來的3倍），由正方形ABCD到正方形A1B1C1D1，我們稱之作了一次變換，再將正方形A1B1C1D1作一次變換就得到正方形A2B2C2D2，…，依此下去，作了2005次變換后得到正方形A2005B2005C2005D2005，若正方形ABCD的面積是1，那么正方形A2005B2005C2005D2005的面積是多少（ ）

A．32005B．32004C．34010D．34009
【答案】C
【分析】根據(jù)每次變換后，正方形的邊長放大3倍，可得出作2005次變換后的正方形的邊長為32005 ，從而計算面積即可.
【詳解】因為ABCD的面積為1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次變換后正方形的邊長為3=3，二次變換后正方形的邊長為：9=32，三次變換后正方形的邊長為：27=33，…n次變換后正方形的邊長為：3n，故作2005次變換后的正方形的邊長為32005，
此時正方形的面積為：32005×32005=34010，
故選C.
【點睛】本題考查了位似變換的知識，根據(jù)每次變換后邊長放大3倍，得出2005次變換后正方形的邊長是解題關(guān)鍵.
【變式10-3】（23-24九年級·湖南永州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為12，點A1，A2，A3在x軸上，延長A3C2交射線OB1與點B3，以A3B3為邊作正方形A3B3C3A4；延長A4C3，交射線OB1與點B4，以A4B4為邊作正方形A4B4C4A5；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若OA1=1，則正方形A2022B2022C2022A2023的面積為 ．
【答案】24042
【分析】先根據(jù)位似比求出A1B1A2B2=12，再證明△OA1B1∽△OA2B2，得到OA2=2，A1A2=1，A2B2=2，OA3=4，同理證明△OA2B2∽△OA3B3，得到A3B3=4，從而得到正方形A1B1C1A2的面積為202，正方形A2B2C2A3的面積為212，正方形A3B3C3A3的面積為222，……，據(jù)此發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到答案．
【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為12，
∴A1B1A2B2=12，
∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴A1B1∥A2B2，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴A1B1A2B2=OA1OA2=12，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=OA2?OA1=2?1=1，
∴正方形A1B1C1A2的邊長為1=20，
∵A1B1A2B2=12，
∴A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的邊長為2=21，
∴A2A3=A2B2=2，
∴OA3=OA2+A2A3=2+2=4，
同理可得△OA2B2∽△OA3B3，
∴A2B2A3B3=OA2OA3=24=12，
∴A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的邊長為4=22，
∴正方形A1B1C1A2的面積為12=202，
正方形A2B2C2A3的面積為22=212，
正方形A3B3C3A4的面積為42=222，
……
∴正方形A2022B2022C2022A2023的面積是22022?12=24042．
故答案為：24042．
【點睛】本題為位似的實際應(yīng)用，考查了位似比，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，理解題意，根據(jù)相似三角形和正方形的知識分別求出正方形的邊長，從而表示出正方形的面積并發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．

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初中數(shù)學(xué)滬科版（2024）九年級上冊電子課本

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版本： 滬科版（2024）

年級： 九年級上冊

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