專(zhuān)題22.6 相似三角形的應(yīng)用【十大題型】 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc1046" 【題型1 建筑物高問(wèn)題】  PAGEREF _Toc1046 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc11733" 【題型2 影長(zhǎng)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc11733 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc29477" 【題型3 河寬問(wèn)題】  PAGEREF _Toc29477 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc5688" 【題型4 樹(shù)高問(wèn)題】  PAGEREF _Toc5688 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc25573" 【題型5 杠桿問(wèn)題】  PAGEREF _Toc25573 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc26203" 【題型6 實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc26203 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc11251" 【題型7 古文問(wèn)題】  PAGEREF _Toc11251 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc1522" 【題型8 裁剪問(wèn)題】  PAGEREF _Toc1522 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc659" 【題型9 現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc659 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc3078" 【題型10 三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】  PAGEREF _Toc3078 \h 14  【題型1 建筑物高問(wèn)題】 【例1】（23-24九年級(jí)·山東濰坊·期末）小亮運(yùn)用《數(shù)書(shū)九章》中測(cè)量塔高的方法測(cè)量一幢樓房的高度．如圖，MN表示樓房的高，AB表示一根直桿頂端B到地面的高，CD表示小亮的眼睛到地面的高，MN,AB,CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,A,M在同一條直線上．已知AM=98m，AB=3m，CD=1.6m，CA=2m，小亮從點(diǎn)D遠(yuǎn)眺樓頂N，視線恰好經(jīng)過(guò)直桿的頂端B，請(qǐng)幫小亮求出樓房的高． 【變式1-1】（23-24·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）圭表是中國(guó)古代根據(jù)日影長(zhǎng)度變化測(cè)定季節(jié)、劃分四季和推算歷法的工具．圖1為圭表示意圖．某同學(xué)受到啟發(fā)，利用一根標(biāo)桿和一個(gè)卷尺輕松測(cè)量出學(xué)校旗桿的高度．如圖2，旗桿MN的影長(zhǎng)MA在水平地面上，將標(biāo)桿AB（長(zhǎng)度1米）豎直放置在影長(zhǎng)的最遠(yuǎn)端點(diǎn)A處，此時(shí)標(biāo)桿AB的影長(zhǎng)為AD．經(jīng)測(cè)量，AD=1.2米，AM=12.1米． (1)根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿MN的高度．（結(jié)果保留整數(shù)） (2)若該同學(xué)在操作過(guò)程中，測(cè)量完AD的長(zhǎng)度后，準(zhǔn)備測(cè)量AM的長(zhǎng)度時(shí)，發(fā)現(xiàn)卷尺不夠長(zhǎng)，又去尋找更長(zhǎng)一點(diǎn)的卷尺，半小時(shí)后回來(lái)測(cè)量AM的長(zhǎng)度，請(qǐng)問(wèn)這樣可以準(zhǔn)確得到旗桿的高度嗎？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由． 【變式1-2】（23-24·河南·模擬預(yù)測(cè)）小明和小亮兩位同學(xué)春節(jié)期間在游覽某景區(qū)時(shí)，對(duì)景區(qū)內(nèi)一座古塔產(chǎn)生濃厚的興趣，他們想用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量古塔的高度．為了保護(hù)古塔，工作人員在古塔底部設(shè)有柵欄，古塔底部不可直接到達(dá)．經(jīng)詢(xún)問(wèn)得知柵欄長(zhǎng)17米（即FC=17米），小亮在F處利用1米高的柵欄（即FG=1米，且FG⊥FC），在柵欄頂端G處測(cè)得塔的頂部A處的仰角為45°，小明同學(xué)在古塔另一側(cè)的C處放置平面鏡（點(diǎn)D，C，B，F(xiàn)四點(diǎn)在一條直線上），當(dāng)他站在D處時(shí)恰好能從平面鏡中看到古塔的塔頂A，已知小明的身高為1.8米（即ED=1.8米，且ED⊥DB），小明到平面鏡的水平距離為0.9米（即DC=0.9米），求古塔AB的高． ?? 【變式1-3】（23-24九年級(jí)·山東威海·期末）圖Ⅰ是大拇指廣場(chǎng)示意圖及測(cè)量其高度的方案，圖Ⅱ是求大拇指高度AB的示意圖．如圖Ⅱ，在C處放置一根高度為2m且與地平線BF垂直的竹竿IC，點(diǎn)A，I，D在同一直線上，測(cè)得CD為3m．將竹竿3m平移5m至E處，點(diǎn)A，G，F(xiàn)在同一直線上，測(cè)得EF為5m．求大拇指的高度． 【題型2 影長(zhǎng)問(wèn)題】 【例2】（23-24九年級(jí)·河南鶴壁·開(kāi)學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進(jìn)4m到達(dá)D點(diǎn)，在D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DE=1m．小麗身高CD=1.2m． (1)求燈桿AB的長(zhǎng)； (2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進(jìn)4m到達(dá)G處（如圖2），求此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)． 【變式2-1】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）操場(chǎng)上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在對(duì)面的墻壁上，經(jīng)測(cè)量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長(zhǎng)為2.8m，同時(shí)測(cè)得一根高為2m的竹竿OM的影長(zhǎng)是ON=1.4m，請(qǐng)根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（????） A．4.5m B．4.7m C．5.2m D．5.7m 【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·期中）如圖，在路燈下，AB表示小明的身高，AC表示他的影子，F(xiàn)G表示小亮的身高，路燈燈泡在線段DE上． (1)請(qǐng)你畫(huà)出燈泡的位置，并畫(huà)出小亮在燈光下的影子； (2)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子AC=1.4m，且他到路燈的距離AD=2.1m，求路燈的高． 【變式2-3】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）小明和爸爸在公園散步，此時(shí)爸爸的影子落在了身后的地面和墻上，如圖1所示．其中，BC段為地上的影子，AC段為墻上的影子．小明想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量出爸爸的身高．他向工作人員詢(xún)問(wèn)得知：公園地面與墻面所用均為厚度13.5cm，長(zhǎng)度65cm的磚塊，小明數(shù)了一下，BC段剛好是4塊地磚的長(zhǎng)度，而AC段恰好為4塊地磚的厚度；同一時(shí)刻，小明觀察到公園門(mén)口指示牌影子的頂端剛好到達(dá)保安亭，如圖2所示，其中MN為指示牌的影子．已知爸爸、墻面、指示牌和保安亭均與地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫小明求出爸爸的身高． 【題型3 河寬問(wèn)題】 【例3】（23-24九年級(jí)·河南許昌·期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量河的寬度．如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的點(diǎn)P處懶北岸，小軍、小強(qiáng)站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強(qiáng)兩人的位置，當(dāng)小軍、小強(qiáng)兩人分別站在C,D兩點(diǎn)處時(shí)，小麗發(fā)現(xiàn)河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強(qiáng)遮擋（即A,C,P三點(diǎn)共線，B,D,P三點(diǎn)共線）．已知電線桿A,B之間的距離為75米，小軍、小強(qiáng)兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度． 【變式3-1】（23-24·陜西·中考真題）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB． 【變式3-2】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，為了測(cè)量某河段的寬度，某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B和C，使點(diǎn)A、B、C共線且直線AB與河岸b垂直，接著在過(guò)點(diǎn)C且與AB垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，點(diǎn)A、D與河岸b上的點(diǎn)E在一條直線上．測(cè)得BC=12m，CD＝16m，BE=10m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬AB． 【變式3-3】（23-24九年級(jí)·北京·期末）如圖，為了測(cè)量平靜的河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸D點(diǎn)3.2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為1.6米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一根長(zhǎng)為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？ 【題型4 樹(shù)高問(wèn)題】 【例4】（23-24九年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的DEF）．小南利用“矩”可測(cè)量大樹(shù)AB的高度．如圖，通過(guò)不斷調(diào)整自己的姿勢(shì)和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長(zhǎng)分別為EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測(cè)得AM=21m，求樹(shù)高AB． 【變式4-1】（23-24九年級(jí)·云南紅河·期末）如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.9米，小愛(ài)站在F處，眼睛E處看到標(biāo)桿頂A，樹(shù)頂C在同一條直線上(人，標(biāo)桿和樹(shù)在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)F，B，D在同一條直線上)．已知BD=6米，F(xiàn)B=2米，EF=1.7米，求樹(shù)高CD． 【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山東聊城·階段練習(xí)）小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹(shù)的高度.