滬科版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊精品題型特訓(xùn)專題22.7相似三角形的經(jīng)典模型【十大題型】(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題22.7 相似三角形的經(jīng)典模型【十大題型】【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc18746" 【題型1 A字模型】 PAGEREF _Toc18746 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10028" 【題型2 8字模型】 PAGEREF _Toc10028 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc32279" 【題型3 AX模型】 PAGEREF _Toc32279 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7360" 【題型4 母子型】 PAGEREF _Toc7360 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13686" 【題型5 三角形內(nèi)接矩形型】 PAGEREF _Toc13686 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12407" 【題型6 雙垂直型】 PAGEREF _Toc12407 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18042" 【題型7 手拉手型】 PAGEREF _Toc18042 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc11274" 【題型8 一線三等角型】 PAGEREF _Toc11274 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc3709" 【題型9 倒數(shù)型】 PAGEREF _Toc3709 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc20460" 【題型10 旋轉(zhuǎn)型】 PAGEREF _Toc20460 \h 18 模型1：A字模型 ①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，． ②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：； ③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1 A字模型】【例1】（23-24九年級·上海金山·期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證△ADE∽△AEB．【變式1-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）如圖，BD，CE分別是AC與AB邊上的高．求證：△ADE∽△ABC．【變式1-2】（23-24九年級·江蘇無錫·期中）如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，△PEF，△PDC，△PAB的面積分別為S，S1，S2．若S=3，則S1+S2的值是（　?。??? A．24 B．12 C．6 D．10 【變式1-3】（23-24九年級·安徽安慶·期中）圖，AB∥GH∥CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．模型2：8字模型 ①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?； ②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?． ③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2 8字模型】【例2】（23-24九年級·上海奉賢·期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【變式2-1】（23-24九年級·河南開封·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF 的面積為2，則△ABC的面積為( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【變式2-2】（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，連接AE，若AE的延長線和BC的延長線相交于點F．（1）求證：BC=CF；（2）連接AC和BE相交于點為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．【變式2-3】（23-24九年級·湖南常德·期中）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若BE=8，則GE= ．模型3：AX模型 A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化. 【題型3 AX模型】【例3】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）已知如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延長線相交于點E，AC、BD相交于點O，連結(jié)EO并延長交AB于點M，交CD于點N．那么線段AM與BM是否相等？請說明理由．【變式3-1】（23-24九年級·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，中線AD，BE交于點F，EG//BC交AD于點G．（1）求AGGF的值．（2）如果BD=43，DF=4，請找出與△BDA相似的三角形，并挑出一個進行證明．【變式3-2】（2024·江蘇泰州·二模）如圖△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，則GH的長為． ?? 【變式3-3】（23-24九年級·遼寧鞍山·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點E為射線BA上一動點，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α交BA延長線于點H，DE所在直線與射線CA交于點G．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，求證：△ADH≌△CDG；（2）當(dāng)α≠60°時， ①如圖2，連接HG，求證：△ADC∽△HDG； ②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，請直接寫出EG的長．模型3：母子型如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．【題型4 母子型】【例4】（23-24九年級·湖南株洲·期中）如圖1，∠C?90，BC?6，tanB=43，點M從點B出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點C運動，點N同時從點C出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當(dāng)一點到達終點時，另一點也停止運動． (1)求AB的長． (2)當(dāng)以點M、C、N為頂點的三角形與△ABC相似時，求t的值． (3)如圖2，將本題改為點M從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在BA上向點A運動，點N同時從點A出發(fā)向點C運動，其速度是每秒2個單位長度，其它條件不變，求當(dāng)t為何值時，△MNA為等腰三角形．【變式4-1】（23-24九年級·山東聊城·期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．【變式4-2】（23-24九年級·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點P為這個三角形的“理想點”． (1)如圖①，若點D是△ABC的邊AB的中點，AC=22，AB=4，試判斷點D是不是△ABC的“理想點”，并說明理由； (2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點D是△ABC的“理想點”，求CD的長．【變式4-3】（23-24九年級·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，動點Р以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒0∠A， ∴ “理想點” D不可能在BC邊上， ③D在AC邊上時，如圖： ∵D是ΔABC的“理想點”， ∴∠DBC=∠A，又∠C=∠C， ∴ΔBDC∽ΔABC， ∴ CDBC=BCAC，即CD3=34， ∴CD=94，綜上所述，點D是ΔABC的“理想點”， CD的長為125或94．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．【變式4-3】（23-24九年級·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，動點Р以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒0