【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.體會(huì)二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，解決設(shè)計(jì)生活中的最值問題，了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;
2.利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問題.
【知識(shí)梳理】
1.建立直角坐標(biāo)系解決二次函數(shù)問題
(1)建立合適的 .(2)根據(jù)題意找出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)列出含有未知參數(shù)的式子并解決問題.
【典型例題】
知識(shí)點(diǎn)一應(yīng)用二次函數(shù)解決問題
1.教練對(duì)小明推鉛球的錄像進(jìn)行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間的關(guān)系為y＝－eq \f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知鉛球推出的距離是 m.
2.為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，方便居民出行．某施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點(diǎn)P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．
（1）按如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一貨運(yùn)汽車裝載某大型設(shè)備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？
（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使A，D點(diǎn)在拋物線上．B，C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿AB，AD，DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．
【鞏固訓(xùn)練】
1.某種正方形合金板材的成本y(元)與它的面積成正比，設(shè)邊長(zhǎng)為x cm，當(dāng)x＝3時(shí)，
y＝18，那么當(dāng)成本為72元時(shí)，邊長(zhǎng)為 .
2.某車的剎車距離y(m)與開始剎車時(shí)的速度x(m/s)之間滿足二次函數(shù)y＝eq \f(1,20)x2(x>0)．
若該車某次的剎車距離為5 m，則開始剎車時(shí)的速度為 .
3.如圖，已知拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)(不與B、C重合)，PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；
3題圖
(3)在(2)的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
4題圖
4.如圖，對(duì)稱軸為直線x＝－1的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，0)．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC.求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，
求線段QD長(zhǎng)度的最大值．

5題圖
5.已知,如圖，拋物線y＝ax2－2ax＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)．
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
3.6二次函數(shù)的應(yīng)用（3）
【典型例題】1.10
【鞏固訓(xùn)練】1.A 2.C
3. 解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴C(0，3)，
∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；
(2)設(shè)△BCM的面積為S，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，－a2＋2a＋3)，
則OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，
根據(jù)題意，得S△BCM＝S四邊形OCMN＋S△MNB－S△COB
＝eq \f(1,2)(OC＋MN)·ON＋eq \f(1,2)MN·NB－eq \f(1,2)OC·OB
＝eq \f(1,2)[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋eq \f(1,2)(－a2＋2a＋3)(3－a)－ eq \f(1,2)×3×3
＝－eq \f(3,2)a2＋eq \f(9,2)a＝－eq \f(3,2)(a－eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∴當(dāng)a＝eq \f(3,2)時(shí)，S△BCM有最大值，
此時(shí)，ON＝a＝eq \f(3,2)，BN＝3－a＝eq \f(3,2)，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠PBN＝45°，
∴PN＝BN＝eq \f(3,2)，
根據(jù)勾股定理，得PB＝eq \r(PN2＋BN2)＝eq \f(3\r(2),2)，
∴△BPN的周長(zhǎng)＝PN＋BN＋PB＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＋eq \f(3\r(2),2)＝3＋eq \f(3\r(2),2)；
(3)拋物線y＝－x2＋2x＋3的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)E(1，0)，如解圖，
設(shè)Q(1，y)，根據(jù)勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝(eq \f(3,2))2＋32＝eq \f(45,4)，
過點(diǎn)Q作QD⊥y軸于點(diǎn)D，則D(0，y)，利用勾股定理可得：
CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y(tǒng)2－6y＋10，
NQ2＝QE2＋EN2＝y(tǒng)2＋eq \f(1,4)，
∵△CNQ為直角三角形，
∴有以下三種情況：
①當(dāng)CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°時(shí)，
eq \f(45,4)＋y2－6y＋10＝y(tǒng)2＋eq \f(1,4)，解得y＝eq \f(7,2)，
∴Q(1，eq \f(7,2))；
②當(dāng)CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°時(shí)，
eq \f(45,4)＋y2＋eq \f(1,4)＝y(tǒng)2－6y＋10，解得y＝－eq \f(1,4)，
∴Q(1，－eq \f(1,4))；
③當(dāng)CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°時(shí)，
y2－6y＋10＋y2＋eq \f(1,4)＝eq \f(45,4)，解得y＝eq \f(3±\r(11),2)，
∴Q(1，eq \f(3＋\r(11),2))或(1，eq \f(3－\r(11),2))．
綜上所述，△CNQ為直角三角形時(shí)，
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，eq \f(3＋\r(11),2))或(1，eq \f(3－\r(11),2))或(1，－eq \f(1,4))或(1, eq \f(7,2))．
4.解：(1)∵點(diǎn)A(－3，0)與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)；
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋bx＋c，
∵拋物線過點(diǎn)(－3，0)，且對(duì)稱軸為直線x＝－1，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)＝－1,9－3b＋c＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2,c＝－3))，
∴拋物線解析式為y＝x2＋2x－3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)
①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得
S△BOC＝eq \f(1,2)OB·OC＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2)，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×eq \f(3,2)＝6.
當(dāng)x>0時(shí)，S△POC＝eq \f(1,2)OC·x＝eq \f(1,2)×3×x＝6，
∴x＝4，
∴y＝42＋2×4－3＝21；
當(dāng)x

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6 二次函數(shù)的應(yīng)用

版本： 魯教版（五四學(xué)制）（2024）

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