一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹(shù)前，由于有圍欄保護(hù)，他們無(wú)法到達(dá)古樹(shù)的底部B，如圖所示.于是他們先在古樹(shù)周?chē)目盏厣线x擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器CD，測(cè)得∠ACD=135°；再在BD的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著B(niǎo)G方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測(cè)量器的高度CD=0.5米.已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹(shù)的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)） 【變式4-3】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)C'處，他在點(diǎn)F'處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像．已知AB⊥BF'，EF⊥BF'，E'F'⊥BF'，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E'F'=1.7m），量得CC'=12m，CF=1.8m，C'F'=4.2m，求這棵古松樹(shù)的高度AB．（鏡子大小忽略不計(jì)） 【題型5 杠桿問(wèn)題】 【例5】（23-24九年級(jí)·山西大同·期末）阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)和一根足夠長(zhǎng)的桿子，我就能撬起整個(gè)地球．”這句話的意思是利用物理學(xué)中的杠桿原理，只要有合適的支點(diǎn)和合適的工具，就可以把地球輕松搬動(dòng)．如圖1，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖2中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=7cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），則AC的長(zhǎng)為 cm． ?? 【變式5-1】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)EF處于圖中的位置時(shí)，點(diǎn)O到點(diǎn)E的水平距離OM=2，點(diǎn)O到點(diǎn)F的水平距離ON=4，若已知杠桿的OE段長(zhǎng)為2.5，則杠桿的OF段長(zhǎng)為 ． 【變式5-2】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 cm． 【變式5-3】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期中）如圖1所示的是古代一種可以遠(yuǎn)程攻擊的投石車(chē)，圖2是投石車(chē)投石過(guò)程中某時(shí)刻的示意圖，GP是杠桿，彈袋掛在點(diǎn)G，重錘掛在點(diǎn)P，點(diǎn)A為支點(diǎn)，點(diǎn)D是水平底板BC上的一點(diǎn)，AD=AC=3米，CD=3.6米． （1）投石車(chē)準(zhǔn)備時(shí)，點(diǎn)G恰好與點(diǎn)B重合，此時(shí)AG和AC垂直，則BD= 米 （2）投石車(chē)投石過(guò)程中，AP的延長(zhǎng)線交線段DC于點(diǎn)E，若DE：CE=5：1，則點(diǎn)G距地面為 米． 【題型6 實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】 【例6】（23-24九年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上． (1)求BC的長(zhǎng)． (2)求燈泡到地面的高度． 【變式6-1】（23-24·廣東汕頭·三模）約在兩千五百年前，如圖（1），墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖（2）所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 cm． 【變式6-2】（23-24九年級(jí)·云南文山·期中）如圖，佳佳同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，水平地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到平面鏡的水平距離BC=3m，已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，求燈泡到地面的高度AG． 【變式6-3】（23-24九年級(jí)·山西太原·期末）小彬做了探究物體投影規(guī)律的實(shí)驗(yàn)，并提出了一些數(shù)學(xué)問(wèn)題請(qǐng)你解答： (1)如圖1，白天在陽(yáng)光下，小彬?qū)⒛緱UAB水平放置，此時(shí)木桿在水平地面上的影子為線段A'B'． ①若木桿AB的長(zhǎng)為2m，則其影子A'B'的長(zhǎng)為_(kāi)__________m； ②在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)，將另一根木桿CD直立于地面，請(qǐng)畫(huà)出表示此時(shí)木桿CD在地面上影子的線段DM： (2)如圖2，夜晚在路燈下，小桃將木桿EF水平放置，此時(shí)木桿在水平地面上的影子為線段E'F'． ①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出表示路燈燈泡位置的點(diǎn)P； ②若木桿EF的長(zhǎng)為2m，經(jīng)測(cè)量木桿EF距離地面2m，其影子E'F'的長(zhǎng)為3m，則路燈P距離地面的高度為_(kāi)__________m． 【題型7 古文問(wèn)題】 【例7】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)一百步立一表，出西門(mén)二百二十五步適可見(jiàn)之，問(wèn)邑方幾何？”它的意思是：如圖，M，N分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過(guò)點(diǎn)A，且ME=100步，NF=225步，那么該正方形城邑邊長(zhǎng)AD約為（????）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【變式7-1】（23-24九年級(jí)·湖南邵陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題： “今有井徑5尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末 望水岸，入徑四寸．問(wèn)井深幾何？”意思是：如圖， 井徑BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，則井深x為 尺． ?? 【變式7-2】（23-24·廣西南寧·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)．出北門(mén)三十步有木，出西門(mén)七百五十步見(jiàn)木．問(wèn)邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點(diǎn)E，G分別為CD，AD的中點(diǎn)，EF⊥CD，GH⊥AD，點(diǎn)F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的邊長(zhǎng)是（　?。? A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 【變式7-3】（23-24·河南安陽(yáng)·一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類(lèi)而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入．”就是說(shuō)，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注·序》．某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰AB的高度，如圖，在同一海平面的D處和F處分別樹(shù)立標(biāo)桿CD和EF，標(biāo)桿的高都是5.5米，DF兩處相隔80米，從標(biāo)桿CD向后退11米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿EF向后退13米的H處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上．求山峰AB的高度及它和標(biāo)桿CD的水平距離． 注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)． ?? 【題型8 裁剪問(wèn)題】 【例8】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）有一等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則得到的甲、乙、丙、丁四張紙片中，面積最大的是（????） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【變式8-1】（23-24·浙江湖州·一模）三八婦女節(jié)，同學(xué)們準(zhǔn)備送小禮物給媽媽?zhuān)紫壤谜叫渭埌?，制作一個(gè)正方體禮品盒（如圖所示裁剪）．已知正方形紙板邊長(zhǎng)為52分米，則這個(gè)禮品盒的體積 分米3． 【變式8-2】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期末）在綜合實(shí)踐課中，小慧將一張長(zhǎng)方形卡紙如圖1所示裁剪開(kāi)，無(wú)縫隙不重疊的拼成如圖2所示的“L”形狀，且成軸對(duì)稱(chēng)圖形.裁剪過(guò)程中卡紙的消耗忽略不計(jì)，若已知AB=9，BC=16，F(xiàn)G⊥AD. 求（1）線段AF與EC的差值是___ （2）FG的長(zhǎng)度. 【變式8-3】（23-24九年級(jí)·四川遂寧·期中）一個(gè)小風(fēng)箏與一個(gè)大風(fēng)等形狀完全相同，它們的形狀如圖所示，其中對(duì)角線AC⊥BD．已知它們的對(duì)應(yīng)邊之比為1：3，小風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為12cm和14cm． （1）小風(fēng)箏的面積是多少？ （2）如果在大風(fēng)箏內(nèi)裝設(shè)一個(gè)連接對(duì)角頂點(diǎn)的十字交叉形的支撐架，那么至少需用多長(zhǎng)的材料？（不記損耗） （3）大風(fēng)箏要用彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個(gè)風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來(lái)的，那么從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積是多少？ 【題型9 現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題】 【例9】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)常見(jiàn)的鐵夾的剖面圖，OA，OB表示鐵夾的剖面的兩條邊，點(diǎn)C是轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置，CD⊥OA，垂足為D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且鐵夾的剖面圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（????） A．30mm B．32.5mm C．60mm D．65mm 【變式9-1】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知箱子沿著斜面向上運(yùn)動(dòng)，箱高AB=1.2m．當(dāng)BC=2.5m時(shí)，點(diǎn)B到地面的距離BE=1.5m，則點(diǎn)A到地面的距離AD為（????） A．2.6m B．2.5m C．2.46m D．2.22m 【變式9-2】（23-24·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖①，是生活中常見(jiàn)的人字梯，也稱(chēng)折梯，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，因而把它形象的稱(chēng)為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，拉桿EF∥BC，AE=13BE，EF=0.4米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為 米． 