專題15.10 軸對稱圖形與等腰三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇） 【滬科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc21650" 【題型1 設(shè)計軸對稱圖案】  PAGEREF _Toc21650 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5163" 【題型2 利用軸對稱性質(zhì)求最值】  PAGEREF _Toc5163 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc24102" 【題型3 翻折變換】  PAGEREF _Toc24102 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2831" 【題型4 兩圓一線畫等腰】  PAGEREF _Toc2831 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc13368" 【題型5 等邊三角形手拉手問題】  PAGEREF _Toc13368 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc30657" 【題型6 分身等腰】  PAGEREF _Toc30657 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc17418" 【題型7 一線分二腰】  PAGEREF _Toc17418 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc24246" 【題型8 角平分線的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc24246 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc910" 【題型9 垂直平分線的綜合應(yīng)用】  PAGEREF _Toc910 \h 13  【題型1 設(shè)計軸對稱圖案】 【例1】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點A、B、C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點D，使點A、B、C、D組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸． ?? 【變式1-1】（2023春·八年級單元測試）圖形設(shè)計：請將網(wǎng)格中的某些小方格涂黑，使它與已涂黑的小方格組成軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸．（要求用兩種不同的方法） ?? 【變式1-2】（2023春·吉林延邊·八年級階段練習）圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，在每個網(wǎng)格中標注了5個格點，按下列要求畫圖． （1）在圖①中，以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標注的格點只有4個； （2）在圖②中，以格點為頂點，畫一個軸對稱圖形，使其內(nèi)部已標注的格點只有3個． 【變式1-3】（2023春·八年級單元測試）請你分別在下面的三個網(wǎng)格（兩相鄰格點的距離均為1個單位長度）中，各補畫一個小正方形，要求： ①三個圖形形狀各不相同，②所設(shè)計的圖案是軸對稱圖形． 【題型2 利用軸對稱性質(zhì)求最值】 【例2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，邊長為a的等邊△ABC中，BF是AC上的中線且BF=b，點D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長的最小值是 ，此時∠CFE= ． ?? 【變式2-1】（2023春·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點，AD=6，P為AB上一個動點，當P點運動時，PC+PD的最小值為 ． 【變式2-2】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、M、N都在格點上． ?? (1)畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1； (2)在直線MN上找點P使PB+PC最小，在圖形上畫出點P的位置； (3)在直線MN上找點Q使QB?QA最大，直接寫出這個最大值． 【變式2-3】（2023春·廣東深圳·八年級?？奸_學考試）【初步感知】 (1)如圖1，已知ΔABC為等邊三角形，點D為邊BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊向右側(cè)作等邊ΔADE，連接CE．求證：ΔABD≌ΔACE； ?? 【類比探究】 (2)如圖2，若點D在邊BC的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，猜想并證明： ?? ①AB與CE的位置關(guān)系為： ； ②線段EC、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系為： ； 【拓展應(yīng)用】 (3)如圖3，在等邊ΔABC中，AB=3，點P是邊AC上一定點且AP=1，若點D為射線BC上動點，以DP為邊向右側(cè)作等邊ΔDPE，連接CE、BE．請問：PE+BE是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒有，請說明理由． ?? 【題型3 翻折變換】 【例3】（2023春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，點D是AB邊上一點，將△ACD沿CD翻折后得到△ECD． ?? (1)如圖1，當點E落在BC上時，求∠BDE的度數(shù)； (2)當點E落在BC下方時，設(shè)DE與BC相交于點F． ①如圖2，若DE⊥BC，試說明：CE∥AB； ②如圖3，連接BE，EG平分∠BED交CD的延長線于點G，交BC于點H．若BE∥CG，試判斷∠CFE與∠G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【變式3-1】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）在銳角△ABC中，AB=AC，將△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直線AB與直線B'C相交于點E，若△AEB'是等腰三角形，則∠BAC的度數(shù)為 ． 【變式3-2】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D為AC的中點，E為邊AB上一動點，連接DE，將△ADE沿DE翻折，點A落在AC上方點F處，連接EF，CF． (1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由； (2)若△DEF與以點C，D，F(xiàn)為頂點的三角形全等，求出∠ADE的度數(shù)： (3)翻折后，當△DEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出∠ADE的度數(shù)． 【變式3-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點F． (1)如圖1，若∠BCD=40°，直接寫出∠CFE的度數(shù)； (2)如圖1，若CF=10，AF=4，求AE的長； (3)如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【題型4 兩圓一線畫等腰】 【例4】（2023春·廣西欽州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【變式4-1】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線l1、l2相交于點A，點B是直線外一點，在直線l1 、l2上找一點C，使△ABC為一個等腰三角形．滿足條件的點C有（??????） A．2個 B．4個 C．6個 D．8個 【變式4-2】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A、B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是等腰三角形，這樣的格點C有 個。 【變式4-3】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連結(jié)PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有（???） A．6個 B．5個 C．4個 D．3個 【題型5 等邊三角形手拉手問題】 【例5】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┮讶鐖D，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BE，AD交于點O，AC與BE交于點P求證： (1)BE＝AD (2)∠AOB的度數(shù) 【變式5-1】（2023春·山東濟寧·八年級濟寧市第十五中學?？茧A段練習）閱讀與理解： 圖1是邊長分別為a和ba>b的兩個等邊三角形紙片ABC和C'DE疊放在一起（C與C'重合）的圖形． 操作與證明： (1)操作：固定△ABC，將△C'DE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)25°，連接AD，BE，如圖2；在圖2中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論； (2)操作：若將圖1中的△C'DE，繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度α0°≤α≤360°，連接AD，BE，如圖3；在圖3中，線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論； 猜想與發(fā)現(xiàn)： (3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當α為多少度時，線段AD的長度最大是多少？當α為多少度時，線段AD長度最小是多少？ 【變式5-2】（2023春·廣東廣州·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等邊三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ． ?? 【變式5-3】（2023·山東·八年級專題練習）已知，△ABC為等邊三角形，點D在邊BC上． 【基本圖形】如圖1，以AD為一邊作等邊三角形△ADE，連結(jié)CE．可得CE+CD=AC（不需證明）． 【遷移運用】如圖2，點F是AC邊上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．求證：CE+CD=CF． 【類比探究】如圖3，點F是AC邊的延長線上一點，以DF為一邊作等邊三角△DEF．試探究線段CE，CD，CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的結(jié)論并說明理由． 【題型6 分身等腰】 【例6】（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在第1個△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2，到A3，使A2A3=A2E，得到第3個△A2A3E，…．按此做法繼續(xù)下去，則第n個三角形中以An為頂點的內(nèi)角度數(shù)是（????） ?? A．12n80° B．12n?1?80° C．12n?1?100° D．12n?100° 【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，AOB是一鋼架，設(shè)∠AOB=α，為了使鋼架更加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，若最多能添加這樣的鋼管5根，則α的取值范圍是 ． 【變式6-2】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架BAC中，∠A=x°，焊上等長的鋼條P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,?來加固鋼架，且P1A=P1P2，對于下列結(jié)論，判斷正確的是(????????) 結(jié)論Ⅰ：若∠P3P2P4=75°，則x=25； 結(jié)論Ⅱ：若這樣的鋼條在鋼架上至多能焊上6根，那么x的取值范圍是907≤x

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