【變式9-3】（23-24·遼寧沈陽(yáng)·三模）如圖是一個(gè)矩形足球球場(chǎng)，AB為球門(mén)，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=a米．某球員沿CD帶球向球門(mén)AB進(jìn)攻，在Q處準(zhǔn)備射門(mén)，已知BD=3a米，QD=3a米，對(duì)方門(mén)將伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍大約為0.25a米；此時(shí)門(mén)將站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂伸開(kāi)MN且垂直于AQ進(jìn)行防守，MN中點(diǎn)與AB距離 米時(shí)，剛好能成功防守． 【題型10 三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】 【例10】（23-24春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為5cm和2cm的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長(zhǎng)為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有 ． 【變式10-1】（23-24九年級(jí)·廣西桂林·期中）如圖，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=18cm，高AD=12cm，現(xiàn)在要把它加工成長(zhǎng)與寬的比為3:2的矩形零件EFCH，要求一條長(zhǎng)邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，則矩形EFGH的周長(zhǎng)為 cm． 【變式10-2】（23-24九年級(jí)·河南周口·期中）汽車(chē)盲區(qū)是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(shí)(如圖1)，其視線被車(chē)體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域．預(yù)防進(jìn)入汽車(chē)盲區(qū)，能有效預(yù)防交通事故發(fā)生，提高學(xué)生避險(xiǎn)能力．小明在學(xué)習(xí)了交通安全知識(shí)后，對(duì)汽車(chē)盲區(qū)產(chǎn)生了興趣．如圖2，是他研究的一個(gè)汽車(chē)盲區(qū)的示意圖，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.5m，車(chē)寬AF=1.8m，車(chē)頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3DF=2AF，求汽車(chē)盲區(qū)EB的長(zhǎng)度． 【變式10-3】（23-24·江蘇鹽城·二模）（1）【問(wèn)題探究】如圖①，點(diǎn)B，C分別在AM，AN上，AM=12米，AN=20米，AB=2米，BC=2.6米，AC=1.2米． ①探究△ABC與△AMN是否相似并說(shuō)明理由； ②求MN的長(zhǎng)． （2）【問(wèn)題解決】如圖②，四邊形ACBD規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對(duì)角線AB將整個(gè)四邊形分成面積相等的兩部分，已知AB=60米，四邊形ACBD的面積為2400平方米，為了更好地美化環(huán)境，政府計(jì)劃在BC，AC邊上分別確定點(diǎn)E，F(xiàn)，在AB邊上確定點(diǎn)P，Q，使四邊形EFPQ為矩形，在矩形EFPQ內(nèi)種植花卉，在四邊形ACBD剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞，計(jì)劃在FQ之間修一條小路，并使得FQ最短，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，求出FQ的最小值，并求出當(dāng)FQ最小時(shí)，花卉種植區(qū)域的面積． ?? 專(zhuān)題22.6 相似三角形的應(yīng)用【十大題型】 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc1046" 【題型1 建筑物高問(wèn)題】  PAGEREF _Toc1046 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc11733" 【題型2 影長(zhǎng)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc11733 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc29477" 【題型3 河寬問(wèn)題】  PAGEREF _Toc29477 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc5688" 【題型4 樹(shù)高問(wèn)題】  PAGEREF _Toc5688 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc25573" 【題型5 杠桿問(wèn)題】  PAGEREF _Toc25573 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc26203" 【題型6 實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc26203 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc11251" 【題型7 古文問(wèn)題】  PAGEREF _Toc11251 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc1522" 【題型8 裁剪問(wèn)題】  PAGEREF _Toc1522 \h 30  HYPERLINK \l "_Toc659" 【題型9 現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題】  PAGEREF _Toc659 \h 34  HYPERLINK \l "_Toc3078" 【題型10 三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】  PAGEREF _Toc3078 \h 39  【題型1 建筑物高問(wèn)題】 【例1】（23-24九年級(jí)·山東濰坊·期末）小亮運(yùn)用《數(shù)書(shū)九章》中測(cè)量塔高的方法測(cè)量一幢樓房的高度．如圖，MN表示樓房的高，AB表示一根直桿頂端B到地面的高，CD表示小亮的眼睛到地面的高，MN,AB,CD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,A,M在同一條直線上．已知AM=98m，AB=3m，CD=1.6m，CA=2m，小亮從點(diǎn)D遠(yuǎn)眺樓頂N，視線恰好經(jīng)過(guò)直桿的頂端B，請(qǐng)幫小亮求出樓房的高． 【答案】樓房的高為71.6m 【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過(guò)D作DF⊥MN于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，EF=AM=98m，求得BE=AB?AE=1.4m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【詳解】解：過(guò)D作DF⊥MN于F，交AB于E， 則AE=MF=CD=1.6m，DE=AC=2m，EF=AM=98m， ∴BE=AB?AE=1.4m，DF=DE+EF=100m， ∵BE∥FN， ∴△DBE∽△DNF， ∴ BEFN=DEDF， ∴ 1.4FN=2100， ∴FN=70， ∴MN=FN+FM=70+1.6=71.6(m)， 答：樓房的高為71.6m． 【變式1-1】（23-24·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）圭表是中國(guó)古代根據(jù)日影長(zhǎng)度變化測(cè)定季節(jié)、劃分四季和推算歷法的工具．圖1為圭表示意圖．某同學(xué)受到啟發(fā)，利用一根標(biāo)桿和一個(gè)卷尺輕松測(cè)量出學(xué)校旗桿的高度．如圖2，旗桿MN的影長(zhǎng)MA在水平地面上，將標(biāo)桿AB（長(zhǎng)度1米）豎直放置在影長(zhǎng)的最遠(yuǎn)端點(diǎn)A處，此時(shí)標(biāo)桿AB的影長(zhǎng)為AD．經(jīng)測(cè)量，AD=1.2米，AM=12.1米． (1)根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿MN的高度．（結(jié)果保留整數(shù)） (2)若該同學(xué)在操作過(guò)程中，測(cè)量完AD的長(zhǎng)度后，準(zhǔn)備測(cè)量AM的長(zhǎng)度時(shí)，發(fā)現(xiàn)卷尺不夠長(zhǎng)，又去尋找更長(zhǎng)一點(diǎn)的卷尺，半小時(shí)后回來(lái)測(cè)量AM的長(zhǎng)度，請(qǐng)問(wèn)這樣可以準(zhǔn)確得到旗桿的高度嗎？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由． 【答案】(1)旗桿MN的高度約為10米 (2)不可以．理由見(jiàn)解析 【分析】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用： （1）根據(jù)BD∥AN證明△MNA∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)可得MNAB=MAAD，進(jìn)行計(jì)算即可； （2）旗桿和標(biāo)桿的影長(zhǎng)隨著時(shí)間變化而變化，必須同時(shí)測(cè)量，才可以準(zhǔn)確得到旗桿的高度． 【詳解】（1）解：由題意，可知BD∥AN． ∴∠NAM=∠D． 又∵∠NMA=∠BAD=90°， ∴△MNA∽△ABD． ∴MNAB=MAAD，即MN1=12.11.2． ∴MN≈10（米）． 答：旗桿MN的高度約為10米． （2）解：不可以． 理由如下：旗桿和標(biāo)桿的影長(zhǎng)隨著時(shí)間變化而變化，必須同時(shí)測(cè)量，小明測(cè)量標(biāo)桿影長(zhǎng)后半個(gè)小時(shí)再測(cè)旗桿影長(zhǎng)，此時(shí)旗桿影長(zhǎng)已發(fā)生變化，故不可以準(zhǔn)確得到旗桿的高度．（理由合理即可） 【變式1-2】（23-24·河南·模擬預(yù)測(cè)）小明和小亮兩位同學(xué)春節(jié)期間在游覽某景區(qū)時(shí)，對(duì)景區(qū)內(nèi)一座古塔產(chǎn)生濃厚的興趣，他們想用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量古塔的高度．為了保護(hù)古塔，工作人員在古塔底部設(shè)有柵欄，古塔底部不可直接到達(dá)．經(jīng)詢(xún)問(wèn)得知柵欄長(zhǎng)17米（即FC=17米），小亮在F處利用1米高的柵欄（即FG=1米，且FG⊥FC），在柵欄頂端G處測(cè)得塔的頂部A處的仰角為45°，小明同學(xué)在古塔另一側(cè)的C處放置平面鏡（點(diǎn)D，C，B，F(xiàn)四點(diǎn)在一條直線上），當(dāng)他站在D處時(shí)恰好能從平面鏡中看到古塔的塔頂A，已知小明的身高為1.8米（即ED=1.8米，且ED⊥DB），小明到平面鏡的水平距離為0.9米（即DC=0.9米），求古塔AB的高． ?? 【答案】古塔AB的高為12米． 【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵． 如圖：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB，垂足為H，根據(jù)題意可得：GH=BF，GF=BH=1米，然后設(shè)BC=x米，則FB=GH=17?x米，在Rt△AGH中，求出AH的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得：∠ACB=∠ECD，AB⊥FD，ED⊥FD，從而可得∠ABC=∠D=90°，進(jìn)而可得△ABC∽△EDC，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算可得AB=2x,從而列出關(guān)于x的方程，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB，垂足為H， ?? 由題意得：GH=BF，GF=BH=1米， 設(shè)BC=x米， ∵FC=17米， ∴FB=GH=FC?BC=17?x米， 在Rt△AGH中，∠AGH=45°， ∴AH=17?x米， ∴AB=AH+BH=17?x+1=18?x米， 由題意得：∠ACB=∠ECD，AB⊥FD，ED⊥FD， ∴∠ABC=∠D=90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴ABED=BCDC，即：AB1.8=x0.9，解得：AB=2x, ∴18?x=2x,解得：x=6， ∴AB=2x=12（米）， ∴古塔AB的高為12米． 【變式1-3】（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀﹫DⅠ是大拇指廣場(chǎng)示意圖及測(cè)量其高度的方案，圖Ⅱ是求大拇指高度AB的示意圖．如圖Ⅱ，在C處放置一根高度為2m且與地平線BF垂直的竹竿IC，點(diǎn)A，I，D在同一直線上，測(cè)得CD為3m．將竹竿3m平移5m至E處，點(diǎn)A，G，F(xiàn)在同一直線上，測(cè)得EF為5m．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度為7m 【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 分別證明△CDI∽△BDA、△GEF∽△ABF可得ICAB=CDBD=CDBC+CD、GEAB=EFBF=EFEF+CE+BC，進(jìn)而得到3BC+3=510+BC可得BC=7.5；最后將BC=7.5代入ICAB=CDBC+CD求得AB的值即可解答． 【詳解】解：由題意可得：AB∥CI， ∴△CDI∽△BDA． ∴ICAB=CDBD=CDBC+CD． 由題意可得：AB∥EG， ∴△GEF∽△ABF． ∴GEAB=EFBF=EFEF+CE+BC． ∵IC=GE， ∴CDBC+CD=EFEF+CE+BC，即3BC+3=510+BC，解得：BC=7.5． 將BC=7.5代入ICAB=CDBC+CD，得2AB=310.5．解得AB=7． ∴大拇指的高度為7m． 【題型2 影長(zhǎng)問(wèn)題】 【例2】（23-24九年級(jí)·河南鶴壁·開(kāi)學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進(jìn)4m到達(dá)D點(diǎn)，在D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DE=1m．小麗身高CD=1.2m． (1)求燈桿AB的長(zhǎng)； (2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進(jìn)4m到達(dá)G處（如圖2），求此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)． 【答案】(1)燈桿AB的高度為6m (2)此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)是2m 【分析】本題考查了中心投影及相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題只要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． （1）根據(jù)題意得出AB∥CD，由平行線得出△EAB∽△ECD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果． （2）根據(jù)相似三角形△HGF∽△HBA的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，代入相關(guān)數(shù)值解答即可． 【詳解】（1）解：如圖1，根據(jù)題意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)， ∴△EAB∽△ECD， ∴ ABCD=BEDE， 即AB1.2=51， 解得：AB=6（米)； 答：燈桿AB的高度為6m； （2）如圖2，根據(jù)題意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)， ∴△HGF∽△HBA， ∴ ABFG=BHGH， 即61.2=8+GHGH， 解得：GH=2（米)； 答：此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)是2m． 【變式2-1】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）操場(chǎng)上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在對(duì)面的墻壁上，經(jīng)測(cè)量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長(zhǎng)為2.8m，同時(shí)測(cè)得一根高為2m的竹竿OM的影長(zhǎng)是ON=1.4m，請(qǐng)根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（????） A．4.5m B．4.7m C．5.2m D．5.7m 【答案】C 【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意，BC⊥AB,DC⊥BC，得到矩形BCDE,繼而得到BC=DE,BE=DC,∠AED=90°，根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比，建立等式計(jì)算即可． 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握解矩形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意，得BC⊥AB,DC⊥BC， ∴四邊形BCDE為矩形， ∴BC=DE,BE=DC,∠AED=90°， ∵BC=2.8m，DC=1.2m， ∴DE=2.8m,BE=1.2m,∠AED=90°， 根據(jù)同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比， ∴AEDE=21.4即AE2.8=21.4， 解得AE=4m， ∴AB=AE+BE=5.2m． 故選C． 【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·期中）如圖，在路燈下，AB表示小明的身高，AC表示他的影子，F(xiàn)G表示小亮的身高，路燈燈泡在線段DE上． (1)請(qǐng)你畫(huà)出燈泡的位置，并畫(huà)出小亮在燈光下的影子； (2)如果小明的身高AB=1.6m，他的影子AC=1.4m，且他到路燈的距離AD=2.1m，求路燈的高． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)4m 【分析】本題考查了中心投影，相似三角形的應(yīng)用；理解中心投影，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． （1）連接CB，延長(zhǎng)CB交DE于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為燈泡的位置，連接OG，延長(zhǎng)OG交AF與點(diǎn)H，線段FH即為所求； （2）由相似三角形的判定方法得△ABC∽△DOC，由相似三角形的性質(zhì)得ABDO=CACD，即可求解； 【詳解】（1）解：如圖， ∴點(diǎn)O為燈泡的位置， FH為小亮在燈光下的影子； （2）解：∵AB∥OD， ∴ △ABC∽△DOC， ∴ABDO=CACD， ∴1.6DO=1.41.4+2.1， 解得：DO=4， ∴路燈的高為4m． 【變式2-3】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）小明和爸爸在公園散步，此時(shí)爸爸的影子落在了身后的地面和墻上，如圖1所示．其中，BC段為地上的影子，AC段為墻上的影子．小明想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量出爸爸的身高．他向工作人員詢(xún)問(wèn)得知：公園地面與墻面所用均為厚度13.5cm，長(zhǎng)度65cm的磚塊，小明數(shù)了一下，BC段剛好是4塊地磚的長(zhǎng)度，而AC段恰好為4塊地磚的厚度；同一時(shí)刻，小明觀察到公園門(mén)口指示牌影子的頂端剛好到達(dá)保安亭，如圖2所示，其中MN為指示牌的影子．已知爸爸、墻面、指示牌和保安亭均與地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫小明求出爸爸的身高． 【答案】184cm 【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，平行投影，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，根據(jù)題意可得：AC=BE=54cm，AE=BC=260cm，然后根據(jù)同一時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成正比例可得DEAE=24，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E， 由題意得：AC=BE=4×13.5=54(cm)，AE=BC=4×65=260(cm)， ∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4m， ∴ DEAE=24， ∴DE=12AE=130(cm)， ∴BD=DE+BE=130+54=184(cm)， ∴爸爸的身高為184cm． 【題型3 河寬問(wèn)題】 【例3】（23-24九年級(jí)·河南許昌·期末）學(xué)完《相似》一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量河的寬度．如圖，這條河的兩岸是平行的，小麗站在離南岸20米（即PE=20米）的點(diǎn)P處懶北岸，小軍、小強(qiáng)站在南岸邊，調(diào)整小軍、小強(qiáng)兩人的位置，當(dāng)小軍、小強(qiáng)兩人分別站在C,D兩點(diǎn)處時(shí)，小麗發(fā)現(xiàn)河北岸邊的兩根電線桿恰好被小軍、小強(qiáng)遮擋（即A,C,P三點(diǎn)共線，B,D,P三點(diǎn)共線）．已知電線桿A,B之間的距離為75米，小軍、小強(qiáng)兩人之間的距離CD為30米，求這條河的寬度． 【答案】這條河的寬度為30米 【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，延長(zhǎng)PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)這條河的寬度為x米．由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到PFPE=ABCD，代入有關(guān)數(shù)據(jù)列方程求解方程，即可得到河的寬度． 【詳解】解：延長(zhǎng)PE交AB于點(diǎn)F，如解圖所示． ∵PE⊥CD,AB∥CD, ∴PF⊥AB 依題意，CD=30米，AB=75米． 設(shè)這條河的寬度為x米． ∵AB∥CD， ∴△PBA∽△PDC． ∴PFPE=ABCD， 即20+x20=7530， 解得x=30． 答：這條河的寬度為30米． 【變式3-1】（23-24·陜西·中考真題）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB． 【答案】河寬為17米． 【分析】由題意先證明?ABC∽?ADE，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AB的長(zhǎng)． 【詳解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴?ABC∽?ADE， ∴ADAB=DEBC， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴AB+8.5AB=1.51， ∴AB＝17， 即河寬為17m． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，為了測(cè)量某河段的寬度，某校數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B和C，使點(diǎn)A、B、C共線且直線AB與河岸b垂直，接著在過(guò)點(diǎn)C且與AB垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，點(diǎn)A、D與河岸b上的點(diǎn)E在一條直線上．測(cè)得BC=12m，CD＝16m，BE=10m，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬AB． 【答案】20m 【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，證明△ABE~△ACD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【詳解】解：由題意得∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A， ∴△ABE~△ACD， ∴ABAC=BECD，即ABAB+BC=BECD． ∵BC=12m，BE=10m，CD=16m， ∴ ABAB+12=1016， 解得 AB=20m． 答：河寬AB大約是20m． 【變式3-3】（23-24九年級(jí)·北京·期末）如圖，為了測(cè)量平靜的河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸D點(diǎn)3.2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為1.6米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一根長(zhǎng)為4.5米的電線桿MF，電線桿的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM=PN，兩岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？ 【答案】12米 【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)AB交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，便可解決問(wèn)題． 【詳解】解：延長(zhǎng)AB交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H， 則四邊形BDEH是矩形， ∴BH=DE=0.75，BD∥EH， ∴AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35， ∵BD∥OH， ∴△ABD∽△AHO， ∴ BDHO=ABAH， ∴ 3.2HO=1.62.35， ∴HO=4.7， ∵PM=PN，MF=4.5米，F(xiàn)P=0.75米， ∴PN=MF+FP=5.25米， ∵AH⊥EP，PN⊥EP， ∴AH∥PN， ∴△AHO∽△NPO， ∴ AHNP=HOPO， ∴ 2.355.25=4.7PO， ∴PO=10.5， ∴PE=PO+OE=10.5+(4.7?3.2)=12， 答：河寬EP是12米． 【題型4 樹(shù)高問(wèn)題】 【例4】（23-24九年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的DEF）．小南利用“矩”可測(cè)量大樹(shù)AB的高度．如圖，通過(guò)不斷調(diào)整自己的姿勢(shì)和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長(zhǎng)分別為EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測(cè)得AM=21m，求樹(shù)高AB． 【答案】樹(shù)高AB為15.6m 【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，即可得出△DEF∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)可得出EFDE=BCCD，即可得出BC，再根據(jù)AB=AC+BC即可得出答案． 【詳解】解：據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴EFDE=BCCD． ∵EF=0.2m，DE=0.3m，AM=CD=21m， ∴0.20.3=BC21=23， ∴BC=14m， ∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m)． 答：樹(shù)高AB為15.6m． 【變式4-1】（23-24九年級(jí)·云南紅河·期末）如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.9米，小愛(ài)站在F處，眼睛E處看到標(biāo)桿頂A，樹(shù)頂C在同一條直線上(人，標(biāo)桿和樹(shù)在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)F，B，D在同一條直線上)．已知BD=6米，F(xiàn)B=2米，EF=1.7米，求樹(shù)高CD． 【答案】6.5米 【分析】過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，則EH⊥AB，證明四邊形EFDH為矩形，可得HD的長(zhǎng)，再根據(jù)△AEG∽△CEH，故可求得CH的長(zhǎng)，所以樹(shù)高CD的長(zhǎng)即可知． 【詳解】解：過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，則EH⊥AB，如下圖所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四邊形EFDH為矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB?GB＝2.9?1.7＝1.2（米）， ∵AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴AGCH=EGEH， ∴1.2CH=22+6， ∴CH＝4.8， ∴CD＝CH＋DH＝4.8＋1.7＝6.5（米）． 答：樹(shù)高CD為6.5米． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形． 【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山東聊城·階段練習(xí)）小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹(shù)的高度.一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹(shù)前，由于有圍欄保護(hù)，他們無(wú)法到達(dá)古樹(shù)的底部B，如圖所示.于是他們先在古樹(shù)周?chē)目盏厣线x擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器CD，測(cè)得∠ACD=135°；再在BD的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著B(niǎo)G方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測(cè)量器的高度CD=0.5米.已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹(shù)的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)） 【答案】18m 【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH=BD，BH?CD=0.5，解Rt △ACH，得出AH=CH=BD，那么AB=AH+BH=BD+0.5，再證明△EFG∽△ABG，因此得出BD=17.5m，再求出AB即可. 【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH=BD，BH=CD=0.5米， 在Rt △ACH中，∠ACH=45°， ∴AH=CH=BD， ∴AB=AH+BH=BD+0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG=∠ABG=90° 由反射角等于入射角得∠EGF=∠AGB, ∴△EFG∽△ABG, ∴EFAB=FGBG，即16BD+0.5=25+BD， 解得BD=17.5m ∴AB=17.5+0.5=18m ∴這棵樹(shù)高18米. 【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵. 【變式4-3】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·期中）小軍想用鏡子測(cè)量一棵古松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測(cè)量，如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，他在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像；第二次他把鏡子放在點(diǎn)C'處，他在點(diǎn)F'處正好在鏡中看到樹(shù)尖A的像．已知AB⊥BF'，EF⊥BF'，E'F'⊥BF'，小軍的眼睛距地面1.7m（即EF=E'F'=1.7m），量得CC'=12m，CF=1.8m，C'F'=4.2m，求這棵古松樹(shù)的高度AB．（鏡子大小忽略不計(jì)） 【答案】8.5m 【分析】先證明△ABC∽△EFC，得出EFAB=CFBC，再證明△ABC∽△E'F'C'，得出E'F'AB=C'F'BC'，由EF=E'F'，得出CFBC=C'F'BC'，繼而求出BC的長(zhǎng)度，代入EFAB=CFBC即可求出AB的長(zhǎng)度，即可得出答案． 【詳解】解：∵∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠ECF， ∴△ABC∽△EFC， ∴EFAB=CFBC， ∵∠ABC'=∠E'F'C'=90°，∠AC'B=∠E'C'F'， ∴△ABC∽△E'F'C'， ∴E'F'AB=C'F'BC'， ∵EF=E'F'=1.7m， ∴CFBC=C'F'BC'， ∵CC'=12m，CF=1.8m，C'F'=4.2m， ∴1.8BC=4.2BC+12， 解得：BC=9， ∴1.7AB=1.89， 解得：AB=8.5， 答：這棵古松樹(shù)的高度為8.5m． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【題型5 杠桿問(wèn)題】 【例5】（23-24九年級(jí)·山西大同·期末）阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)和一根足夠長(zhǎng)的桿子，我就能撬起整個(gè)地球．”這句話的意思是利用物理學(xué)中的杠桿原理，只要有合適的支點(diǎn)和合適的工具，就可以把地球輕松搬動(dòng)．如圖1，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖2中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=7cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O），則AC的長(zhǎng)為 cm． ?? 【答案】21 【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確地構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形△AOC∽△BOD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AC的長(zhǎng)度． 【詳解】解：由題意得，AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ACBD=AOBO， ∵OA=3OB， ∴ACBD=AOBO=3， ∴AC=3BD=21cm． 故答案為：21． 【變式5-1】（23-24九年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)EF處于圖中的位置時(shí)，點(diǎn)O到點(diǎn)E的水平距離OM=2，點(diǎn)O到點(diǎn)F的水平距離ON=4，若已知杠桿的OE段長(zhǎng)為2.5，則杠桿的OF段長(zhǎng)為 ． 【答案】5 【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中抽離出數(shù)學(xué)圖形是解題的關(guān)鍵．證明△MOE∽△NOF，從而得到MENF=MONO，代入數(shù)值即可求解． 【詳解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF， ∴△MOE∽△NOF， ∴OEOF=MONO， ∵OM=2，ON=4，OE段長(zhǎng)為2.5， ∴2.5OF=24， ∴OF=5． 故答案為：5． 【變式5-2】（23-24九年級(jí)·河南南陽(yáng)·期末）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB:BC=10:1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 cm． 【答案】45 【分析】如圖：AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN，即△ACM∽△BCN，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可． 【詳解】解：如圖，AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN， ∵AM∥BN， ∴△ACM∽△BCN， ∴ACBC=AMBN， ∵AB:BC=10:1， ∴ACBC=AMBN=9，即AM=9BN， ∴當(dāng)BN≥5cm時(shí)，AM≥45cm， 故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓45cm． 故答案為：45． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期中）如圖1所示的是古代一種可以遠(yuǎn)程攻擊的投石車(chē)，圖2是投石車(chē)投石過(guò)程中某時(shí)刻的示意圖，GP是杠桿，彈袋掛在點(diǎn)G，重錘掛在點(diǎn)P，點(diǎn)A為支點(diǎn)，點(diǎn)D是水平底板BC上的一點(diǎn)，AD=AC=3米，CD=3.6米． （1）投石車(chē)準(zhǔn)備時(shí)，點(diǎn)G恰好與點(diǎn)B重合，此時(shí)AG和AC垂直，則BD= 米 （2）投石車(chē)投石過(guò)程中，AP的延長(zhǎng)線交線段DC于點(diǎn)E，若DE：CE=5：1，則點(diǎn)G距地面為 米． 【答案】 1.4 12+855 【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可； （2）先求出CE的長(zhǎng)，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解即可． 【詳解】（1）如圖，連接AB，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC于F， ∵AD=AC=3米，CD=3.6米， ∴CF=DF=1.8米， ∴AF=AC2?CF2=2.4， ∵∠B+∠ACB=90°，∠CAF+∠ACB=90°， ∴∠B=∠CAF， ∵∠AFB=∠AFC=90°， ∴△AFB∽△CFA， ∴AFCF=BFAF， ∴BF=2.42÷1.8=3.2， ∴BD=BF?DF=1.4（米）， 故答案為：1.4． （2）由（1）可知：AB=AF2+BF2=4 過(guò)點(diǎn)G作GN⊥BC交BC于點(diǎn)N， ∵DE:CE=5:1， ∴3.6?CE:CE=5:1， ∴CE=0.6， ∴EF=FC?CE=1.8?0.6=1.2， ∴在Rt△AEF中，AE=AF2+EF2=655， sin∠AEF=AFAE=255， ∴EG=4+655， ∴GN=ME·sin∠AEF=4+655×255=12+855， 故點(diǎn)G距離底面的高度為12+855米， 故答案為：12+855． 【點(diǎn)睛】本題解直角三角形的應(yīng)用綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形． 【題型6 實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】 【例6】（23-24九年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，墻到木板的水平距離為CD=4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上． (1)求BC的長(zhǎng)． (2)求燈泡到地面的高度． 【答案】(1)3m； (2)1.2m． 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出BC的長(zhǎng)； （2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出AG的長(zhǎng)． 【詳解】（1）解：由題意可得：FC∥DE， 則△BFC∽△BED， 故BCBD=FCDE， 即BCBC+4=1.53.5， 解得：BC=3， 經(jīng)檢驗(yàn)，BC=3是上述分式方程的解， ∴BC的長(zhǎng)為3m； （2）∵AC=5.4m， ∴AB=5.4?3=2.4（m）， ∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角， ∴∠FBC=∠GBA， 又∵∠FCB=∠GAB， ∴△BGA∽△BFC， ∴AGAB=FCBC， ∴AG2.4=1.53， 解得：AG=1.2（m）， ∴燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵． 【變式6-1】（23-24·廣東汕頭·三模）約在兩千五百年前，如圖（1），墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖（2）所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是 cm． 【答案】4 【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得1015=x6 ，進(jìn)行計(jì)算即可得，理解題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【詳解】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm， 由相似三角形的性質(zhì)得，1015=x6， 15x=60， 解得x=4， 故答案為：4． 【變式6-2】（23-24九年級(jí)·云南文山·期中）如圖，佳佳同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，水平地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE=3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到平面鏡的水平距離BC=3m，已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，求燈泡到地面的高度AG． 【答案】燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，證明△BGA∽△BFC，得到AGAB=FCBC，進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是證明△BGA∽△BFC． 【詳解】解：由題意和圖可知：∠FBC=∠GBA,∠FCB=∠GAB=90°， ∴△BGA∽△BFC， ∴AGAB=FCBC， ∵AC=5.4m，BC=3m， ∴AB=AC?BC=2.4m， ∴AG2.4=1.53， 解得：AG=1.2m， 答：燈泡到地面的高度AG為1.2m． 【變式6-3】（23-24九年級(jí)·山西太原·期末）小彬做了探究物體投影規(guī)律的實(shí)驗(yàn)，并提出了一些數(shù)學(xué)問(wèn)題請(qǐng)你解答： (1)如圖1，白天在陽(yáng)光下，小彬?qū)⒛緱UAB水平放置，此時(shí)木桿在水平地面上的影子為線段A'B'． ①若木桿AB的長(zhǎng)為2m，則其影子A'B'的長(zhǎng)為_(kāi)__________m； ②在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)，將另一根木桿CD直立于地面，請(qǐng)畫(huà)出表示此時(shí)木桿CD在地面上影子的線段DM： (2)如圖2，夜晚在路燈下，小桃將木桿EF水平放置，此時(shí)木桿在水平地面上的影子為線段E'F'． ①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出表示路燈燈泡位置的點(diǎn)P； ②若木桿EF的長(zhǎng)為2m，經(jīng)測(cè)量木桿EF距離地面2m，其影子E'F'的長(zhǎng)為3m，則路燈P距離地面的高度為_(kāi)__________m． 【答案】(1)①2；②見(jiàn)解析； (2)①見(jiàn)解析；②6 【分析】（1）①根據(jù)題意證得四邊形AA'B'B為平行四邊形，從而求得結(jié)論； ②根據(jù)平行投影的特點(diǎn)作圖：過(guò)木桿的頂點(diǎn)作太陽(yáng)光線的平行線； （2）①分別過(guò)影子的端點(diǎn)及其線段的相應(yīng)的端點(diǎn)作射線，兩條射線的交點(diǎn)即為光源的位置； ②根據(jù)EF ∥ E'F'，可證得△PEF∽△PE'F'，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求得結(jié)論. 【詳解】（1）①根據(jù)題意：AA' ∥ BB'，AB ∥ A'B'， ∴四邊形AA'B'B為平行四邊形， ∴A'B'=AB=2m； ②如圖所示，線段DM即為所求； （2）①如圖所示，點(diǎn)P即為所求； ②過(guò)點(diǎn)P作PH⊥E'F'分別交EF、E'F'于點(diǎn)G、H ∵EF ∥ E'F' ∴△PEF∽△PE'F' ∴EF:E'F'=PG:PH ∵EF=2，E'F'=3，GH=2 ∴2:3=PG:2+PG 解得：PG=4， ∴PH=6 ∴路燈P距離地面的高度為6米. 【點(diǎn)睛】本題考查平行投影問(wèn)題以及相似三角形的判定和性質(zhì)，平行光線得到的影子是平行光線經(jīng)過(guò)物體的頂端得到的影子，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比是解決本題的關(guān)鍵． 【題型7 古文問(wèn)題】 【例7】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)，出北門(mén)一百步立一表，出西門(mén)二百二十五步適可見(jiàn)之，問(wèn)邑方幾何？”它的意思是：如圖，M，N分別是正方形ABCD的邊AD，AB的中點(diǎn)，ME⊥AD，NF⊥AB，EF過(guò)點(diǎn)A，且ME=100步，NF=225步，那么該正方形城邑邊長(zhǎng)AD約為（????）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本題考查相似三角形解實(shí)際應(yīng)用題，讀懂題意，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．由題意可知△AME∽△FNA，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到FNAN=AMEM，設(shè)AD=2a，由M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)可知AM=AN=a，則225a=a100，解得a=150，從而得到正方形城邑邊長(zhǎng)AD=2a=300步． 【詳解】解：∵ ME⊥AD，NF⊥AB， ∴∠FNA=∠AME=90°， ∵正方形ABCD中，∠MAN=90°，EF過(guò)點(diǎn)A， ∴FN∥AM，則∠F=∠EAM， ∴ △AME∽△FNA， ∴ FNAN=AMEM， ∵ M、N分別是正方形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=2a， ∴ AM=AN=a， ∵ ME=100步，NF=225步， ∴ 225a=a100，即a2=100×225，解得a=150負(fù)舍去值， ∴正方形城邑邊長(zhǎng)AD=2a=300步， 故選：A． 【變式7-1】（23-24九年級(jí)·湖南邵陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題： “今有井徑5尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末 望水岸，入徑四寸．問(wèn)井深幾何？”意思是：如圖， 井徑BE=5尺，立木高AB=5尺，BD=4寸=0.4尺，則井深x為 尺． ?? 【答案】57.5 【分析】根據(jù)題意可知△ABD∽△AFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求AC，進(jìn)一步求解即可得到井深． 【詳解】解：依題意可得△ABD∽△AFC， ∴AB：AC=BD：FC， 即5：AC=0.4：5， 解得AC=62.5， x=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺． 故答案為：57.5． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到△ABD∽△AFC，利用相似比進(jìn)行分析． 【變式7-2】（23-24·廣西南寧·二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典，上面記載：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén)．出北門(mén)三十步有木，出西門(mén)七百五十步見(jiàn)木．問(wèn)邑方幾何？”其意思是：如圖，已知正方形小城ABCD，點(diǎn)E，G分別為CD，AD的中點(diǎn)，EF⊥CD，GH⊥AD，點(diǎn)F，D，H在一條直線上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的邊長(zhǎng)是（　?。? A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 【答案】D 【分析】根據(jù)題意可知Rt△DFE～Rt△HDG，從而可以得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，從而可以求解； 【詳解】∵點(diǎn)E，G分別為CD，AD的中點(diǎn)， ∴DG=12AD，DE=12CD， ∴DG=DE， 又題意可得∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°， ∴Rt△DFE～Rt△HDG， ∴EFDG=DEHG， 而EF＝30步，GH＝750步， 即DE×DG=EF×HG， ∴DE2=30×750=22500， 解得：DE=150， ∴CD=2DE=300步； 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵． 【變式7-3】（23-24·河南安陽(yáng)·一模）“度高者重表，測(cè)深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望．觸類(lèi)而長(zhǎng)之，則雖幽遐詭伏，靡所不入．”就是說(shuō)，使用多次測(cè)量傳遞的方法，就可以測(cè)量出各點(diǎn)之間的距離和高度差．——?jiǎng)⒒铡毒耪滤阈g(shù)注·序》．某市科研考察隊(duì)為了求出某海島上的山峰AB的高度，如圖，在同一海平面的D處和F處分別樹(shù)立標(biāo)桿CD和EF，標(biāo)桿的高都是5.5米，DF兩處相隔80米，從標(biāo)桿CD向后退11米的G處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在一條直線上；從標(biāo)桿EF向后退13米的H處，可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端E在一條直線上．求山峰AB的高度及它和標(biāo)桿CD的水平距離． 注：圖中各點(diǎn)都在一個(gè)平面內(nèi)． ?? 【答案】山峰的高度AB為225.5米，它和標(biāo)桿CD的水平距離BD是440米 【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵． 根據(jù)題意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，從而可得∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°，然后證明A字模型相似△CDG∽△ABG，△EHF∽△AHB，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答． 【詳解】解：由題意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴∠ABH=∠CDH=∠EFH=90°， ∵∠CGD=∠AGB， ∴△CDG∽△ABG， ∴ CDAB=DGBG， ∴ 5.5AB=1111+BD， ∵∠H=∠H， ∴△EHF∽△AHB， ∴ EFAB=FHBH， ∴ 5.5AB=1313+80+BD， ∴ 1111+BD=1313+80+BD， 解得：BD=440， ∴ 5.5AB=1111+440， 解得：AB=225.5， ∴山峰的高度AB為225.5米，它和標(biāo)桿CD的水平距離BD是440米． 【題型8 裁剪問(wèn)題】 【例8】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）有一等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則得到的甲、乙、丙、丁四張紙片中，面積最大的是（????） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得甲的面積和丙的面積，進(jìn)一步求得乙和丁的面積，比較即可求得． 【詳解】解：如圖： ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴BD＝CD＝5+2＝7， ∵AD＝2+1＝3， ∴S△ABD＝S△ACD＝12×7×3＝212 ∵EF∥AD， ∴△EBF∽△ABD， ∴S甲S△ABD＝（57）2＝2549， ∴S甲＝7514， ∴S乙＝212?7514=367， 同理S丙SΔACD＝（23）2＝49， ∴S丙＝143， ∴S丁＝212﹣143＝356， ∵356>7514>367>143， ∴面積最大的是丁， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題. 【變式8-1】（23-24·浙江湖州·一模）三八婦女節(jié)，同學(xué)們準(zhǔn)備送小禮物給媽媽?zhuān)紫壤谜叫渭埌?，制作一個(gè)正方體禮品盒（如圖所示裁剪）．已知正方形紙板邊長(zhǎng)為52分米，則這個(gè)禮品盒的體積 分米3． 【答案】8 【分析】設(shè)EF=x，判斷出△AEF和△DEG為等腰直角三角形，證明△AEF∽△DEG，得到AEDE=EFEG，可求出AE，即可得到正方體禮品盒的棱長(zhǎng)，從而計(jì)算體積． 【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD=52， 設(shè)EF=x， 由此裁剪可得：△AEF和△DEG為等腰直角三角形， ∴△AEF∽△DEG， ∴AEDE=EFEG，即AE52?AE=x4x， 解得：AE=2， ∴EF=2AE=2， ∴正方體禮品盒的棱長(zhǎng)為2， ∴體積為2×2×2=8立方分米， 故答案為：8． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形． 【變式8-2】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期末）在綜合實(shí)踐課中，小慧將一張長(zhǎng)方形卡紙如圖1所示裁剪開(kāi)，無(wú)縫隙不重疊的拼成如圖2所示的“L”形狀，且成軸對(duì)稱(chēng)圖形.裁剪過(guò)程中卡紙的消耗忽略不計(jì)，若已知AB=9，BC=16，F(xiàn)G⊥AD. 求（1）線段AF與EC的差值是___ （2）FG的長(zhǎng)度. 【答案】 9 6 【分析】如圖1，延長(zhǎng)FG交BC于H，設(shè)CE＝x，則E'H'＝CE＝x，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的長(zhǎng)，證明△EGH∽△EAB，則GHAB=EHBE，可得x的值， 即可求出線段AF、EC及FG的長(zhǎng)，故可求解. 【詳解】(1)如圖1，延長(zhǎng)FG交BC于H， 設(shè)CE＝x，則E'H'＝CE＝x， 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：D'E'＝DC＝E'F'＝9， ∴H'F'＝AF＝9＋x， ∵AD＝BC＝16， ∴DF＝16?（9＋x）＝7?x， 即C'D'＝DF＝7?x＝F'G'， ∴FG＝7?x， ∴GH＝9?（7?x）＝2＋x，EH＝16?x?（9＋x）＝7?2x， ∴EH∥AB， ∴△EGH∽△EAB， ∴GHAB=EHBE， ∴2+x9=7?2x16?x， 解得x＝1或31（舍），AF、EC及FG ∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9 故答案為：9; (2)由（1）得FG＝7?x =7-1=6. 【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的拼剪，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，矩形、直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識(shí)，積累了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值． 【變式8-3】（23-24九年級(jí)·四川遂寧·期中）一個(gè)小風(fēng)箏與一個(gè)大風(fēng)等形狀完全相同，它們的形狀如圖所示，其中對(duì)角線AC⊥BD．已知它們的對(duì)應(yīng)邊之比為1：3，小風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為12cm和14cm． （1）小風(fēng)箏的面積是多少？ （2）如果在大風(fēng)箏內(nèi)裝設(shè)一個(gè)連接對(duì)角頂點(diǎn)的十字交叉形的支撐架，那么至少需用多長(zhǎng)的材料？（不記損耗） （3）大風(fēng)箏要用彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個(gè)風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來(lái)的，那么從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積是多少？ 【答案】(1)84（cm）2;(2) 78cm;(3) 756（cm）2 【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可； （2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到A′C′=3AC=42cm，同理B′D′=3BD=36cm，于是得到結(jié)論； （3）根據(jù)矩形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論． 【詳解】解：（1）∵AC⊥BD， ∴小風(fēng)箏的面積S＝12AC?BD＝12×12×14＝84（cm）2； （2）∵小風(fēng)箏與大風(fēng)箏形狀完全相同， ∴假設(shè)大風(fēng)箏的四個(gè)頂點(diǎn)為A′，B′，C′，D′， ∴△ABCD∽△A′B′C′D′， ∵它們的對(duì)應(yīng)邊之比為1：3， ∴A′C′＝3AC＝42cm， 同理B′D′＝3BD＝36cm， ∴至少需用42+36＝78cm的材料； （3）從四個(gè)角裁剪下來(lái)廢棄不用的彩色紙的面積＝矩形的面積﹣大風(fēng)箏的面積＝42×36﹣9×84＝756（cm2）． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【題型9 現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)問(wèn)題】 【例9】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)常見(jiàn)的鐵夾的剖面圖，OA，OB表示鐵夾的剖面的兩條邊，點(diǎn)C是轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置，CD⊥OA，垂足為D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且鐵夾的剖面圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（????） A．30mm B．32.5mm C．60mm D．65mm 【答案】A 【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，連接AB，延長(zhǎng)OC交AB于H，由勾股定理得出OC=26mm，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出CH⊥AB，AH=BH，證明△OCD∽△OAH，由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得出答案． 【詳解】解：如圖，連接AB，延長(zhǎng)OC交AB于H， ， 在Rt△OCD中，OC=CD2+OD2=26mm， ∵鐵夾的剖面圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形， ∴CH⊥AB，AH=BH， ∴∠AHC=∠CDO=90° ∵∠DOC=∠HOA， ∴△OCD∽△OAH， ∴CDAH=OCOA，即10AH=2615+24， 解得：AH=15mm， ∴AB=2AH=30mm， 故選：A． 【變式9-1】（23-24·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知箱子沿著斜面向上運(yùn)動(dòng)，箱高AB=1.2m．當(dāng)BC=2.5m時(shí)，點(diǎn)B到地面的距離BE=1.5m，則點(diǎn)A到地面的距離AD為（????） A．2.6m B．2.5m C．2.46m D．2.22m 【答案】C 【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而求出DF、AF的長(zhǎng)即可得出的長(zhǎng)． 【詳解】解：由題意可得：AD∥EB，則∠CFD=∠AFB=∠CBE， ∴△CDF∽△CEB， ∵∠ABF=∠CEB=90°，∠AFB=∠CBE， ∴△CBE∽△AFB， ∴BEFB=BCAF=ECAB， ∵BC=2.5m，BE=1.5m， ∴EC=2.52?1.52=2m， 即1.5FB=2.5AF=21.2，解得：FB=0.9，AF=1.5， ∵△CDF∽△CEB， ∴DFBE=CFCB，即DF1.5=2.5?0.92.5，解得：DF=0.96， ∴AD=AF+DF=1.5+0.96=2.46m． 故選C． 【變式9-2】（23-24·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖①，是生活中常見(jiàn)的人字梯，也稱(chēng)折梯，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，因而把它形象的稱(chēng)為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，拉桿EF∥BC，AE=13BE，EF=0.4米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為 米． 【答案】1.6 【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．熟練掌握相似三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 證明△AEF∽△ABC，則EFBC=AEAB，即0.4BC=AEAE+3AE，計(jì)算求解即可． 【詳解】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴EFBC=AEAB，即0.4BC=AEAE+3AE， 解得，BC=1.6， 故答案為：1.6． 【變式9-3】（23-24·遼寧沈陽(yáng)·三模）如圖是一個(gè)矩形足球球場(chǎng)，AB為球門(mén)，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB=a米．某球員沿CD帶球向球門(mén)AB進(jìn)攻，在Q處準(zhǔn)備射門(mén)，已知BD=3a米，QD=3a米，對(duì)方門(mén)將伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍大約為0.25a米；此時(shí)門(mén)將站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂伸開(kāi)MN且垂直于AQ進(jìn)行防守，MN中點(diǎn)與AB距離 米時(shí)，剛好能成功防守． 【答案】3720a/37a20 【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AQ，證明△AEB∽△ADQ，作MK∥AD，HG∥AD，GF⊥AD，依次證明△ABQ∽△MKQ，△HNG∽△MNK，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AQ， ∵BE⊥AQ，CD⊥AB， ∴∠AEB=∠ADQ=90°， 又∵ ∠EAB=∠DAQ， ∴△AEB∽△ADQ， ∴ABAQ=BEDQ， ∵AD=AB+BD=a+3a=4a，DQ=3a， ∴AQ=AD2+DQ2=5a，BQ=BD2+DQ2=32a， ∴a5a=BE3a， ∴BE=3a5， ∴EQ=BQ2?BE2=32a2?3a52=21a5， 如圖，作MK∥AD，HG∥AD，GF⊥AD， ∵BE⊥AQ，MN⊥AQ， ∴BE∥MN， ∴△BEQ∽△NMQ， ∵M(jìn)N=0.25a=a4， ∴BEMN=EQMQ=BQNQ=3a5a4=125， ∴MQ=EQ125=21a5125=7a4，NQ=BQ125=32a125=52a4， ∵M(jìn)K∥AD， ∴△ABQ∽△MKQ， ∴AQMQ=BQKQ=5a7a4=32aKQ， ∴KQ=212a20， ∴NK=NQ?KQ=52a4?212a20=2a5， ∵M(jìn)K∥AD，HG∥AD， ∴MK∥GH， ∴△HNG∽△MNK， ∴HNMN=NGNK， ∵HN=12MN， ∴NG=12NK=12×2a5=2a10， ∵BN=BQ?NQ=32a?52a4=72a4， ∴BG=BN+NG=72a4+2a10=372a20， ∵ BD=3a，QD=3a，CD⊥AB， ∴ ∠QBD=∠BQD=45°， ∵GF⊥AD， ∴FG=BG?sin∠GBF=372a20?sin45°=372a20×22=3720a， 故答案為：3720a. 【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵． 【題型10 三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題】 【例10】（23-24春·河北石家莊·九年級(jí)石家莊二十三中?？茧A段練習(xí)）有一塊銳角三角形余料△ABC，邊BC為15cm，BC邊上的高為12cm，現(xiàn)要把它分割成若干個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為5cm和2cm的小長(zhǎng)方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計(jì)），使最底層的小方形的長(zhǎng)為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用△ABC∽△AEF求得AG=4，然后求得DG=AD?AG=8，這樣就可以計(jì)算得小長(zhǎng)方形一共有4層，然后再次利用相似比，可求得每層可分割幾個(gè)小長(zhǎng)方形，最后確定小長(zhǎng)方形的總數(shù)即可. 【詳解】如圖：當(dāng)最上層的小長(zhǎng)方形的一邊與AB、AC交于點(diǎn)E、F時(shí)，EF∥BC ∴△ABC∽△AEF ∴EFBC=AGAD，且EF=5，BC=15，AD=12 ∴AG=4 ∴DG=AD?AG=8 ∵小長(zhǎng)方形的寬為2cm ∴能分割四層小長(zhǎng)方形 設(shè)最底層的上一層的靠近點(diǎn)A的邊為x 根據(jù)三角形相似可得：x15=812 解得x=10，正好能分割兩個(gè)小長(zhǎng)方形 再上一層靠近點(diǎn)A的邊就會(huì)小于10cm，因此只能分割一個(gè)小長(zhǎng)方形，且最上層分割了一個(gè)小長(zhǎng)方形 ∴按如圖方式分割成的小長(zhǎng)方形零件最多有2+2+1+1=6個(gè) 故答案為6 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的相似在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠靈活應(yīng)用相似比求解對(duì)應(yīng)的邊是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 【變式10-1】（23-24九年級(jí)·廣西桂林·期中）如圖，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=18cm，高AD=12cm，現(xiàn)在要把它加工成長(zhǎng)與寬的比為3:2的矩形零件EFCH，要求一條長(zhǎng)邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，則矩形EFGH的周長(zhǎng)為 cm． 【答案】30 【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出EHBC=AMAD，進(jìn)而得出EH，EF的長(zhǎng)，即可得出答案． 【詳解】∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH=GF， ∴EH∥BC， ∵AD⊥BC， ∴AM⊥EH， ∵EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴ EHBC=AMAD， ∵矩形零件EFCH的長(zhǎng)與寬的比為3:2， 設(shè)EH=GF=3x cm，EF=GH=2x，則MD=EF=2xcm，AM=12?2xcm， ∴ 3x18=12?2x12， 解得：x=3， ∴EH=3x=9，EF=2x=6， ∴矩形EFGH的周長(zhǎng)為：2×9+6=30 cm． 故答案為：30． 【變式10-2】（23-24九年級(jí)·河南周口·期中）汽車(chē)盲區(qū)是指駕駛員位于正常駕駛座位置時(shí)(如圖1)，其視線被車(chē)體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域．預(yù)防進(jìn)入汽車(chē)盲區(qū)，能有效預(yù)防交通事故發(fā)生，提高學(xué)生避險(xiǎn)能力．小明在學(xué)習(xí)了交通安全知識(shí)后，對(duì)汽車(chē)盲區(qū)產(chǎn)生了興趣．如圖2，是他研究的一個(gè)汽車(chē)盲區(qū)的示意圖，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面BE的距離為1.5m，車(chē)寬AF=1.8m，車(chē)頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿足3DF=2AF，求汽車(chē)盲區(qū)EB的長(zhǎng)度． 【答案】9m 【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥EB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)M，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可求解． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥EB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)M． ∵3DF=2AF，AF=1.8m， ∴DF=1.2(m)， ∵四邊形ACDF是矩形， ∴∠FDC=90°，AF∥CD， ∴DF⊥DC， ∵M(jìn)N⊥DC， ∴DF=MN=1.2(m)， ∵PN=1.5m， ∴PM=PN?MN=1.5?1.2=0.3(m)， ∵ AF∥EB， ∴△PAF∽△PBE， ∴AFEB=PMPN， ∴1.8EB=0.31.5， ∴EB=9(m)． 【變式10-3】（23-24·江蘇鹽城·二模）（1）【問(wèn)題探究】如圖①，點(diǎn)B，C分別在AM，AN上，AM=12米，AN=20米，AB=2米，BC=2.6米，AC=1.2米． ①探究△ABC與△AMN是否相似并說(shuō)明理由； ②求MN的長(zhǎng)． （2）【問(wèn)題解決】如圖②，四邊形ACBD規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對(duì)角線AB將整個(gè)四邊形分成面積相等的兩部分，已知AB=60米，四邊形ACBD的面積為2400平方米，為了更好地美化環(huán)境，政府計(jì)劃在BC，AC邊上分別確定點(diǎn)E，F(xiàn)，在AB邊上確定點(diǎn)P，Q，使四邊形EFPQ為矩形，在矩形EFPQ內(nèi)種植花卉，在四邊形ACBD剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞，計(jì)劃在FQ之間修一條小路，并使得FQ最短，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，求出FQ的最小值，并求出當(dāng)FQ最小時(shí)，花卉種植區(qū)域的面積． ?? 【答案】（1）①△ABC∽△ANM，理由見(jiàn)解析；②26米；（2）1201313，86400169平方米． 【分析】（1）①通過(guò)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，證明出△ABC∽△ANM；②利用相似三角形的性質(zhì)即可求出MN的長(zhǎng)； （2）作CH⊥AB交EF于點(diǎn)G，通過(guò)三角形ABC的面積求出CH的長(zhǎng)，然后通過(guò)EF∥PQ得到△CEF∽△CBA，用含有n的式子將需要的量表示出來(lái)，放在Rt△EFQ中，通過(guò)勾股定理得到一個(gè)二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)圖像和性質(zhì)求出最值即可． 【詳解】解：（1）①△ABC∽△ANM，理由如下： ∵AM=12米，AN=20米，AB=2米，AC=1.2米， ∴ABAN=ACAM=110， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ANM， ②∵△ABC∽△ANM， ∴BCMN=ACAM=110， ∴MN=10BC=26米． （2）如圖所示，作CH⊥AB交EF于點(diǎn)G， ∵S△ABC=12S四邊形ABCD=12×2400=1200平方米， ∴12AB?CH=1200平方米， ∴CH=40米， ∵四邊形EFPQ為矩形， ?? ∴EF∥PQ， ∴△CEF∽△CBA， ∴CGCH=EFAB， 設(shè)CGCH=EFAB=n，則40?GH40=EF60=n，即EF=60n，EQ=GH=40?40n， 在Rt△EFQ中，由勾股定理得FQ2=EF2+EQ2， ∴FQ2=60n2+40?40n2=5200n2?3200n+1600， ∵5200>0， ∴當(dāng)n=?b2a=??32005200×2=413時(shí)，F(xiàn)Q2最小，最小為1440013，即FQ最小為1201313， 此時(shí)EF=60n=24013，EQ=40?40n=36013， ∴S矩形EFPQ=EQ?EF=24013×36013=86400169， ∴FQ最小值為1201313，此時(shí)花卉種植區(qū)域的面積為86400169平方米． ?? 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于能夠合理的添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，要求能夠熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)性質(zhì).

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